中考数学总复习19矩形、菱形、正方形完美课件

第19课时 矩形、菱形、正方形 考点梳理 自主测试 考点一 矩形的性质与判定 1.定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.性质 (1)矩形的对边平行且相等; (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等; (4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它 的对称中心是对角线的交点. 3.判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形. 考点梳理 自主测试 考点二 菱形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质 (1)菱形的对边平行,四边都相等; (2)菱形的对角相等; (3)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角. 3.判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)四条边都相等的四边形是菱形. 4.菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S菱形= ab.(其中a,b为菱 形对角线长) 考点梳理 自主测试 考点三 正方形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形. 2.性质 (1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角; (2)正方形的对角线相等,且互相垂直平分,每条对角线平分一组 对角; (3)正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线以及过每一组对边 中点的直线都是它的对称轴;正方形是中心对称图形,对角线的交 点是它的对称中心. 考点梳理 自主测试 3.判定 (1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (2)一组邻边相等的矩形是正方形; (3)对角线互相垂直的矩形是正方形; (4)有一个角是直角的菱形是正方形; (5)对角线相等的菱形是正方形. 4.正方形的面积公式:S=a2(a为边长)或S= l2.(l为对角线的长) 考点梳理 自主测试 1.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,下列 结论不正确的是(  ) A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形 C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形 D.当∠ABD=∠CBD时,四边形ABCD是矩形 解析:A.根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确;B. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确;C. 根据对角线相等的平行四边形是矩形可以得到该选项正确;D.不能 得到一个角是直角,故错误.故选D. 答案:D 考点梳理 自主测试 2.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形 ACEF的周长为(  ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC. ∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=4. ∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16,故选C. 答案:C 考点梳理 自主测试 3.下列命题是真命题的是(  ) A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形 答案:C 4.如图,在正方形ABCD中,AD=1.将△ABD绕点B顺时针旋转45°得 到△A'BD',此时A'D'与CD交于点E,则DE的长度为     . 命题点1 命题点2 命题点3 命题点1 矩形的性质与判定 【例1】 如图,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分别是∠BAC和 ∠BAC外角的平分线,BE⊥AE. (1)求证:DA⊥AE; (2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论. 分析:第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证;在第(2)题 中,AB与DE是四边形ADBE的对角线,可考虑利用矩形的判定,证明 四边形ADBE是矩形即可. 命题点1 命题点2 命题点3 (1)证明:∵AD,AE分别平分∠BAC,∠BAF, (2)解:AB=DE. 理由:∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°. ∵∠DAE=90°,∴四边形ADBE是矩形.∴AB=DE. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点1 命题点2 命题点3 命题点2 菱形的性质与判定 【例2】 如图,在▱ ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分 ∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD. (1)求证:四边形ABEF是菱形; (2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan ∠ADP的值. (1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF. ∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF. ∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF. 同理,AB=BE.∴AF=BE. 又AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形. ∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形. 命题点1 命题点2 命题点3 (2)解:过点P作PG⊥AD于点G,如图. ∵四边形ABEF是菱形, ∠ABC=60°, ∴△ABE是等边三角形. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点1 命题点2 命题点3 变式训练如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5, AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E. (1)求△BDE的周长; (2)点P为线段BC上的点,连接PO,并延长交AD于点Q,求 证:BP=DQ. 命题点1 命题点2 命题点3 (1)解:因为四边形ABCD为菱形,所以BE∥AD. 又AC∥DE,所以四边形ACED为平行四边形, 则有AB=AD=BC=CE=5, 所以BE=BC+CE=10,AC=DE=6. (2)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以OB=OD,BE∥AD,则∠DBC=∠ADB. 又∠BOP=∠DOQ,所以△BOP≌ △DOQ, 故有BP=DQ. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点3 正方形的性质与判定 【例3】 如图①,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为边 AB,BC,CD,DA上的点,HA=EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O. (1)如图②,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证 明你的结论; (2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开,再把得到的四个四边形按 图③的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3 cm, HA=EB=FC=GD=1 cm,则图③中阴影部分的面积为    cm2. 命题点1 命题点2 命题点3 分析:根据题目的条件,可先证△AEH,△BFE,△CGF,△DHG四个 三角形全等,证得四边形EFGH的四边相等,然后由全等再证一个角 是直角. 解:(1)四边形EFGH是正方形. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA. ∵HA=EB=FC=GD,∴AE=BF=CG=DH. ∴△AEH≌ △BFE≌ △CGF≌ △DHG. ∴EF=FG=GH=HE. ∴四边形EFGH是菱形. 由△DHG≌ △AEH,知∠DHG=∠AEH. ∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°. ∴∠GHE=90°.∴菱形EFGH是正方形. (2)1 命题点1 命题点2 命题点3