部编版九年级数学下册 利用方位角、坡度解直角三角形

优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 巩固解直角三角形有关知识. (重点) 2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、 方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路. (重点、难点) 导入新课 某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准 备估算出离他的目的地， 海拔为3 500 m的山峰顶点 B处的水平距离.他能想出 一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行. ． A B ． ． 问题引入 讲授新课 解与仰俯角有关的问题一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 下方的夹角叫做俯角. 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部 的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气 球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果 精确到0.1m）. A B C Dα β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平 线所成的角中视线在水平线上方 的是仰角，视线在水平线下方的 是俯角，因此，在图中，a=30°， β=60°. 典例精析 Rt△ABD中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的 知识求出BD的长度；类似地可 以求出CD的长度，进而求出BC 的长度，即求出这栋楼的高度. 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． tan ,tan .BD CDa AD AD   3120 40 3(m).3    120 3 120 3(m).   答：这栋楼高约为277.1m. A B C Dα β tan 120 tan30BD AD a      tan 120 tan 60CD AD      40 3 120 3BC BD CD     160 3 277.1(m).  建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察 底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精 确到0.1m）. A B CD 40m 54°45° A B CD 40m 54°45° 解：在等腰Rt△BCD中， ∠ACD=90°，BC=DC=40m. 在Rt△ACD中 ，tan ACADC DC   tanAC ADC DC  ∴  tan54 40 1.38 40 55.2 m     ， ∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m). 练一练 例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶， 测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰 角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精 确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ BD C′ C 解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 AB′=x m. 50 25 3 43.3(m)tan 60 tan 30x      ， 43.3 1.5 44.8 45(m).AB     tan tanD' B' C' B'D' AB' C' AB'x x     ， ， tan60 B tan30D B x C x          ， ， tan 60 tan 30 50x x       ， D′ A B′ BD C′ C 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求 飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8， cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75） AB 37°45° 400米 P 练一练 ABO 37°45° 400米 P 设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°， 在Rt△POA中，∠PAB=37°， OB=PO= x米. 解得x=1200. 解：作PO⊥AB交AB的延长线于O. tan 0.75POPAB OA  ∠ ， 即 0.75400 x x  ， 故飞机的高度为1200米. 当堂练习 1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观 测者之间的水平距离BC=_________米. 2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则 建筑物CD的高为_____米. 100 20 3 图①B C A 图②B C A D 30° 60° 3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米， 则树高 (精确到0.1米）. A D BE C 20.9 米 4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉 线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一 根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示). 10 3 5 23      5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所 示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人 在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得 塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC； 解：由题意，AC＝AB＝610（米）. (2) 求大楼的高度CD（精确到1米）. 故BE＝DEtan39°． ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39° ＝610－610×tan39°≈116（米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ .BE DE 45° 30° O B A 200米 6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°， 求飞机的高度PO . U D P 答案：飞机的高度为 米. 300 100 3 课堂小结 利用仰俯角解 直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决 仰角、俯角问题 D C B A  模型一 模型二 DC B A  模型三  模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B EC 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点) 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题； 能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的 数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解 决问题的综合能力. (重点、难点) 导入新课 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与 目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如 图所示： 30° 45° B O A 东西 北 南 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 复习引入 讲授新课 解与方位角有关的问题一 典例精析 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P的 南偏东34°方向上的B处，这时， 海轮所在的B处距离灯塔P有多 远（精确到0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°－65°） =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向 时，它距离灯塔P大约130n mile． sin PCB PB  ，  72.5.5 130 n mile .sin sin34 PCPB B     65° 34° P B C A 解：过A作AF⊥BC于点F， 则AF的长是A到BC的 最短距离. ∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA=∠BAF=60°， ∠ACE=∠CAF=30°， ∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°. 例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼 群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°， 航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°， 如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危 险？ 北 东 A CB 60° 30° D E F 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC， ∴BC=AC=12海里， ∴AF=AC · cos30°=6 (海里)， 6 ≈10.392＞8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 3 北 东 A CB 60° 30° D E F 3 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两 座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森 林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西 45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心， 100km为半径的圆形区 域内，请问：计划修 筑的这条高速公路会 不会穿越保护区(参考 数据： ≈1.732， ≈1.414)． 3 4 练一练 200km 200km 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区． 3 3 C 解与坡度有关的问题二 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路 比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 观察与思考 α l hi= h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记 作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶ m的形式，如i=1∶ 6. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水 平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡 比)，记作i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. α l hi= h : l 坡面 水平面 tanhi l   1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 练一练 1: 3 1: 3 例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多 少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长 度精确到0.1m）？ i=1:2 典例精析 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°， AC=240m， 解：用α表示坡角的大小，由题意可得 因此 α≈26.57°. 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上 升了约107.3 m． 从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）． 因此 sin 240 BC BC AC    ， 1tan 0.52    ， 例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶ 3，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°. 解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别 为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中，  3 3 23 69 mAE BE .     (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). E FA D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 1 3 BEi AE   ，  2.5 2.5 23 57.5 mFD CF    ， AD AE EF FD    =69+6+57.5=132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得  2 2 2 269 23 72.7 mAB AE BE .     在Rt△DCF中，同理可得 1 2 5 CFi FD .   ， 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. E FA D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出 发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　　米到达山 顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的 俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离． 520 练一练 A CB D 30° 答案：点B和点C的水平 距离为 米. 40 20 3 当堂练习 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高 BC=3m，则坡面AB的长度是 ( ) 3 A. 9m B. 6m C. m D. m6 3 3 3 AC B B 2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方 向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方 向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M 在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯 塔距离最近的位置所需的时间是 ( ) A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟 B 3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ∠ACB等于 ． 90° 4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方 向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北 方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南 偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93) 33.5海里 解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E、F． 由题意可知 　 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°， 求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ). 45° 30° 4米 12米 A B CD 732.13  414.12  在Rt△ADE中， 4 tan 45 ,DEi AE AE     E F 在Rt△BCF中，同理可得 因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)． 答： 路基下底的宽约为22.93米． 4 4tan 45AE   (米). 4 6.93tan30BF   (米). 45° 30° 4米 12米 A B CD E F 6. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑， 乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北 偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时 测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变 修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ DB A E 答案：AE= 米. ＞800， 所以古建筑会遭到破坏. 600 3 600 3 1039 课堂小结 解直角三角 形的应用 坡度问题 方位角问题 坡角 坡度(或坡比) tanhi l  