中考数学总复习20相似三角形优质

第一部分 夯实基础　提分多 第四单元 三角形 第20课时　相似三角形 1. 比例的性质 性质1： ＝ ⇔①____＝bc(abcd≠0)． 性质2：如果 ＝ ，那么 ＝ . 基础点 1 比例线段及其性质 ad 基础点巧练妙记 a b c da b c d a b b  c d d  性质3：如果 ＝ ＝… ＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么 ＝②________． 2. 比例中项：若a∶ b＝b∶ c或 ＝ ，则b叫做比例中项， 即b2＝ac. 3. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和 a b c d m n a c m b d n   ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ a b b c BC，如果 ＝ ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 ＝ 或AC≈0.618AB. AC AB BC AC AC AB 5 1 2  4．平行线分线段成比例 3. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和 ( 1 ) 两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ， 所 得 的 对 应 线 段 ③________． 如图，若l1∥l2∥l3，则 ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ＝ BC AC 成比例 AB BC DE EF AB AC DE DF EF DF AB DE BC EF AC DF (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(两边的延长线)， 所得的对应线段④________． 如图，若DE∥BC，则 ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ . 成比例 AD DB AE EC AD AB AE AC DB ABEC AC AD AE DB EC AB AC 基础点 2 相似三角形的性质与判定 性质 (1)相似三角形的⑤______相等；对应边成比例； (2)相似三角形的对应高的比，对应中线的比及对 应角平分线的比都⑥________相似比； (3)相似三角形的周长比等于⑦______，面积比等 于⑧____________ 对应角 等于 相似比 相似比的平方 判 定 (1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似； (2)三边⑨____________的两个三角形相似； (3)两边成比例且⑩________相等的两个三角形相似； (4)⑪________分别相等的两个三角形相似； (5)两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似 对应成比例 夹角 两个角 1．相似三角形的判定思路 判 定 三 角 形 相 似 的 思 路 有平行截线──用平行线的性质，找等角 有一对等角，找 有两边对应成比例，找 直角三角形，找 等腰三角形，找 另一对等角 或该角的两边对应成比例 夹角相等 或第三边也对应成比例 或有一组直角 一对锐角相等 或斜角、直角边对应成比例 顶角相等 或一对底角相等 或底和腰对应成比例 (1)“平行线型”的相似三角形(“A型”与“X型”) 2．几种常见的相似三角形图形 (2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1＝∠2，“反A共 角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”) (3)“垂直型”的相似三角形(“双垂直共角型”、“双垂 直共角共边型(也称“射影定理型”)”、“三垂直型”) 练提 分 必 1．如图，在△ABC中，点D、E分 别在边AB、BC上，DE∥AC，若 BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝ ________． 第1题图 练提 分 必 2．如图，若△ADE∽△ACB，且 ＝ ，DE＝10，则BC＝_______． 第2题图 AD AC 2 3 15 1. 相似图形：两个形状相同(大小可以不同)的平面图形． 2. 相似多边形：对应角相等，并且对应边成比例的两个 多边形． 基础点 3 相似图形与相似多边形 3. 性质 (1)相似多边形的对应边⑫______； (2)相似多边形的对应角⑬______； (3)相似多边形的周长比等于⑭______，相似多边形的面 积比等于⑮______________． 成比例 相等 相似比的平方 相似比 练习1　如图，在△ABC中，DE∥BC， AE∶ EC＝3∶ 5，则DE∶ BC＝________， △ADE的周长与△ABC的周长之比为 ________，△ADE的面积与△ABC的面 积之比为________． 类 型 相似三角形的相关证明与计算 重难点精讲优练 练习1题图 3:8 3:8 9:64 练习2　(2017内高)如图，在△ABC中， 点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC. 若△ADE与四边形DBCE的面积相等， 则 等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1 B. C. D. 练习2题图 DE BC 2 2 1 2 1 4 【解析】 ∵△ADE与四边形DBCE的面积相等， ∴△ADE与△ABC的面积之比为1∶ 2， ∵DE∥BC， ∴ ＝ .DE BC 2 2 练习3　如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8， ∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　) A. 4 　　　B. 4 C. 4 　　　D. 3 B 2 3 练习3题图 【解析】 ∵∠B＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∴△ABC∽△DAC. 根据“相似三角形对应边成比例”，得 ＝ ，又 ∵AD是中线，BC＝8，∴DC＝ BC＝4，∴AC2＝ BC•DC＝32，∴AC＝ ＝ . AC DC BC AC1 2 32 4 2 练习4　(2017杭州)如图，在锐角三角形 ABC中，点D，E分别在边AC，AB上， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F， ∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； 练习4题图 【思维教练】要证△ADE∽△ABC，已知∠EAD＝ ∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成 比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝ ∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由对应两角 相等即可得证； 【解析】证明：在△ABC中， ∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， 在△AEF和△ACG中，∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC ∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C， 在△ADE和△ABC中，∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； (2)若AD＝3，AB＝5，求 的值． 【思维教练】由(1)中的结论，利用相似三角形的性质即 可求解． AF AG (2)解：由(1)知△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ＝ ， 又∵△AEF∽△ACG， ∴ ＝ ＝ . AD AB AE AC 3 5 AF AG AE AC 3 5