中考数学总复习15等腰三角形完美课件

第15课时 等腰三角形 考点梳理 自主测试 考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的有关概念及分类 有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等 边三角形,也叫正三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三 角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为 “三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴. 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 (简称为“等角对等边”). 考点梳理 自主测试 考点二 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角相等,且都等于60°;(2)等边三角形的 三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形的判定 (1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形 是等边三角形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 考点三 线段的垂直平分线 1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线 段的垂直平分线,也叫做中垂线. 2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离 相等的点的集合. 考点梳理 自主测试 考点四 角平分线的性质及判定 1.性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的 平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合. 3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这 一点到三角形三边的距离相等. 考点梳理 自主测试 1.已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和8,则这个等腰三角形 的周长为(  ) A.11 B.14 C.19 D.14或19 答案:C 2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分 线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE等于(  ) A.80° B.70° C.60° D.50° 答案:C 考点梳理 自主测试 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AD=5,AC=4,则点D到 AB的距离是     .  答案:3 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点1 等腰三角形的性质与判定 【例1】 如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点 D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF. (1)求证:BF=2AE; (2)若              ,求AD的长. (1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°, ∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD. ∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°. ∴∠CAD=∠CBE. 又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌ △BDF, ∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC, ∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点2 等边三角形的性质与判定 【例2】 已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且 AE=CD,AD与BE相交于点F. (1)求证:△ABE≌ △CAD; (2)求∠BFD的度数. 分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、 三个角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法. (1)证明:∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA. 在△ABE和△CAD 中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌ △CAD. (2)解:∵△ABE≌ △CAD,∴∠ABE=∠CAD. ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 变式训练  如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC 的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE. 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵点D是AC边上的中点, ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED. 又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°. ∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点3 线段的垂直平分线 【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原 点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)如图①,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐 标; (2)若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处(如图②),l与BF 的交点为Q,若点Q的坐标是(3,2),求l的解析式.若点Q的坐标是(4,2), 你能确定l的解析式吗?若能,求出其解析式;若不能,请说明理由. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 分析:(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求 得点D的坐标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线 知识和点Q的坐标,可确定l上的另一点A. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5. ∵∠COD=90°, ∴点D的坐标为(3,0). (2)过点Q作QM⊥x轴于点M. 当点Q的坐标为(3,2)时, 如题图,OM=3,MA=2,QM为△FAB的中位线,∴FM=2,即FA=4. 而AB=4,FA=AB,而l为BF的中垂线, ∴点A在l上.∴l的解析式为y=-x+5. 当Q点坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5, 而CB=5,∴CF=CB. ∵l为BF的中垂线,∴点C在l上. ∴l的解析式为y=-   x+4. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点4 角平分线的性质和判定 【例4】 如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D, 若BD=CD, 求证:(1)DF=DE; (2)AD平分∠BAC. 分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证 △BDF与△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件 “HL”,证明Rt△ADF与Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 证明:(1)∵CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E, ∴∠BFD=∠CED=90°. 又∠BDF=∠CDE,BD=CD, ∴△BDF≌ △CDE(AAS),∴DF=DE. ∴Rt△ADF≌ Rt△ADE(HL), ∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.