部编版九年级数学下册26.2实际问题与反比例函数优质

26.2 实际问题与反比例函数 第二十六章 反比例函数 优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 实际问题中的反比例函数 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 导入新课 情境引入 请欣赏成都拉面小哥的“魔性”舞姿 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 如果他要把 体积为 15 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长 度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系式吗？  15y SS  ＞0 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例吗？ 实际问题与反比例函数 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 讲授新课 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 410 .S d  典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 410S d  410500 d ， (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 410S d  410 15S ， 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? d解： 3 .S d  (2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？ 解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载 完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量， 可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货 速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函 数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 240.v t  (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得240v t  240 48.v t   方法总结：在解决反比例函数相关的实际问题中， 若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的 增减性来解答 . 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心， 这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： 1200.y x  (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =12×5=60，代入函数解析式得 1200 20.60y   答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这 样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t ＞0).480v t  当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边 长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1O 2 x y 4O 4 B. x y 1O 4 C. x y 1O 4 1 4 D. C 2. 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系为 ，若要使拉出来的面 条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm.  20y SS ＞0 2000 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________．240千米/时 720v t  4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)， 根据题意有 90y x  (x＞0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 30 90 1 x y O (3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1=0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 90 90 180.0.5y x    5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： 3600.v t  (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. 3600 240.15y   (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得：t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 3600 300t ， 6. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解： 1200.y x  (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)， 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 课堂小结 实 际 问 题 中 的 反 比 例 函 数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 第二十六章 反比例函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 26.2 实际问题与反比例函数 第2课时 其他学科中的反比例函数 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的 探究，使学生体会数学建模思想和学以致用的数学 理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题. (重 点) 2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的 整合思想. (重点、难点) 导入新课 情境引入 电影片段欣赏 在周星驰的电影《西游·降魔篇》中，村民们为了 制服水妖而合力大战. 观看完影片片段，你能说说他 们是如何制服水妖的吗？ 这个方法的原理是什么？ 公元前3世纪，古希腊科学家 阿基米德发现：若杠杆上的两物体 与支点的距离与其重量成反比，则 杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠 杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为： 阻力×阻力臂=动力×动力臂. 阻力 动力 阻力臂 动力臂 例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力 臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 讲授新课 反比例函数在力学中的应用一 典例精析 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 600.F l  当 l=1.5m 时， 600 400.1.5F  对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. 600F l  (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 600F l  解：当F=400× =200 时，由200 = 得1 2 600 l 600 3200l ，  300－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 600F l  在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一 定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比 例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)， 阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请 你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把 地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 练一练 变形得： 321.2 10 .F l  故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方 式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力一定 时，随着木板面积 S (m2)的变化，人和木板对地面的 压强 p (Pa)也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面 的压力合计为 600 N，那么 (1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？ 为什么？ 解：由 得Fp S  600.p S  p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应 的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义， 则 p 是 S 的反比例函数． (2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ 解：当 S ＝0.2 m2 时， 故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa． 600 3000.0.2p   (3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要 多大？ 解：当 p=6000 时，由 得6006000 S  600 0.1.6000S   对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越 小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则 木板面积至少要 0.1 m2. 600p S  (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 2000 0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4 1000 3000 4000 5000 6000 S/m2 p/Pa 解：如图所示. 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数 关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不 超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的 木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( ) A. 至少2m2 B. 至多2m2 C. 大于2m2 D. 小于2m2 练一练 20 40 60 O 6020 40 S/m2 p/(N/m2) A 反比例函数与电学的结合二 例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如 图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U~解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 2220 .p R  (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 2220 440110p   ； 2220 220.220p   因此用电器功率的范围为220~440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R UI R  2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2 安培． (1) 求 I 与 R 之间的函数关系式； (2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值． 解：(1) 设 ∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培， ∴ U =10． ∴ I 与 R 之间的函数关系式为 UI R  ， 10.I R  100.5 R (2) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)． 当堂练习 1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流×电阻)，通过电路 的电流 I (A) 与电路中的电阻 R (Ω) 之间的函数关 系为 ( ) B. I=220R D. R=220I A. 220I R  C. 220 RI  A 2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反 比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大 于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气 球的体积应 ( ) A. 不大于 B. 小于 C. 不小于 D. 大于 C O 60 V/m3 p/kPa 1.6 34 5 m 34 5 m 34 5 m 34 5 m 3. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选 择了动力臂为 1.2米 的撬棍，用了 500 牛顿的力刚 好撬动；小明身体瘦小，只有 300 牛顿的力量， 他该选择动力臂为 的撬棍才能撬动这块大石 头呢. 2 米 4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的 二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会 随之改变，密度ρ (单位：kg/m3) 是体积 V (单位： m3) 的反比例函数，它的图象如图所示， 当 V =10m3 时，气体的 密度是 . 2 1 3 4 5 V/m3 ρ/(kg/m3) 5O 632 41 1 kg/m3 5. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式为 . kI R  36I R  O 9 I(A) 4 R(Ω) M (4，9) (2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是4A． 6. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如 下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解： 60000.v F  (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ (2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50， ∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案：F ≥ 2000 N. 课堂小结 物 理 学 科 中 的 反 比 例 函 数 知识小结 与其他知识的综合 思想方法小结 建模—反比例函数的数学思想方法 “杠杆原理”： 动力×动力臂=阻力×阻力臂 与力学的 综合 与电学的 综合 Fp S  2Up R  UI R 