第14课时 三角形与全等三角形
考点梳理 自主测试
考点一 三角形的有关概念
1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成
的图形.
2.分类
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考点二 三角形的性质
1.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边;任意两边
的差小于第三边.
2.三角形的外角及其外角和
(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
(2)外角和:三角形的外角和是360°.
3.三角形的内角和定理及推理
(1)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°.
(2)推论:①三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和;②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③直角
三角形的两锐角互余.
4.中位线的性质:三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
5.三角形具有稳定性.
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考点三 三角形中的重要线段
1.三角形的角平分线
三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交
点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分
线交于一点,这个点叫做三角形的内心.
2.三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足
之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在
的直线相交于一点,这个点叫做三角形的垂心.
3.三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中
线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心.
4.三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形
的中位线平行于第三边,且等于它的一半.
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考点四 全等三角形的性质与判定
1.概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.判定
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写为“边角边”
或“SAS”.
(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写为“角边角”
或“ASA”.
(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写
为“角角边”或“AAS”.
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写为“斜
边、直角边”或“HL”.
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考点五 定义、命题、定理、公理
1.定义
对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.
2.命题
判断一件事情的语句叫做命题.
(1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果……那
么……”的形式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论.
(2)命题的真假:判断为真的命题称为真命题;判断为假的命题称
为假命题.
(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命
题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个
命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.
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3.定理
经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命
题,所以不是所有的定理都有逆定理.
4.公理
有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它
们作为判断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.
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考点六 证明
1.证明
从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过逻辑推理,
得出它的结论成立,从而判断该命题为真命题,这个过程叫做证明.
2.证明的一般步骤
(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般
性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明
过程,每一步应有根据,要推理严密.
3.反证法
先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或定义、定理等
相矛盾,从而结论的反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立
的.这种证明的方法叫做反证法.
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1.若一个三角形三个内角度数的比为2∶ 3∶ 4,则这个三角形是(
)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
答案:B
2.已知三角形的两边分别为5和9,则此三角形的第三边可能是( )
A.3 B.4 C.9 D.14
答案:C
3.如图,AB=AC,要说明△ADC≌ △AEB,需添加的条件不能是( )
A.∠B=∠C B.AD=AE
C.∠ADC=∠AEB D.DC=BE
答案:D
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4.下面的命题中,判断为真的是( )
A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等
答案:D
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 三角形的边角关系
【例1】 若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是( )
A.0
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