2
3
4
1
5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.1 平行四边形
18.1.1 平等四边形的性质(二)
核心目标
掌握平行四边形的对角线互
相平分的性质，能灵活地运用平
行四边形的性质进行推理和计算 .
课前预习
1.平行四边形对角线的性质：对角线____________．
2.如下图，平行四边形ABCD的对
角线AC、BD相交于点O，BC＝9，
AC＝8，BD＝14，则△AOD的周
长为__________．
3.如上图，在▱ ABCD中，AC⊥AB，
∠ABD＝30°，AC交BD于O，AO
＝1，则BD的长为_____．
互相平分
4
20
课堂导学
知识点：平行四边形的对角线的性质
【例题】如右图，在平行四边
形ABCD中，AC，BD相交于点O
，点E，F在AC上，且OE＝OF.
求证：BE＝DF.
【解析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO，再由
OE＝OF，∠BOE＝∠DOF可得△BOE≌△DOF，进而
得DF＝BE；
课堂导学
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF.
【点拔】此题主要考查了平行四边形的性质，以及
全等三角形的性质和判定，关键是掌握平行四边形
的对角线互相平分．
课堂导学
对点训练
1.已知：如下图，在▱ ABCD中，对角线AC、BD相
交于点O，EF过点O分别交AD、BC于点E、F.
求证：AE＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝
CF.
课堂导学
2.已知：如下图，在▱ ABCD中，
对角线AC，BD交于点O，
AB⊥AC，AB＝1，BC＝ .
(1)求平行四边形ABCD的面积S▱ ABCD；
(2)求对角线BD的长．
(1)在Rt△ABC中,AC＝ ＝2,则S▱ ABCD＝
AB×AC＝2.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，∴AO＝1，
在Rt△ABO中，BO＝ ＝ ，
∴BD＝ .
课堂导学
3.如下图，在▱ ABCD中，E、F
是对角线BD上两点，且四边
形
AECF也是平行四边形，求证
：
BE＝DF.
连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD、AECF是平行四边形，
∴OB＝OD，OE＝OF，
∴OB－OE＝OD－OF，即BE＝DF.
课后巩固
4.平行四边形不具有的性质是( )
A．对边平行 B．对边相等
C．对角互补 D．对角线互
相平分
5.如下图，在▱ ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，
BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
C
A
课后巩固
6.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
若AC＝6，BD＝8，则边AB的取值范围是( )
A．1＜AB＜7 B．2＜AB＜1
C．6＜AB＜8 D．3＜AB＜4
7.如下图，▱ ABCD的周长为32 cm，
AC，BD相交于点O，OE⊥AC交
AD于点E，则△DCE的周长为(
)
A．24 cm B．16
cm
C．8 cm D．10
cm
A
B
课后巩固
8.如上图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线
交AD于E，交BC于F，若AB＝5，BC＝6，OE＝
2，那么四边形EFCD周长是( )
A．16 B．15 C．14
D．13
B
课后巩固
9.如下图，在▱ ABCD中，点O是
AC与BD的交点，过点O的直线
EF与AB、CD的延长线分别交于
点E、F.求证：
△BOE≌△DOF.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AE∥CF，
∴∠E＝∠F，又∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF.
课后巩固
10.如下图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，且
BC＝3，CD＝5
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)连接AC与BD交于O点，
求AC的长度．
(1)∵AD⊥DB，∴∠DBC＝90°，
∵BC＝3，CD＝5，
∴BD＝ ＝4，
∴S▱ ABCD＝BC·BD＝3×4＝12.
课后巩固
10.如下图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，且
BC＝3，CD＝5
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)连接AC与BD交于O点，
求AC的长度．
(2)连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边
形，∴AC＝2OC，OB＝ BD＝2，在Rt△OBC
中， OC＝ ＝ ，∴AC＝2OC
＝2 .
课后巩固
11.如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD
相交于点O，AE⊥BD于点E.
(1)用尺规作CF⊥BD于点F(要求保留作图痕迹，
不要求写作法)；
(2)求证：AE＝CF.
(2)∵在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE＝
CF.
(1)略
能力培优
12.如下图，在▱ ABCD中，对角线AC、BD相交于
点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三
角形，若AC＝8，AB＝5，求ED的长．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝ AC＝4，
DO＝BO，∵△EAC是等边三角形，
∴EA＝AC＝8，EO⊥AC，
在Rt△ABO中，BO＝ ＝3，
∴DO＝BO＝3，在Rt△EAO中，EO＝ ＝4
，
∴ED＝EO－DO＝4 －3.
感谢聆听
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3
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1
5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.1 平行四边形
18.1.1 平等四边形的性质(一)
核心目标
理解平行四边形的定义及有
关概念；掌握平行四边形的对边
相等、对角相等的性质．
课前预习
4.在▱ ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝__________
度，
∠C＝__________度，∠D＝__________度．
2.平行四边形的_________相等，_________相等．
1.两组对边分别_________的四边形叫做平行四边形．
3.在▱ ABCD中，AB＝5 cm，BC＝10 cm，则这个
平行四边形的周长为__________cm.
130
平行
对角对边
30
50
130
课堂导学
知识点：平行四边形的性质
【例题】如右图，在▱ ABCD中，
E、F为对角线BD上的两点，且
AE⊥BD，CF⊥BD.求证：BE＝DF.
【解析】由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD
＝90°，又由四边形ABCD是平行四边形，可得
AB∥CD，AB＝CD，即可得∠ABE＝∠CDF，则可
证得△ABE≌△CDF，继而证得结论．
课堂导学
【答案】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在▱ ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝
DF.
【点拔】此题考查了平行四边形的性质以及全等三
角形的判定与性质．证得△ABE≌△CDF是关键．
课堂导学
对点训练
1.▱ ABCD中，若AB＝9，∠B＝50°，则∠D＝_____
，
CD＝______．2.如下图，▱ ABCD中，∠A＝60°，
DE、DF是高，则∠CDF＝______
，
∠EDF＝_______．3.在▱ ABCD中，CD＝8，BE＝3，
DE平分∠ADC交AB于E，则AE＝
_______，BC＝_______．
50°
9
30°
60°
5 5
课堂导学
4.如下图，在▱ ABCD中，点E、F分别在边BC和AD
上，且BE＝DF.求证：△ABE≌△CDF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∠B＝∠D，又BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF
课堂导学
5.如下图，在▱ ABCD中，E、F为对角线AC上的两
点，且AE＝CF，连接DE、BF，
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)求证：DE∥BF.
(1)△ABC≌△CDA，△ABF≌△CDE，
△ADE≌△CBF.
(2)证△ABF≌△CDE，∴∠AFB＝∠CED，
∴DE∥BF.
课后巩固
6.如下图，四边形ABCD是平行四边形，点E、A、
C、F在同一直线上，且AE＝CF.求证：BE＝DF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠DCF，又∵AE＝CF，
∴△BAE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF.
课后巩固
7.如下图，四边形ABCD、四边形AEFD是平行四边
形．求证：△ABE≌△DCF.
∵四边形ABCD、四边形AEFD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，AE∥DF，
∴∠ABE＝∠DCF，∠AEB＝∠DFC，
∴△ABE≌△DCF(AAS)．
课后巩固
8.在▱ ABCD中，∠BCD的平分
线与BA的延长线相交于点E，
BH⊥EC于点H，求证：CH＝
EH.
在▱ ABCD中，BE∥CD，
∴∠E＝∠2，
∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，
∴BE＝BC，又∵BH⊥EC，∴CH＝EH.
课后巩固
9.如下图，已知：平行四边形 ABCD中，∠BCD的平
分线 CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，
交AD于G.求证：AE＝DG.
在▱ ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠AGB＝∠CBG，
∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝∠ABG，
∴∠AGB＝∠ABG，
∴AB＝AG，同理DE＝CD，∴AG＝DE，
∴AE＝DG.
课后巩固
10.如下图，在▱ ABCD中，E为BC边上一点，且AB
＝AE.求证：AC＝ED.
∵在平行四边形ABCD中，
AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，又AB＝EA，BC＝AD，
∴△ABC≌△EAD，∴AC＝ED.
能力培优
11.如下图，在▱ ABCD中，点E，F分别在边DC，AB
上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得
点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF
交于
点G，连接DG，B′G.
求证：(1)∠1＝∠2；
(2)DG＝B′G.(1)∵在平行四边形ABCD中，
DC∥AB，
∴∠2＝∠FEC，由折叠得：∠1＝
∠FEC，
∴∠1＝∠2；
能力培优
11.如下图，在▱ ABCD中，点E，F分别在边DC，AB
上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得
点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF
交于
点G，连接DG，B′G.
求证：(1)∠1＝∠2；
(2)DG＝B′G.(2)∵∠1＝∠2，∴EG＝GF，∵AB∥DC，
∴∠DEG＝∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F
，
∴∠B′FG＝∠EGF，∵∠DCG＝∠B′FG，
∵DE＝BF＝B′F，∴DE＝B′F，
∴△DEG≌△B′FG(SAS)，∴DG＝
B′G.
感谢聆听
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5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.1 平行四边形
18.1.2 平等四边形的判定(二)
核心目标
掌握平行四边形的判定方
法，并会简单运用．
课前预习
相等
2.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充一个
条件____________，使得四边形ABCD是平行四
边形．
1.一组对边平行且________的四边形是平行四边
形．
AB＝CD
课堂导学
知识点：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【例题】(2015·黄冈)已知：如下图，在四边形
ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，
且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行
四边形．
【解析】首先证明
△AEB≌△CFD可得AB＝CD
，再由条件AB∥CD可得四边
形ABCD为平行四边形．
课堂导学
【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∵DF∥BE，∴∠BEC＝∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD.
在△AEB和△CFD中
∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点拔】此题主要考查了平行四边形的判定，关键
是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
课堂导学
对点训练
1.如下图，在▱ ABCD中，AE＝CF，求证：四边形
DEBF是平行四边形．
在▱ ABCD中，
则AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，∴AB－AE＝CD－CF，
∴BE＝DF，∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
课堂导学
2.如下图，四边形ABCD为平行四
边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于
F，垂足分别为E、F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接CE、AF，证明四边形CEAF是平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
又AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△ADE≌△CBF；
课堂导学
(2)由(1)知，△ADE≌△CBF，
则AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥FC，
∴四边形CEAF是平行四边形．
2.如下图，四边形ABCD为平行四
边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于
F，垂足分别为E、F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接CE、AF，证明四边形CEAF是平行四边形．
课堂导学
3.已知如下图，O为平行四边形ABCD的对角线AC
的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交
于F. 求证：四边形AECF是平行四边形．
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，OA＝OC
又∵∠COF＝∠AOE，
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
课后巩固
(1)∵四边形ABCD是
平行四边形，
∴AB＝CD，
AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
又BE＝DF，∴△ABE≌△CDF；
4.如下图，▱ ABCD中，点E、F在对角线BD上，
且BE＝DF. (1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
课后巩固
(2)∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形
．
4.如下图，▱ ABCD中，点E、F在对角线BD上，
且BE＝DF. (1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
课后巩固
5.已知：如下图所示，四边形ABCD是平行四边形,E、F
是直线BD上的两点，且DE＝BF. (1)求证：AE＝CF；
(2)连接AF、CE，则四边形AFCE是平行四边形吗?说明
理由.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ADE＝∠CBF.
又DE＝BF，∴△ADE≌△CBF.
∴AE＝CF.
课后巩固
(2)四边形AFCE是平行四边形．
理由如下：
∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB.
∴AE∥CF，又AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形.
5.已知：如下图所示，四边形ABCD是平行四边形,E、F
是直线BD上的两点，且DE＝BF. (1)求证：AE＝CF；
(2)连接AF、CE，则四边形AFCE是平行四边形吗?说明
理由.
课后巩固
(1)∵AC＝DF，AC∥DF,∴四边形ACFD是平行四边形；
(2)由(1)得四边形ACFD是平行四边形，
∴CF∥AD，CF＝AD，∵AD＝BE，∴CF＝BE，
∴四边形CBEF是平行四边形，∴∠BCF＝∠E.
6.如下图，点A、D、B、E在一直线上，AD＝BE，
AC＝DF，AC∥DF.
(1)求证：四边形ACFD是平行四边形；
(2)求证：∠BCF＝∠E.
课后巩固
7.如下图，在▱ ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，
BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且
AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG.求证：
(1)△BEG≌△DFH;
(2)四边形GEHF是平行四边形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥DC，∴∠ABE＝∠CDF，
∵AG＝CH，∴BG＝DH，
又BE＝DF，∴△BEG≌△DFH；
课后巩固
7.如下图，在▱ ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，
BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且
AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG.求证：
(1)△BEG≌△DFH;
(2)四边形GEHF是平行四边形．
(2)∵△BEG≌△DFH，
∴∠BEG＝∠DFH，EG＝FH，
∴∠GEF＝∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
课后巩固
8.如下图，已知在平行四边形ABCD中，E，F为边AD，
BC上的点，且AE＝CF，连接AF，EC，BE，DF交于
M，N，求证：四边形EMFN是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC.
AD＝BC，∴DE∥BF且DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，即ME∥FN.
又AE∥CF且AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，∴MF∥EN，
∴四边形MENF是平行四边形，
能力培优
9.如下图，分别以Rt△ABC的直角边AC
及斜边AB向外作等边△ACD、等边
△ABE.已知∠BAC＝30°， EF⊥AB，
垂足为F，连结DF.
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形
．(1)∵等边△ABE，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠AFE＝90°，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°
，
∴∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠ABE，∠ACB＝∠BFE＝
90°，
∴△ABC≌△EFB，∴AC＝EF；
能力培优
(2)∵等边△ACD，∴AD＝AC，∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝90°，∴AD∥EF，∵AC＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形．
9.如下图，分别以Rt△ABC的直角边AC
及斜边AB向外作等边△ACD、等边
△ABE.已知∠BAC＝30°， EF⊥AB，
垂足为F，连结DF.
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形
．
能力培优
10.如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12
cm，BC＝15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速
度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2 cm/s
的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发
，
设运动时间为t(s)．
(1)用含t的代数式表示：AP＝______； DP＝________
；
BQ＝___________； CQ＝________．
t 12－t
15－2t 2t
能力培优
(2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
(2)根据题意有AP＝t，CQ＝2t，
PD＝12－t，BQ＝15－2t.
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，
四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15－2t，解得t＝5.
∴t＝5 s时四边形APQB是平行四边形；
能力培优
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
(3)由AP＝t cm，CQ＝2t cm，∵AD＝12 cm，
BC＝15 cm，∴PD＝AD－AP＝12－t，
如下图，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是
平行四边形．
即：12－t＝2t，
解得t＝4 s，
∴当t＝4 s时，四边形PDCQ是平行四边形．
感谢聆听
2
3
4
1
5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.1 平行四边形
18.1.2 平等四边形的判定(三)
核心目标
掌握三角形的中位线的概念
和定理，灵活应用三角形的中位
线定理解决有关问题．
课前预习
1.连接三角形两边__________的线段叫做三角
形
的中位线．
2.三角形的中位线__________于第三边，并且
等
于第三边的__________．
一半
中点
平行
课堂导学
知识点：三角形的中位线
【例题】如右图，点D，E分别是
△ABC的边AB，AC的中点．点O
是△ABC内的动点，点G，F分别
是OB，OC的中点．求证：四边形
DGFE是平行四边形；
【解析】根据三角形的中位线定理可得DE∥BC且DE＝
BC，GF∥BC且GF＝ BC，从而得到DE∥GF且DE＝GF
，可证四边形DGFE是平行四边形．
课堂导学
【答案】证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝ BC.
∵G、F是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF＝ BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DGFE是平行四边形．
【点拔】题目中出现线段的中点，利用三角形的中
位线定理是常选择的方法．
课堂导学
对点训练
1.(2015·昆明)如下图，在△ABC
中，
AB＝8，点D、E分别是BC、CA的
中点，连接DE，则DE＝
________．2.如上图，▱ ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，点E是CD的中点， 若
AD＝4 cm，则OE的长为______cm.
4
2
课堂导学
3.(2015·盐城)如下图，点D、E、F
分
别是△ABC各边的中点，连接DE、
EF、DF.若△ABC的周长10，则
△DEF的周长为______．
4.如上图，CD是△ABC的中线，
点E、F分别是AC、CD的中点，
EF＝1，则BD＝_______．2
5
课堂导学
5.如下图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，
F，G分别是AB，CD，AC的中点．
求证： △EFG是等腰三角形．
∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．
∴GF＝ AD，GE＝ BC.
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，即△EFG是等腰三角形．
课堂导学
∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∵E、F分别为BC、AC中点，
∴EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
6.如下图，点D、E、F分别是△ABC各边的中
点．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
课后巩固
7.如下图，在△ABC中，点D在BC上，
且DC＝AC，CE⊥AD，垂足为E，
点F是AB的中点．
求证：EF∥BC.
∵AC＝DC CE⊥AD，∴AE＝ED，
又∵F为AB中点，
∴EF为△ABD中位线，
∴EF∥BD，∴EF∥BC.
课后巩固
(1)∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∵CF＝ BC，DE＝CF；
8.(2015·邵阳)如下图，等边 △ABC的边长是2，D、
E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝
BC，连接CD和EF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)求EF的长．
课后巩固
(2)解：∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴EF＝DC＝ .
8.(2015·邵阳)如下图，等边 △ABC的边长是2，D、
E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝
BC，连接CD和EF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)求EF的长．
课后巩固
9.如下图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之
中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．
连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EF∥AC且EF＝ AC，HG∥AC且HG＝ AC，
∴EF∥HG且EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
课后巩固
10.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE.请
判断四边形EFGH的形状，并给予证明．
连接AC. ∵E、F、G、H分别
是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC，HG∥AC，HG＝ AC，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
课后巩固
11.如下图，在▱ ABCD中，E，F分别是AD、BC上的
点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交
点为N，求证：MN∥AD，MN＝ AD.
连接EF，∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵DE＝CF，∴AE＝BF.
∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．
∴BM＝ME，CN＝NE. ∴MN是△BCE的中位线．
∴MN∥BC，MN＝ BC , ∴MN∥AD，MN＝ AD ．
课后巩固
12.已知：如下图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E
分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且
∠CDF＝∠A.求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线．∴DE∥BC.
∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，
∴CE＝ AB＝AE ．∴∠A＝∠ACE ．
又∵∠CDF＝∠A，∴∠CDF＝∠ACE.
∴DF∥CE ．又∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形．
能力培优
13.如下图，在四边形形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是
两条对角线BD、AC的中点．求证：MN＝ (BC－AD)
连接AM并延长交BC于点E，
∵AD∥BC，∴∠MAD＝∠MEB，
∠MDA＝∠MBE，
又M为BD的中点，∴MD＝MB，
∴△AMD≌△EMB，∴AD＝BE，AM＝ME.
∴M为AE中点，∵N为AC中点，
∴MN为△ACE的中位线，
∴MN＝ EC＝ (BC－BE)＝ (BC－AD)
感谢聆听
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4
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5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.1 平行四边形
18.1.2 平等四边形的判定(一)
核心目标
理解平行四边形的判定方法，
并学会简单运用．
课前预习
1.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，则四
边形ABCD是________________，根据是
___________
______________________________________________
_____.
2.在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠B＝80°，当∠C
＝__________，∠D＝__________时，四边形ABCD
是
平行四边形．3.下面的四边形是平行四边形的有__________(填序
号)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
100°
①②
80°
平行四边形
课堂导学
知识点1：运用定义判定平行四边形
【例1】如右图，△ABC中，BD平分∠
ABC，DF∥BC，EF∥AC.求证：
(1)四边形CDFE是平行四边形；
(2)BF＝CE.
【解析】(1)由DF∥BC，EF∥AC可证得四边形CDFE
是平行四边形；
(2)∠FBD＝∠DBC＝∠FDB，可得BF＝FD，又由平行
四边形的性质得CE＝FD，从而得BF＝CE.
【答案】证明：(1)∵DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形CDFE是平行
四边形．(2)∵BD平分∠ABC，∴∠FBD＝∠CBD，
∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠CBD，
∴∠FBD＝∠FBD，∴BF＝FD.
由(1)得四边形CDFE是平行四边形，
∴FD＝CE，
∴BF＝CE.
【点拔】熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行
四边形的判定和性质是解答此题的关键．
课堂导学
对点训练一
1.如下图，在▱ ABCD中，已知点E和点F分别在
AD和BC上，且AF∥CE.求证：四边形AECF是
平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴FC∥AE，∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
课堂导学
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
又∠EBD＝ ∠ABD，∠BDF＝ ∠BDC，
∴∠EBD＝∠BDF，∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
2.如下图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABD交
AD于点E，DF平分∠BDC交BC于点F.求证：四边
形BEDF是平行四边形．
课堂导学
【例2】如右图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别
是AD，BC的中点．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．
知识点2：运用边(或角)关系判定平行四边形
【解析】(1)根据平行四边形的性质和已知可证AE＝
CF，∠A＝∠C，AB＝CD，可证△ABE≌△DCF.
(2)由(1)可得BE＝DF，由已知可得DE＝BF，故可证
四边形BFDE是平行四边形．
课堂导学
【答案】证明：(1)在平行四边形ABCD中，
AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
课堂导学
(2)∵△ABE≌△DCF，∴BE＝DF，
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点拔】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，
关键是掌握平行四边形对边平相等及两组对边分别
相等的四边形是平行四边形．
课堂导学
对点训练二
3.如下图，在▱ ABCD中，
点E、F分别在AB、CD
上，且AE＝CF.求证：
(1)△ADE≌△CBF；(2)四边形BFDE是平行四边
形． (1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∠A＝∠C又AE＝CF，∴△ADE≌△CBF；
课堂导学
(2)∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，由(1)得△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
3.如下图，在▱ ABCD中，
点E、F分别在AB、CD
上，且AE＝CF.求证：
(1)△ADE≌△CBF；(2)四边形BFDE是平行四边
形．
课堂导学
4.(2015·遂宁)如下图，▱ ABCD中，点E，F在对
角
线BD上，且BE＝DF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF，又BE＝DF，
∴△ABE≌△DCF，∴AE＝CF.
课堂导学
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB.
∴∠ADF＝∠CBE，又DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，
∴AF＝CE，由(1)得AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
4.(2015·遂宁)如下图，▱ ABCD中，点E，F在对角
线BD上，且BE＝DF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
课堂导学
知识点3：运用对角线判定平行四边形
【例3】如右图，在▱ ABCD中，对角线AC与BD交于
点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，求证：四边
形BFDE是平行四边形．
【解析】根据平行四边形的性
质得出BO＝OD，AO＝OC，求出
EO＝OF，根据平行四边形的判
定推出即可．
课堂导学
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
又∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点拔】本题考查了平行四边形的性质和判定的应
用，注意：①平行四边形的对角线互相平分，②对
角线互相平分的四边形是平行四边形．
课堂导学
对点训练三
5.如下图，△ABC中，M是AB的中点，DM∥AC交BC于D，
延长DM到E，使ME＝DM，连结AE、AD、BE.求证：
(1)四边形ADBE是平行四边形；
(2)BD＝CD.
(1)∵ME＝MD，AM＝BM，
∴四边形ADBE是平行四边形；
(2)由(1)得四边形ADBE是平行四边形，
∴EA∥BC，AE＝BD，又DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴CD＝AE，∴BD＝CD.
课堂导学
6.如下图，在▱ AECF中，B、D是直线BD上的两点，
且BE＝DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
连接AC交BD于O，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，又BE＝DF，
∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．
课堂导学
课后巩固
7.已知：如下图，在▱ ABCD中，MN∥AC，分别交DA、
DC的延长线于点M、N，交AB、CB于点 P、Q. 求证：
(1)四边形ACQM为平行四边形；
(2)MQ＝NP.
(1)在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴AM∥CQ，∵MN∥AC，∴MQ∥AC，
∴四边形ACQM为平行四边形；
(2)∵四边形ACQM为平行四边形，∴MQ＝AC，
同理可证，四边形APNC是平行四边形，
∴NP＝AC，∴MQ＝NP.
课后巩固
8.如下图所示，▱ AECF的对角线相交于点O，DB经
过点O，分别与AE，CF交于B，D.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF，OA＝OC，AE∥CF，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，∴OD＝OB，∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
课后巩固
(1)在平行四边形ABCD中，
∠A＝∠C，
又∵AE＝CG，AH＝CF，
∴△AEH≌△CGF.
9.如下图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别
在AB、BC、CD、AD边上且AE＝CG，AH＝CF.
求证：(1)△AEH≌△CGF；
(2)四边形EFGH是平行四边形．
课后巩固
9.如下图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别
在AB、BC、CD、AD边上且AE＝CG，AH＝CF.
求证：(1)△AEH≌△CGF；
(2)四边形EFGH是平行四边形．
(2)在平行四边形ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，DH＝BF又∠B＝∠D，
∴△BEF≌△DGH，
∴GH＝EF，由(1)得△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
课后巩固
10.如下图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，
AE＝CF.
(1)证明：△BEO≌△DFO；
(2)证明：四边形ABCD是平
行四边形．
证明：(1)∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB＝∠FOD，在△BEO和△DFO中
∴△BEO≌△DFO(ASA)；
课后巩固
(2)由(1)可知△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF，∵AE＝CF，
∴OA＝OC，∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
10.如下图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，
AE＝CF.
(1)证明：△BEO≌△DFO；
(2)证明：四边形ABCD是平
行四边形．
能力培优
11.如下图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作
等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，
连接DE，EF，求证：四边形ADEF是平形四边形；
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE＝BC，BD＝BA.
又∵∠DBE＝60°－∠ABE，
∠ABC＝60°－∠ABE，
∴∠DBE＝∠ABC. ∴△BDE≌△BAC，∴DE＝AC.
∵在等边三角形ACF中，AC＝AF，∴DE＝AF.
同理DA＝EF.∴四边形ADEF是平行四边形；
感谢聆听
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