部编版九年级数学下册27.2.1 相似三角形的判定共4课时完美

27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 平行线分线段成比例 九年级数学下（RJ） 教学课件 1. 理解相似三角形的概念. 2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌 握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重 点、难点) 3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应 用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和 计算. (重点、难点) 学习目标 导入新课 复习引入 1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对 应边的比叫做 . 2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相等 成比例 相似比 A B C A′ B′ C′ 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与 △A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”. 讲授新课 平行线分线段成比例（基本事实）一 如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分 别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3. 合作探究 A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n a b c 图① A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n a b c (1) 计算 ，你有什么发现？1 2 1 2 2 3 2 3 A A B B A A B B ， (2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n a b c 图② (3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 若a∥b∥ c ， 则 ， ， 1 2 1 2 2 3 2 3 A A B B A A B B  归纳： A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c 2 3 2 3 1 2 1 2 A A B B A A B B  1 2 1 2 1 3 1 3 A A B B A A B B  ， 2 3 2 3 1 3 1 3 A A B B A A B B  … a 1. 如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 想一想： 如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. DF BD CE AC  BF BD AE AC  CE DF AE BF  AC BD BF AE  D 练一练 A C E B D F l2 l1 l3 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例 的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， 平行线分线段成比例定理的推论二 A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 观察与思考 把直线 n 向左或向右 任意平移，这些线段 依然成比例. A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说 图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得 到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说 图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得 到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两 边的延长线），所得的对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳： 如图，DE∥BC， ，则 ； FG∥BC， ，则 .  AB AD 5 2 AC AE 练一练 2 5 A B C E D F G 2 CG AG  AB AF 2 3 例1 如图，在△ABC中， EF∥BC. (1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 典例精析 解：∵ AE AF BE FC  ， ∴ 7 7 4 AF ， 解得 AF = 4. (2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多 少？ A B C E F 解：∵ AE AF AB AC  ，∴ 6 5 10 AC  ， 解得 AC = .25 3 ∴ FC = AC－AF = .25 1053 3   如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则 AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= . A B C ED F G 练一练 7.5 6 如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D 作BC的平行线DE，交AC于点E. 问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？ 问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边 长是否对应成比例？ B C A D E 相似三角形的引理三 合作探究 问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平 行移动DE的位置，你的结论还成立吗？ B C A D E 通过度量，我们发现△ADE∽△ABC， 且只要DE∥BC，这个结论恒成立. 想一想： B C A D E 我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽ △ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要 证明什么？ 由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？ ，而除 DE 外，其他的线段都在 △ABC 的边上，要想利用前面学 到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？ B C A D E 由前面的结论可得 AD AE AB AC  ，需要证明的是 AD AE DE AB AC BC   可以将 DE 平移到 BC 边上去 证明： 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A. ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F. C A B D E F 用相似的定义证明△ADE∽△ABC ∵ DE∥BC，DF∥AC，∴ .AD AE AD CF AB AC AB CB  ， ∵ 四边形DFCE为平行四边形，∴ DE=FC， ∴△ADE∽△ABC.∴ =AD AE DE AB AC BC  ， 由此我们得到判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 三角形相似的两种常见类型： “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E 1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似 三角形. 3 练一练 C D A B E F O 相似具有传递性 2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似， 一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_____.4︰3 3. 若 △ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm， 那么 A′B′C′ 的最大边长是______.24 cm 当堂练习 1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B C A E F D B 2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm， BC = 4 cm，EF 长 ( )A A. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cm A B C E F 4 3 3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△____∽△____， 对应边的比例式为 ＝ ＝AD AB AE AC DE BC ADE ABC —— ——． B C A D E 4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1 ∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的 相似比为 .1:20 5. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3， EF = 4，求 CD 的长． 解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， D A C B E F ∴ 即DE EF AD AB  ， ∴ △DEF ∽ △DAB， 2 4 5 AB  ， 解得 AB = 10. 又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ CD = AB = 10. 6. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， B C A D E F ∴CD∥AB， ∴ .CD DF AE AF  设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm， ∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.20.9 4 5 4 x x ， 20 9 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例 ◑ 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例 ◑ 相似三角形判定的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似 ◑ 基本事实 平 行 线 分 线 段 成 比 例 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 三边成比例的两个三角形相似 九年级数学下（RJ） 教学课件 1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进 行相关计算. (重点、难点) 学习目标 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？ 导入新课 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 复习引入 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？ 讲授新课 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ A' B' B'C' A' C' AB BC AC   A B CC′B′ A′ A B CC′B′ A′ 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. ∴ AD DE AE .AB BC AC   C′B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E A' B' B'C' A' C' AB BC AC  又 ，AD=A′B′， ∴ ， . DE B' C' BC BC  AE A' C' AC AC  由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 归纳： AC CA CB BC BA AB ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 典例精析 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 2.4 0.64 DE AB  ∵ ， ， ，2.1 0.63.5 EF BC   1.8 0.63 FD CA   DE EF FD AB BC CA  ∴ . 方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中 给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应 边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短 边对应. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断 它们是否相似. (3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. (2) AB=4， BC =8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； (1) AB =3， BC =4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 是 否 否 练一练 例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 1 2 A' B' A' C' .AB AC   证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2. ∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应 成比例的两个三角形相似) ∴ BC=2B′C′， ' ' 1 ' ' ' '.2 B C A B A C BC AB AC    ∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. ∴ △ABC ∽△ADE (三边成 比例的两个三角形相似). 例3 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD=20°，求∠CAE的度数. .AB BC AC AD DE AE   A B C D E AB BC AC AD DE AE   ，解：∵ 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE. 故图中相等的角有∠BAC=∠DAE， ∠B=∠D，∠C=∠E， ∠BAD=∠CAE. 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出 图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. 练一练 A B C D E 1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 当堂练习 2. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A CBP D C ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C. 解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°， ∴AB= ，AC= ，AD= .2 5 10 3. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似： AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm， A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm. 答案：不相似. 4. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点， ∴ 1 1 1=2 2 2DE AC DF BC EF AB ， ， ， ∴ 1= 2 DE DF EF AC BC AB  = ， 5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. A CB D28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行. ∴ 2= 3 AB AD BD BD BC DC  = ， ∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC， ∴AB∥DC. 三边成比例 的两个三角 形相似 利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第3课时 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似 九年级数学下（RJ） 教学课件 1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判 定定理. 2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点) 学习目标 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 导入新课 复习引入 讲授新课 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使 ∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关 系？ AB AC k.A' B' A' C'   两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， AB AC .A' B' A' C'  证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' A' D A' E .A' B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB， AB AC A' B' A' C'  ， =A' D A' E AC A' B' A' C' A' C'  ，∴ 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′，AB AC A' B' A' C'  ， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 典例精析 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 解：∵ 7 3 AB A' B'  ， 14 7 6 3 AC A'C'  = ， AB AC .A' B' A' C' ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F ED 证明： ∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. 练一练 3 5 DF EF .AC BC  ∴ 2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明： ∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， AD AE .AB AC ∴ 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. A B C D E 解：∵ AE=1.5，AC=2， 例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. A CB E D 3 4 AD AB  3 4 AE AD .AC AB  ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， 3 4 DE AD BC AB   ，∴ 3 9 4 4DE BC . ∴ 提示：解题时要找准对应边. 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B， ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高， 且 ，求证 ∠ACB=90°． A B C D =AD CD CD BD ∵ AD CD CD BD  ， 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系， 三角形的高等. 当堂练习 1. 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) × √ √ × 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B CD AB BC BD AB → 3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相 似”) . 54 30 36 45 E A F C B 1 2 相似 当堂练习 解析：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. A B C D 4 或 9 P P 5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．  A B C D 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，  4 5 AB BC .CD AC  ∴ 又∵∠B=∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA， 4 5 AC BC AD AC  ∴ ， 25 4AD .∴ 6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED. A B C D E 证明：∵ AB · AD = AE·AC， AB AC .AE AD ∴ 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. 两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并 能进行相关计算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算. 学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°， 30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手 上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 导入新课 情境引入 ？？？ 讲授新课 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长， 并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似一 合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′， 使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： 这两个三角形是 相似的 证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上， 截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. C A A' B B' C' D E 问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC. 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC. A E FB C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 练一练 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ， ∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °， ∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. 　 ∴ △ABC ∽△DEF. 例1 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF. A CB FE D 典例精析 例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙ O 内一点 P，求证： PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= _______， 同理 ∠C= _______， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴______ 即PA ·PB = PC · PD. ∠D ∠B PA PC PD PB  O D C B A P 1. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B =40°，∠A' = 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽ △A'B'C'. 练一练 C A B B' C' A' 80° 2. 如图，⊙ O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P ∴ AD AE .AC AB  解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 判定两个直角三角形相似二 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10， AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足 为D. 求AD的长. DA B C E ∴ 8 5 4.10 AC AEAD AB     由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳： 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL” 判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比 例的两个直角三角形相似吗？ 思考： 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°， ∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. AB AC A B A C     C A A' B B'C' 要证明两个三角形 相似，即是需要 证明什么呢？ 目标： BC AB AC B' C' A' B' A' C'   证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′B′. 由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 2 2BC AB AC  ， 2 2 .B C A B A C       .kB C kB C     AB AC A B A C     勾股定理 BC AB AC B C A B A C        CB CAkBAk CB ACAB CB BC    222222 ∴ C A A' B B'C' 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 归纳： 例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2， CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与 △ADC相似． 2 C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝ AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3； 2  22 2 22 2 6.AC AD CD    ∴ 6 6 C A B D 2 2 (2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相 似． 6 2 6 3 2 3 2 C A B D 2 2 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°， 依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： . 练一练 相似 相似 相似 当堂练习 1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 　　B. 2对 C. 3对 　　D. 4对 C 2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ) A. 15 4 B. 12 5 C. 20 3 D. 17 4 A C A B D E A B D C 3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或 ∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC； ACD ACB B ADC 4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC 于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ， BC= . 18 D B C A 4 2 12 2 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 5. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证： .AF EF BF FD  .AF EF BF FD  D C A B EF 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 6. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B CD E1 3 2 O 7. 如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC 的高， 求证：AC · BC = BE · CD. O D CB A E 证明： 连接CE， 则∠A=∠E. 又∵BE是△ABC的外接圆O的直径， ∴∠BCE=90°=∠ADC， ∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC， ∴△ACD∽△EBC. ∴ ∴ AC · BC = BE · CD. AC CD BE BC  ， 两角分别相等的 两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 课堂小结 直角三角形相似的判定