部编版九年级数学下册27.3位似图形的概念及画法优质

27.3 位 似 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 位似图形的概念及画法 九年级数学下（RJ） 教学课件 1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点) 2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点) 学习目标 导入新课 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机 放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？ 图片引入 连 接图片上对应的点，你有什么发现？ 下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种 相似有什么特征？ 位似图形的概念一 观察与思考 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的 直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 位似图形，这个交点叫做位似中心． 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方 面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有 特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经 过同一点． 归纳： 1. 画出下列图形的位似中心： 练一练 2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D、C 与 E是对应位似点 D. AE : AD是相似比 D DE A B C 位似图形的性质二 合作探究 从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′， 则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得 到了什么？  OA OB AB OA' OB' A' B' A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似 图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比 相等． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比．（位似图形的相似比也 叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 归纳： 如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射 下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : O′B′＝ 1 : 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面 积比为 ( ) A．4∶ 1 B． ∶ 1 C．1∶ D．1∶ 4 D 2 2 O 练一练 画位似图形三 (3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形． O D A B C A' B' C' D' 例1 把四边形 ABCD 缩小到原来的 1/2. (1) 在四边形外任选一点 O (如图)；(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得 ； 1 2    OA' OB' OC' OD' OA OB OC OD 利用位似，可 以将一个图形 放大或缩小 思考： 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边 形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反 向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部 呢？分别画出这时得到的图形．  OA' OB' OA OB1 2  OC' OD' OC OD O D A B C A' B' C' D' O D A B C A' B' C' D' 如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C' ∽△ABC，且相似比为 1 : 5. (1) 位似中心在△ABC的一条边AB上； 练一练 A CB O ● A′ B′ C′ ● ● 假设位似中心点 O 为 AB 中点，点 O 位置如图所 示. 根据相似比可确定 A′， B′，C′ 的位置.● (2) 以点 C 为位似中心. C A B A′ B′ ( C′ ) ● ● ● ◑ 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关 键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的 关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 归纳： ◑ 利用位似进行作图的关键是确定位似中心和 关键点． ◑ 位似分为内位似和外位似，内位似的位似中 心在连接两个对应点的线段上；外位似的位 似中心在连接两个对应点的线段之外. 当堂练习 A B C D 1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( )B 2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位 似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是 ( ) A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F B A B E C D N F G H M 3. 下列说法： ①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位 似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两 个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′ 位似，则其中 △ABC 与 △A′B′C′ 也是位似的，且位 似比相等. 其中正确的有 . ①④ 4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为 2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为_____． 6 5. 如图，以 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来的 2 倍． O A B C 解：①作射线OA 、OB 、 OC； ②分别在OA、OB 、OC 上取 点A' 、B' 、C' 使得 ③顺次连接 A' 、B' 、C' 就是所要求图形. A' B' C' 1 2    ；OA' OB' OC' OA OB OC 6. 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且 AB∥CD∥EF， (1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加 以证明； 答案：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC， △AEB 与 △DEC 都是位似图形；证明略. (2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长. 解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC， AB=2，CD=3， 2 3   ，AB BE DC EC ∴ 2 5   ，BE EF BC DC ∴ 解得 6 5 EF . 位似的概念及画法 位似图形的概念 课堂小结 位似图形的性质 画位似图形 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 27.3 位 似 第2课时 平面直角坐标系中的位似 九年级数学下（RJ） 教学课件 1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之 间的联系． 2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握 把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变 化的规律. (重点、难点) 3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的 异同，并能在复杂图形中找出来这些变换. 学习目标 导入新课 复习引入 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相 交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ， 这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应 点到位似中心的距离之比等于 ， 对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 位似图形 位似中心 相似比 (或位似比) 平行或者在一条直线上 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前 后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些 平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否 也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 平面直角坐标系中的位似变换一 讲授新课 1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)． 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩 小，观察对应点之间坐标的变化. 1 3 合作探究 2 4 6 4 6B' －2 －4 －4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小 后 A，B 的对应点 为 A′ ( ， )， B' ( ， )； A" ( ， )， B" ( ， ). 2 1 2 0 －2 －1 －2 0 2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)， C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2－6－8－10 －8 B' A' C' A" B" C" 如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为 A' ( ， )，B' ( ， )，C' ( ， )； A" ( ， )，B" ( ， )，C" ( ， ). 4 6 4 2 10 4 －4 －6 －4 －2 －10 －4 o 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一 个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对 应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作 位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为－k． 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1 时，图形缩小为原来的 ． 归纳： 1 k 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)， B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则 端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) 练一练 D x y A BC D 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三 个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . 2 3 2 3 1 3  1 : 3 典例精析 例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的 坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原 点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的 相似比为 3 : 2. 2 4 6 2－2－4 x y A B O 2 4 6 2－2－4 x y A B O 提示：画三角形关键 是确定它各顶点的坐 标. 根据前面的归纳 可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ， 即(－3，6)，类似地， 可以确定其他顶点的 坐标. 3 32 42 2       ， 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取 点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). A′ B′ 顺次连接 点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个 图形. 还有其他画法吗？ 自己试一试. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标 分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以 原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形， 使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. 练一练 O C 解：画法一：将四边 形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面直 角坐标系中描点O (0， 0)，A' (4，0)，B' (2， 4)，C′ (－2，2)，用 线段顺次连接O，A'， B'，C'. 2 3 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' C' 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4， 0)，B″ (－2，－4)， C″ (2，－2)，用线 段顺次连接O，A″， B″，C″. 2 3  O C 2 4 6 4 6 B″ －2 －4 －4 x y A B A″ C″ 平面直角坐标系中的图形变换二 至此，我们已经学 习了四种变换：平移、 轴对称、旋转和位似， 你能说出它们之间的异 同吗？在右图所示的图 案中，你能找到这些变 换吗？ 将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图 形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 以 C 为位似中心，将 △ABC 放大2倍； (4) 以 C 为中心，将 △ABC 顺时针旋 转180°． 练一练 x y A B C 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下 变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 当堂练习 2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位 似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) A 3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大 鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大 鱼上的点 .(－2a，－2b) 4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积 是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .3 2 6 5. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和 点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正 方形的位似中心的坐标是___________________．(1，0) 或 (－5，－2) O x 6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)， C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放 大为原来的 2 倍． C 2 4 6 －4 x y A B 2－2 答案： A' (4，－4)， B' (8， －10)， C' (10，－4)； B' A' C' A" B" C" A″ (－4，4)， B″ (－8，10)， C″ (－10，4). 7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). x y A B C (1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC的 位似图形 △A′B′C′； M A′ B′ C′ 解：如图所示. (2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标. 答：△A′B′C′ 的 各顶点坐标分别 为 A′ (3，6)， B′ (5，2)， C′ (11，4). 8. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)， 点 B 的坐标为 (4，0). 4 x y A B 4 3 (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得△A1O1B1， 则点 A1 的坐标为 ， △A1O1B1的面积为 ； (2，4) 8 (2) 将 △AOB 绕原点旋转 180° 后得 △A2O2B2，则点 A2 的 坐标为 ；(－3，－4) (3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的 坐标为 ； (4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大 后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4 的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 . 4 x y A B 4 3 (3，－4) (－6，－8) 32 平面直角坐标 系中的位似 平面直角坐标系 中的位似变换 课堂小结 平面直角坐标系 中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中 的位似图形的画法