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4
1
5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.2 平行四边形
18.2.1 矩形(二)
核心目标
掌握矩形的判定方法，能运
用矩形的判定方法解决简单的证
明题和计算题．
课前预习
1._________________________________叫做矩
形．
2.对角线__________的平行四边形是矩形．
3.有三个角是__________的四边形是矩形．
相等
有一个角是直角的平行四边形
直角
课堂导学
知识点：矩形的判定
【例题】如下图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分
∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连
接CE.求证：四边形BECD是矩形．
【解析】根据已知条件易推知四边
形BECD是平行四边形．结合等腰
△ABC“三线合一”的性质证得
BD⊥AC，即∠BDC＝90°，得到
▱ BECD是矩形．
课堂导学
【答案】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，又BE∥CD
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC即∴∠BDC＝90°，
∴▱ BECD是矩形．
【点拔】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有
一个角是直角的平行四边形是矩形．
课堂导学
对点训练
1.如下图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，
以AB、BD为邻边作▱ ABDE，
连接AD，EC.
求证：四边形ADCE是矩形．
∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE＝BD，∴AE∥CD，AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
课堂导学
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OC，BD＝2OB，
又∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC，
∴BD＝AC，
∴▱ ABCD是矩形．
2.如下图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相
交于点O，且∠1＝∠2.
求证：四边形ABCD是矩形．
课堂导学
3.如下图，在▱ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足
分别为E，F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)求证：四边形BFDE为矩形．
(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CBF.
课堂导学
(2)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∴∠CDE＋∠DEB＝180°，
∵∠DEB＝90°，
∴∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝
90°，
则四边形BFDE为矩形．
3.如下图，在▱ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足
分别为E，F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)求证：四边形BFDE为矩形．
课后巩固
4.已知：如下图，在△ABC中，D是BC边上的一点，
连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与
CE的延长线交于点F，连接DF.(1)求证：AF＝DC；
(2)若AD＝CF，试判断四边形AFDC是什么样的四
边形？并证明你的结论．
(1)∵AF∥DC，∴∠AFE＝∠DCE，
又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC，∴AF＝
DC；(2)矩形．由(1)，有AF＝DC且AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形，
又∵AD＝CF，∴四边形AFDC是矩形．
课后巩固
5.如下图，在▱ ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若AB＝DB，
求证：四边形DFBE是矩形．
(1)在▱ ABCD中，AB＝CD，
∠A＝∠C，AB∥CD.
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE＝ ∠ABD，∠CDF＝ ∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF. ∴△ABE≌△CDF.
课后巩固
5.如下图，在▱ ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若AB＝DB，
求证：四边形DFBE是矩形．
(2)∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴DE∥BF，DE＝BF，∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB＝DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°.
∴平行四边形DFBE是矩形．
课后巩固
(1)BC＝3AD，理由：易知四边形ABED，AFCD是平行
四边形，又AEFD是平行四边形，
则AD＝BE＝EF＝FC，所以BC＝3AD.
6.如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC,
E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)BC与AD有何等量关系？
请说明理由；
(2)当AB＝DC时，
求证：▱ AEFD是矩形．
(2)由AB＝DC，得AB＝AF，又BE＝EF，
∴AE⊥BF，∴▱ AEFD是矩形．
能力培优
(1)证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；
7.如下图：△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O
作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交
∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当点O运动到AC中点时，
四边形AECF为怎样的四边形，
并证明你的结论．
能力培优
7.如下图：△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O
作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交
∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当点O运动到AC中点时，
四边形AECF为怎样的四边形，
并证明你的结论．
(2)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA＋∠ACF＝ ∠BCD，
∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．
感谢聆听
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1
5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形(一)
核心目标
掌握矩形的性质定理及推
论，熟练应用矩形的性质进行
有关证明和计算．
课前预习
1.矩形的四个角都是__________．
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
2.矩形的对角线__________．
直角
相等
一半
课堂导学
知识点1：矩形的性质
【例1】如右图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝
BC，DF⊥AE，垂足是F，连接DE.求证：
(1)DF＝AB；
(2)DE是∠FDC的平分线．
【解析】(1)由矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，∠B＝
∠C＝90°，得出∠DAF＝∠AEB，
AD＝AE，由AAS证明△ADF≌△EAB；
(2)由HL证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得∠EDF＝∠EDC，
即可得出结论．
课堂导学
【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，
AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵AE＝BC，
∴AD＝AE，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.
(2)由(1)得DF＝AB，∵AB＝DC，
∴DF＝DC又DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE，
∴∠EDF＝∠EDC，∴DE是∠FDC的平分线．
【点拔】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判
定，垂直定义，平行线的性质的应用，解此题的关键是推
出△ADF≌△EAB.
课堂导学
对点训练一
1.如下图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
第1、2题图2.如上图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若
∠ABD＝30°，AD＝2，则AC等于( )
A．4 B．3 C．2 D
．1
D
A
课堂导学
A3.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，∴△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF.
4.如下图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE
＝DF.
课堂导学
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB＝CE，
∴AC＝CE.
5.已知：如下图，矩形ABCD的对角
线AC、BD相交于点O，CE∥DB，
交AB的延长线于点E.
求证：AC＝EC.
课堂导学
知识点2：直角三角形斜边上的中线的性质
【例2】(2015·辽阳)如右图，在△
ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB
的中点，AD＝6，DE＝5，则线
段BD的长等于__________．
【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，进而结合勾股定理得出BD的长．
课堂导学
【答案】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB＝2DE＝2×5＝10，
∴在Rt△ABD中，
BD＝ ＝
＝8
【点拔】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形
斜边的中线的性质，得出AB的长是解题关键．
课堂导学
对点训练二
6.如下图，已知Rt△ABC中
，
∠ACB＝90°，D是AB的中
点，CD＝2 cm，则AB＝
__________cm.
7.如上图，已知△ABC中，AB＝
AC＝8 cm，AD平分∠BA点E
为AC的中点，则DE＝_______.
4
4
课后巩固
8.如下图，△ABC中，D在BC上，四边形ABDE是平
行四边形，四边形ADCE也是平行四边形．
(1)求证：D为BC中点．
(2)若▱ ADCE是矩形，求证：AB＝AC.
(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
四边形ADCE也是平行四边形，
∴AE＝BD，AE＝CD，
∴BD＝CD，
∴D为BC的中点．
课后巩固
(2)证明：∵四边形ADCE是矩形，
∴AC＝DE，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴AB＝AC.
8.如下图，△ABC中，D在BC上，四边形ABDE是平
行四边形，四边形ADCE也是平行四边形．
(1)求证：D为BC中点．
(2)若▱ ADCE是矩形，求证：AB＝AC.
课后巩固
9.已知：如下图所示，四边形ABCD是矩形，分别以
BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD，点E在
矩形上方，点F在矩形内部，连接AE、EF.
(1)求∠ECF的度数；
(2)求证：AE＝FE.
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，
∵三角形△EBC是等边三角形，∴∠ECB＝∠EBC＝60°，
EC＝EB，∴∠ECD＝∠BCD－∠ECB＝30°，
∠EBA＝90°－60°＝30°，∵△FCD是等边三角形，
∴∠FCD＝60°，CF＝CD，∴∠ECF＝∠FCD－∠ECD＝30°；
课后巩固
(2)∵AB＝CD，CF＝CD，
∴AB＝CF，又∠EBA＝∠ECF＝30°，BE＝CE，
∴△EBA≌△ECF，∴AE＝FE.
9.已知：如下图所示，四边形ABCD是矩形，分别以
BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD，点E在
矩形上方，点F在矩形内部，连接AE、EF.
(1)求∠ECF的度数；
(2)求证：AE＝FE.
能力培优
(1)在矩形ABCD中，
∵AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，
∵F为DE中点，∴DF＝CF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴∠ADC＋∠CDF＝∠BCD＋∠DCF，
即∠ADF＝∠BCF；
10.已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，
F为DE的中点，连接AF、CF.求证：
(1)∠ADF＝∠BCF；(2)AF⊥CF.
能力培优
(2)连接BF, ∵BE＝BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，
即∠BFA＋∠AFD＝90°，
∵AD＝BC，∠ADF＝∠BCF，DF＝CF，
∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD＝∠BFC，
∵∠AFD＋∠BFA＝90°，
∴∠BFC＋∠BFA＝90°，即∠AFC＝90°.
∴AF⊥CF.
10.已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，
F为DE的中点，连接AF、CF.求证：
(1)∠ADF＝∠BCF；(2)AF⊥CF.
感谢聆听
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课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形(二)
核心目标
掌握菱形的判定方法，会
用判定方法进行相关的论证和
计算．
课前预习
1.菱形的定义：_____________________的平行四边
形叫
做菱形．
2.菱形的判定：
(1)__________________________的平行四边形是
菱形．
(2)_____________________________的四边形是菱
形．
四条边都相等
有一组邻边相等
对角线互相垂直
课堂导学
知识点：菱形的判定
【例题】在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点
O作AC的垂线与AD、BC分别交于点E、F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连结AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
【解析】(1)根据平行四边形的性质
得出AD∥BC，得出∠EAC＝∠FCA，
可证△AOE≌Rt△COF；
(2)根据全等得AE＝CF，推出四边形AFCE是平行四边形，
再由AC⊥EF可证．
课堂导学
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC，∴∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF；
(2)解：四边形AFCE是菱形，理由是：
由(1)得AE＝CF，∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．
【点拔】能推出△AOE≌△COF是解此题的关键，注意
：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
课堂导学
1.已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F.
求证：四边形DECF是菱形．
对点训
练
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴AC∥DE，∴∠CDE＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB交AB于D，
∴∠ACD＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC，
∴四边形DECF是菱形．
课堂导学
2.如下图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分
线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接
BM，DN.求证：四边形BMDN是菱形．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，∠BON＝∠DOM，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,
∴∠OBN＝∠ODM，∴△BON≌△DOM，
∴BN＝MD，∴四边形BMDN是平行四边形，
又MN⊥BD，∴▱ BMDN是菱形．
课堂导学
3.如下图，△ABC为等腰三角形，把它沿底边BC 翻
折后，得到△DBC.求证：四边形ABDC是菱形.
∵将△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，
∴AB＝BD，AC＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
课后巩固
4.如下图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分
别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
(1)∵CE∥BF，
∴∠ECD＝∠FBD，
∠DEC＝∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD＝DC，
∴△BDF≌△EDC；
课后巩固
4.如下图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分
别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
(2)由(1)知：△BDF≌△EDC，
则DE＝DF，DB＝DC；
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，
∴▱ BFCE是菱形．
课后巩固
(2)∵BD∥EF，∴∠2＝∠E，∠3＝∠F，
∵∠E＝∠F，∴∠2＝∠3，∴AB＝AD，
∴▱ ABCD是菱形．
5.如下图，在▱ ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD
于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F . 已知
BE＝BP ．求证：(1)∠E＝∠F；(2)▱ ABCD是菱
形.
(1)在▱ ABCD中，BC∥AF，∴∠1＝∠F，
∵BE＝BP，∴∠E＝∠1，∴∠E＝∠F；
课后巩固
∵四边形ABCD、BFDE是矩形，
∴MB∥DN，BN∥MD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
又△ABM≌△EDM，∴BM＝DM，
∴四边形BNDM是菱形．
6.如下图，把两张完全相同的矩形纸片(如图中矩形
ABCD和矩形BFDE)叠放在一起，AD、BE相交于
点M，BC、FD相交于点N.求证：四边形BMDN
是菱形．
能力培优
7.如下图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长
线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点
E
作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，
G，连接BE.
(1)求证：△AEB≌△ADC；
(2)如果BC＝CD，判断四边
形BCGE的形状，并说明理由．
能力培优
(1)∵等边△ABC和等边△ADE，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∠CAB＝∠EAD＝60°，
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，
∠DAC＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△AEB≌△ADC.
能力培优
(2)四边形BCGE的形状是菱形，理由是：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠ACD＝∠BCG＝120°，
∴∠DBE＝60°，∴∠BCG＋∠DBE＝180°，
∴BE∥CG，∵BC∥EG，
∴四边形BCGE是平行四边形，
∵BC＝CD，∴BE＝BC，
∴四边形平行四边形BCGE是菱形．
感谢聆听
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课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形(一)
核心目标
理解菱形的定义，掌握菱形
的特殊性质．
课前预习
1.___________________________________叫做菱
形．
2.菱形的四条边都_________．
3.菱形的两条对角线____________，并且每一条对
角
线平分一组对角．
互相垂直
有一组邻边相等的平行四边形
相等
课堂导学
知识点1：菱形的性质
【例1】已知：如右图，四边形ABCD
是菱形，F是AB上一点，
DF交AC于E. 求证：∠AFD＝∠CBE.
【解析】根据菱形的性质得出∠BCE＝∠DCE，BC
＝CD，证△BCE≌△DCE，可得∠CBE＝∠CDE
再由AB∥CD，得∠AFD＝∠CDE即可．
课堂导学
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDE，在△BCE和△DCE中
∴△BCE≌△DCE，∴∠CBE＝∠CDE，
∵∠AFD＝∠CDE，∴∠AFD＝∠CBE.
【点拔】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形
的判定与性质等知识,得出△BCE≌△DCE是解题关
键.
课堂导学
对点训练一
1.(2015·广东)如下图，菱形ABCD
的边长为6，∠ABC＝ 60°,
则对角线AC的长是______．6
2.如上图，P是菱形ABCD对角线
BD上一点，PE⊥AB于点E，
PE＝4 cm，则点P到BC的
距离是_______cm. 4
课堂导学
3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相
等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
D
4.如下图，菱形ABCD的周长为
16，∠ABC＝120°，则AC的
长为( )
A．4 B．4
C．2 D．2
A
课堂导学
5.如上图，菱形ABCD中，已知∠D
＝110°，则∠BAC的度数为(
)
A．30° B．35°
C．40° D．45°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
又∵∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF.
6.如下图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB于E，
DF⊥BC于F.求证：DE＝DF.
B
课堂导学
知识点2：菱形的面积
【例2】如右图，四边形ABCD是菱形，边长为10
cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°.
(1)求对角线AC，BD的长；
(2)求菱形的面积．
【解析】利用已知条件易求BD的长，再由勾股定
理可求出AO的长，进而可求对角线AC的长，利用
菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面
积．
课堂导学
(2)菱形的面积为： ×10×10 ＝50
(cm2)．
【答案】解：(1)在菱形ABCD中，
AB＝AD＝10 cm，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝10 cm，
∵AC平分∠BAD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝30°，BO＝ BD＝5，
在Rt△AOB中，AO＝
＝5
∴AC＝2AO＝10 (cm)．
课堂导学
对点训练二
7.已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和
8 cm，则这个菱形的面积为__________cm2.
8.菱形的边长为4 cm，一个内角为30°，则这
个菱形的面积为__________cm2.
24
8
课堂导学
9.如下图，菱形ABCD的周长为20 cm，对角线AC、
BD相交于点O，AC＝8 cm.
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形的面积．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，
∵菱形的周长是20，
∴AD＝5又AO＝ AC＝4，∴DO＝3，∴BD＝6.
(2)菱形的面积为 ×8×6＝24.
课后巩固
10.在菱形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．BO＝DO B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD D．AO＝DO
第10、11题图11.如上图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，
AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于( )
A．10 B. C．6
D．5
D
D
课后巩固
12.如上图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，
则菱形ABCD的面积是( )
A．18 B．18
C．36 D．36
13.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
且E、F分别为BC、CD的中点，
则∠EAF等于( )
A．60° B．55°
C．45° D．30°
B
A
课后巩固
14.如上图，在菱形ABCD中，∠BAD＝82°，AB的垂
直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，
则∠CDF等于( )
A．67° B．57° C．60° D．87°
B
课后巩固
15.如下图，在菱形ABCD中，∠A＝
60°，E、F分别是AD、CD上的两
点，且AE＝DF.
求证：△ABE≌△DBF.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，
又∵∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴AB＝DB，∠A＝∠BDF＝60°，
又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DBF.
课后巩固
(1)△OEF是等腰三角形，理由：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO＝ AD，OF＝ AB，∴EO＝FO，
∴△OEF是等腰三角形；
16.如下图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点E，F分别是边AB，AD的中点．
(1)请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
课后巩固
16.如下图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点E，F分别是边AB，AD的中点．
(1)请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝10,
∴AO＝5，∠AOB＝90°，
∴BO＝ ＝12，
∴BD＝24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF＝ BD＝12.
课后巩固
(1)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．∴∠DAB＝60°.
∵菱形 ABCD的边AD∥BC，
∴∠ABC＝180°－∠DAB＝180°－60°＝
120°.
17.如下图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，
E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4 ，求DE的长．
课后巩固
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，
∴AO＝ AC＝2 ，
由(1)可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝2 .
17.如下图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，
E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4 ，求DE的长．
课后巩固
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∴四边形OCEB是矩形，∴OE＝CB；
18.如下图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，
EB∥AC，连接OE，交BC于F.
(1)求证：OE＝CB；
(2)如果OC∶OB＝1∶2，OE＝，求菱形ABCD的面积.
课后巩固
(2)∵由(1)知，AC⊥BD，
OC∶OB＝1∶2，∴BC＝OE＝
设OC＝x，则OB＝2x，在Rt△BOC中，
由勾股定理得x2＋(2x)2＝( )2，
解得x＝1，∴CO＝1，OB＝2. ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积是： BD·AC＝4.
18.如下图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，
EB∥AC，连接OE，交BC于F.
(1)求证: OE＝CB；
(2)如果OC:OB＝1:2，OE＝ ，求菱形ABCD的面积.
课后巩固
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，在△ADE和△CDE，
∵ ，
∴△ADE≌△CDE；
19.在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作
DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
课后巩固
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE.
19.在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作
DF⊥BC于点F，连接EF.求证：
(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
课后巩固
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，∵MC＝MD，
∴∠ACD＝∠2，
∴∠1＝∠2；
20.如下图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，
且MC＝MD.连接DM并延长，交边BC于点F.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．
课后巩固
20.如下图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，
且MC＝MD.连接DM并延长，交边BC于点F.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．
(2)连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，BC＝CD，
∵∠ACD＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD＝∠2,
∵DF⊥BC，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°,
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，∴BF＝CF，
即点F是边BC的中点．
能力培优
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∵点F是AC边的中点，AB＝4，
∴AF＝2，BF⊥AC，BF＝ ＝
＝2.
21.如下图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC延
长线上的一点，F是对角线AC上的一点，AF＝
CE，连接BF、EF.
(1)若AB＝4，点F是AC边的中点，求BF的长；
(2)若点F是AC边上的任意一点(不与点A、C重合)，
求证：BF＝EF.
能力培优
(2)过点F作FG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°
又∵FG∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝60°， ∴△AGF是等边三角形，
∴AG＝AF＝CF，∴BG＝CF，
又∵CE＝AF，∴GF＝CE，∵∠BGF＝∠ECF＝120°，
∴△BGEF≌△FCE，∴BF＝EF.
(2)若点F是AC边上的任意一点(不与点A、C重合)，
求证：BF＝EF.
能力培优
22.(2017·广东)如下图所示，已知四边形ABCD，
ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，
∠BAD为锐角．
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．
能力培优
(1)证明：如下图，连结DB、DF.
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA.
在△BAD与△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD，∴DB＝DF，
∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB＝AF，
∴A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；
能力培优
(2)如下图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，
则四边形BGDH是矩形，
∴DG＝BH＝ BF.
∵BF＝BC，BC＝CD，
∴DG＝ CD.
在直角△CDG中，
∵∠CGD＝90°，DG＝ CD，
∴∠C＝30°，
∵BC∥AD，
∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.
感谢聆听
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1
5
课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形(二)
核心目标
掌握正方形的判定，并会
用它们进行有关的论证．
课前预习
1.有一个角是直角的__________是正方形．
2.有一组邻边相等的__________是正方形．矩形
菱形
课堂导学
知识点：正方形的判定
【例题】如右图，已知在△ABC中，AB
＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE
⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)当∠A＝90°时，求证：四边形AEDF是正方形．
【解析】(1)由AB＝AC可得∠B＝∠C，从而可证
△BED≌△CFD；
(2)由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相
等即可得到四边形AEDF是正方形．
课堂导学
【答案】证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD.
(2)当∠A＝90°时，∠A＝∠AED＝∠AFD＝90°，
则四边形AEDF是矩形，由(1)得△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，∴矩形AEDF是正方形．
【点拔】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定
和全等三角形的判定与性质等知识，得出四边形AEDF是
矩形是解题关键．
课堂导学
对点训练
1.如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平
分
线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F .
求证：四边形DECF是正方形．∵CD是角平分线，
DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠CED＝∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形DECF是正方形．
课堂导学
2.如图，在▱ ABCD中，O是对角线AC的中点，过点
O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AF⊥BC，试猜想四边形AFCE是什么特殊四
边形，并说明理由．
(1)在▱ ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO又∠AOE
＝∠COF，OA＝OC,
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又
AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，∴▱ AFCE是菱形．
课堂导学
2.如图，在▱ ABCD中，O是对角线AC的中点，过点
O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AF⊥BC，试猜想四边形AFCE是什么特殊四
边形，并说明理由．
(2)四边形AFCE是正方形．理由:
由(1)得四边形AFCE是菱形，
又∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴菱形AFCE是正方形.
课后巩固
3.下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
4.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添
加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这
个
条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
D
D
课后巩固
5.如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列
结论中不正确的( )
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是矩形
C．当AC⊥BD时，它是正方形
D．当AC＝BD时，它是矩形
C
课后巩固
6.如上图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E、F分别
是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交
于点M、N两点，则四边形EMFN是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．无法确定
A
课后巩固
7.如下图：已知:AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于
E,DF∥AB交AC于F.
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)当△ABC满足什么条件时，
四边形AEDF是正方形?
(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∠EDA＝∠DAF又∠DAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠EDA，
∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形.
(2)△ABC的∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
理由：由(1)得四边形AEDF是菱形．
∵∠BAC＝90°，∴菱形AEDF是正方形．
课后巩固
(1)∵△ABC是直角三角形，
∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠DAB＋∠DBA＝45°
∴∠ADB＝180°－45°＝135°；．
8.如下图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠CAB、
∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
(1)求∠ADB的度数；
(2)求证：四边形CEDF是正方形．
课后巩固
8.如下图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠CAB、
∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
(1)求∠ADB的度数；
(2)求证：四边形CEDF是正方形．
(2)过D作DG⊥AB于G，
∵AD、BD是∠CAB、∠CBA
的平分线，∴DF＝DG，
DE＝DG，∴DF＝DE，∵△ABC是直角三角形
，
∠C＝90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∴四边形CEDF是正方形．
课后巩固
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
9.已知：如下图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD
的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
课后巩固
(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP＋∠APF＝90°， ∴∠APF＋∠BPQ＝
90°，
∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．
9.已知：如下图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD
的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
能力培优
10.如下图，在四边形ABCD中，点E是AD边上的任意
一点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、
CE的中点．
(1)证明：四边形EGFH是平行四边形；
(2)EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正
方形？说明理由．
(1)∵G、F分别是BE、BC的中点，
∴GF∥EC，同理FH∥BE.
∴四边形EGFH是平行四边形；
能力培优
(2)EF和BC满足关系：EF＝ BC且EF⊥BC时，平行
四边形EGFH是正方形，
理由：连接EF，GH.
∵G、H分别是BE，CE的中点，
∴GH∥BC.∵EF⊥BC，∴EF⊥GH.
∵又∵四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形，
∵EF＝ BC，GH＝ BC，
∴EF＝GH.
∴平行四边形EGFH是正方形．
感谢聆听
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课前预习……………..…
课堂导学……………..…
课后巩固……………..…
核心目标……………..…
能力培优………………….
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形(一)
核心目标
了解正方形的有关概念，
理解正方形的性质．
课前预习
1.正方形的四条边__________，四个角
____________．
2.正方形既是_________，又是_________，它既
有
_________的性质，又有__________的性质．
矩形
都相等 都是直角
菱形
矩形 菱形
课堂导学
知识点：正方形的性质
【例题】如右图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上
一点，连接EB、ED；
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB
＝130°， 求∠AFE的度数．
【解析】(1)由正方形的性质得CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，
可证△BEC≌△DEC；(2)由条件可得∠AEF＝∠BEC
＝65°，而∠DAC＝45°，利用三角形的内角和定理则
可求．
课堂导学
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，
又∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.
(2)解：由(1)得， △BEC≌△DEC，
∴∠DEC＝∠BEC＝ ∠DEB＝65°，
∴∠AEF＝∠BEC＝65°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠AFE＝180°－65°－45°＝70°.
【点拔】熟记正方形的性质确定出∠DCE＝∠BCE是解题
的关键．
课堂导学
对点训练
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
2.如下图，在正方形ABCD中∠DAE＝25°，AE交对角线
BD于E点，那么∠BEC等于( )
A．45° B．60°
C．70° D．75°
D
C
课堂导学
3.如上图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，
使CE＝CA，连结AE交CD于点F，则∠E的度数是
( )
A．30° B．55° C．45°
D．22.5°
D
课堂导学
4.已知：如下图正方形ABCD中，E为CD边上一点，
F为BC延长线上一点，且CE＝CF
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，
∠BCD＝90°，∴∠DCF＝90°，∴∠BCD＝∠DCF，
又CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.
(2)∵△BCE≌△DCF，∴∠EBC＝∠FDC＝30°，
∴∠BEC＝60°，∵∠DCF＝90°，CE＝CF，
∴∠FEC＝45°，∴∠BEF＝∠BEC＋∠FEC＝105°.
课堂导学
5.如下图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点
E在BC的延长线上，且PE＝PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：DP⊥PE.
(2)由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，
∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E，
∵∠2＋∠E＝90°，∴∠1＋∠CDP＝90°，
∴∠DPE＝90°，∴DP⊥PE.
(1)在正方形ABCD中，BC＝DC，
∠BCP＝∠DCP又CP＝CP，∴△BCP≌△DCP.
课后巩固
(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵三角形ADE为等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE＝CE;
6.如下图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形
ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE.
(2)求∠BEC的度数．
课后巩固
(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠BAE＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°，
同理：∠CED＝15°，∴∠BEC＝30°.
6.如下图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形
ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE.
(2)求∠BEC的度数．
课后巩固
7.如下图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，
点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线于点P，
且DE＝DP.
(1)求证：AE＝CP；
(2)求证：BE∥DF.
(2)证明∴△BCE≌△DCE，∴∠BEC＝∠DEP，
∴∠BEC＝∠DPE，∴BE∥DF.
(1)∵DE＝DP，∴∠DEP＝∠DPE，
∴∠AED＝∠CPD，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴△ADE≌△CDP，∴AE＝CP；
课后巩固
8.如下图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，
E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG
交BD于F，求证：OE＝OF.
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB，∠COB＝90°，
∵AG⊥EB，∴∠OAF＋∠OEG＝90°，
∴∠OBE＋∠OEG＝90°，∴∠EAG＝∠OBE，
又∵∠AOF＝∠BOE＝90°，∴△AOF≌△BOE，
∴OE＝OF.
能力培优
(1)证明：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，
又∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF.
9.如下图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC
上，∠ADE＝∠CDF. (1)求证：AE＝CF；(2)连结DB交
EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG、FG，
判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
能力培优
9.如下图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC
上，∠ADE＝∠CDF. (1)求证：AE＝CF；(2)连结DB交
EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG、FG，
判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
(2)四边形DEGF是菱形．理由如下：
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，
即BE＝BF，∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，
又∵OG＝OD，∴四边形DEGF是菱形．
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