部编版八年级数学下册18章四边形章末小结完美

2 1 专题解读……………..… 知识网络……………..… 章末小结 知识网络 专题解读 【例1】如右图，已知在平行四 边形ABCD中，E、F分别是边AD、 BC上的点，且DE＝BF，过E、F 两点作直线，分别与CD、AB的 延长线相交于点M、N，连接CE、 AF . 求证：(1)四边形AFCE是平 行四边形；(2)△MEC≌△NFA. 【解析】(1)由平行四边形的性质可证得AE＝CF且 AE∥CF，可证得结论；(2)由(1)结合平行四边形的 性质可得到EC＝AF，∠ECF＝∠EAF，可证∠MCE＝ ∠NAF，则可证明△MEC≌△NFA. 专题解读 【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC且 AD＝BC，又∵DE＝BF，∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠MCB＝∠NAD，且CD∥AB， ∴∠M＝∠N， ∵四边形AFCE是平行四边形， ∴EC＝AF，∠ECF＝∠EAF， ∴∠MCE＝∠NAF， ∴△MEC≌△NFA. 专题解读 【点拔】本题主要考查平行四边形的性质和判 定，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角 相等和对角线互相平分是解题的关键．   专题解读 专题训练一 1.如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给 出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③ ∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判 定 四边形DEBF是平行四边形的有 (　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 专题解读 2.如上图，已知：在▱ ABCD中，E、F分别是AD、 BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且 BG＝DH，则下列结论中不正确的是(　　) A．GF⊥FH B．GF＝EH C．EF与AC互相平分 D．EG＝FH A 专题解读 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴BE＝DF，∵BE∥DF， ∴四边形EBFD为平行四边形； 3.如下图，在▱ ABCD中，E、F分 别是AB、CD的中点．(1)求证： 四边形EBFD为平行四边形；(2) 对角线AC分别与DE、BF交于点 M、N，求证：△ABN≌△CDM. 专题解读 (2)∵四边形EBFD为平行四边形， ∴DE∥BF，∴∠CDM＝∠CFN. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠BAC＝∠DCA，∠ABN＝∠CFN， ∴∠ABN＝∠CDM，∴△ABN≌△CDM. 3.如下图，在▱ ABCD中，E、F分 别是AB、CD的中点．(1)求证： 四边形EBFD为平行四边形；(2) 对角线AC分别与DE、BF交于点 M、N，求证：△ABN≌△CDM. 专题解读 专题二：矩形的判定与性质 【例2】如下图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与 它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别 交AB、AC于M、N. 求证：(1)四边形AECF为矩形； (2)MN∥BC. 【解析】(1)由AE⊥CE于E，AF⊥CF 于F可得∠AEC＝∠AFC＝90°，再由，CE、CF分别平分 ∠ACB与它的邻补角∠ACD，能证出∠ECF＝90°，从而得证. (2)由矩形的性质可证NE＝NC，从而得∠CEN＝∠ECN＝ ∠BCE，问题得证． 专题解读 (2)∵四边形AECF为矩形，∴NE＝NC， ∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，∴MN∥BC. 【答案】证明：(1)∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， 又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角 ∠ACD， ∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD， ∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝ (∠ACB＋ ∠ACD)＝90° ∴四边形AECF是矩形． 专题解读 【点拔】此题考查的知识点是矩形的判定和性质， 关键是①由已知推出四边形AECF的三个角为直角； ②由矩形的性质可证NE＝NC，从而可代换出内错 角相等，两直线平行． 专题解读 专题训练二 4.如下图，平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延 长线于点E，BD＝BE. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形ABCD的面积． (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. 又∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE. 又BD＝BE， ∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形； 专题解读 4.如下图，平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延 长线于点E，BD＝BE. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形ABCD的面积． (2)∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AB＝4，∴AC＝8， 在Rt△ABC中，BC＝ ＝4 ， ∴矩形ABCD的面积为16 . 专题解读 专题三：菱形的判定与性质 【例3】已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点 P，若在矩形的上方加一个△DEA，且使DE∥AC， AE∥BD. (1)求证：四边形DEAP是菱形； (2)若AE＝CD，求∠DPC的度数． 【解析】(1)由条件可证得四边形 DEAP为平行四边形，结合矩形的性质得PA＝PD，可证 得结论；(2)由(1)的结论结合条件可证得△PDC为等 边三角形，可求得∠DPC的度数． 专题解读 【答案】(1)证明：∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形DEAP为平行四边形， ∵ABCD为矩形，∴AP＝PD， ∴四边形DEAP为菱形； (2)解：∵四边形DEAP为菱形， ∴AE＝PD， ∵AE＝CD，∴PD＝CD，∵PD＝CP， ∴△PDC为等边三角形，∴∠DPC ＝60°. 【点拔】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形 的判定和性质是解题的关键． 专题解读 专题训练三 5.如下图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC ＝DC，BE⊥CD于点E. (1)求证： △ABD≌△EBD； (2)过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF. 求证：四边形AFED是菱形． 专题解读 (1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵BC＝DC， ∴∠EDB＝∠DBC. ∴∠ADB＝∠EDB . ∵BA⊥AD，BE⊥CD， ∴∠BAD＝∠BED＝90°又BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD.(2)由(1)得，AD＝ED，∠ADB＝∠EDB. ∵EF∥DA，∴∠ADB＝∠DFE . ∴∠EDB＝∠DFE . ∴EF＝ED. ∴EF＝AD. ∴四边形AFED是平行四边形． 又∵AD＝ED，∴四边形AFED是菱形． 专题解读 专题四：正方形的判定与性质 【例4】如右图，正方形ABCD中，E是AD 边上一点，且BE＝CE，BE与对角线AC交 于点F，连接DF，交EC于点G. (1)求证：∠ABF＝∠ADF； (2)求证：DF⊥EC. 【解析】(1)根据正方形的性质证△DAF≌△BAF； (2)先根据HL定理可证△DAF≌△BAF，从而得 ∠AEB＝∠DEC，再根据(1)的结论可求出∠ADF＋∠DEC ＝90°，可得结论． 专题解读 (2)Rt△ABE和Rt△CDE中， ∵BE＝CE，AB＝CD， ∴Rt△ABE≌Rt△CDE， ∴∠AEB＝∠DEC，由(1)得∠ABE＝∠ADF， ∵∠ABE＋∠AEB＝90°， ∴∠ADF＋∠DEC＝90°， ∴∠DGE＝90°，∴DF⊥EC. 【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形， ∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，又∵AF＝AF， ∴△DAF≌△BAF，∴∠ADF＝ ∠ABF； 专题解读 【点拔】本题考查的是正方形的性质及全等三 角形的判定定理及性质，注意在正方形中的特 殊三角形的应用． 专题解读 专题训练四 6.如下图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC 的中点且∠AEF＝90°，EF交正方形外角平分线CF 于点F，取边AB的中点G，连接EG. (1)证明：∠BAE＝∠FEC； (2)证明：△AGE≌△ECF. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB＋∠FEC＝180°－90°＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC； 专题解读 (2)证明：△AGE≌△ECF. (2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC， ∵G为AB中点，E为BC中点，∴AG＝EC，BG＝BE， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠DCM＝90°， ∵CF平分∠DCM， ∴∠DCF＝45°，∴∠FCE＝135°＝∠AGE， ∵∠BAE＝∠FEC，∴∠GAE＝∠CEF， ∴△AGE≌△ECF. 专题解读 专题五：三角形的中位线定理 【例5】如右图，矩形ABCD中， E、F、G、H分别是AD、AB、 BC、CD的中点，连接EFGH， 四边形EFGH是什么四边形？ 说明理由． 【解析】根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、 BC、CD的中点，利用三角形中位线定理求证EF＝GH＝ FG＝EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形 即可判定． 专题解读 【答案】解：四边形EFGH是菱形． 理由：连接BD，AC. ∵E、F分别是AD、AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF＝ BD， 同理：FG＝ AC，GH＝ BD，EH＝ AC， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． 【点拔】证明此题的关键是利用三角形中位线定理找出 EF＝ BD，FG＝ AC，GH＝ BD，EH＝ AC. 专题解读 7.如下图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点，连接EFGH；试判断 四边形EFGH的形状，并说明理由． 专题解读 四边形EFGH是平行四边形，理由如下：连接AC ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝ AC ，EF∥AC 同理可证GH＝ AC，GH∥AC ∴EF∥GH，EF＝GH ∴四边形EFGH是平行四边形． 专题解读 专题训练五 8.如下图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F， 使EF＝DE，连接BF (1)求证：BF＝DC； (2)求证：四边形ABFD是平行四边形． 证明：(1)连接DB，CF， ∵DE是△ABC的中位线，∴CE＝BE， ∵EF＝ED， ∴四边形CDBF是平行四边形， ∴CD＝BF； 专题解读 8.如下图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F， 使EF＝DE，连接BF (1)求证：BF＝DC； (2)求证：四边形ABFD是平行四边形． (2)∵四边形CDBF是平行四边形， ∴CD∥FB，∴AD∥BF， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，∴DF∥AB， ∴四边形ABFD是平行四边形． 专题解读 9.已知:如下图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD， BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点. (1)求证：△ABM≌△DCM； (2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你 的结论； 专题解读 (2)四边形MENF是菱形．证明如下： ∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点， ∴NE∥MF，NE＝MF. ∴四边形MENF是平行四边形． 由(1)，得BM＝CM，∴ME＝MF. ∴四边形MENF是菱形． (1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°， 又∵M是AD的中点， ∴AM＝DM. ∴△ABM≌△DCM. 感谢聆听