27.2 相似三角形
第二十七章 相 似
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
27.2.2 相似三角形的性质
九年级数学下(RJ)
教学课件
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似
比,并运用其解决问题. (重点、难点)
2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方,并
运用其解决问题. (重点)
学习目标
导入新课
复习引入
1. 相似三角形的判定方法有哪几种?
◑ 定义:对应边成比例,对应角相等的两个三角
形相似
◑ 平行于三角形一边,与另外两边相交所构成的
三角形与原三角形相似
◑ 三边成比例的两个三角形相似
◑ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
◑ 两角分别相等的两个三角形相似
◑ 一组直角边和斜边成比例的两个直角三角
形相似
2. 三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素?
如果两个三角形相似,那
么,对应的这些要素
有什么关系呢?
高 中线 角平分线
周长 面积
如图,△ABC ∽△A′B′C′,相似比为 k,它们
对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?
讲授新课
相似三角形对应线段的比一
A
B C
A'
B' C'
合作探究
∵△ABC ∽△A′B′C′,
∴∠B=∠B' ,
解:如图,分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' .
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B C
A'
B' C'D'
D
.' ' ' '
AD AB kA D A B
∴
类似地,可以证明相似三角形对应中线、角平
分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到:
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地,我们有:
相似三角形对应线段的比等于相似比.
归纳:
解:∵ △ABC ∽△DEF,
D
E F
H
例1 已知 △ABC∽△DEF,BG、EH 分别是 △ABC
和 △DEF 的角平分线,BC = 6 cm,EF = 4cm,BG
= 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应
角平分线的比等于相似比),
BG BC
EH EF
∴ ,解得 EH = 3.2.4.8 6
4EH
A
G
B C
典例精析
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3,那么对
应角平分线的比是 ,对应边上的中线的比是
______ .
2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4,若 BC 边上的
高 AD=12 cm,则 B'C' 边上的高 A'D' =_______ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
练一练
相似三角形的周长比也等于相似比吗?为什么?
想一想:
如果 △ABC ∽△A'B'C',相似比为 k,那么
' ' ' ' ' '
AB BC CA kA B B C C A
,
因此 AB=k A'B',BC=kB'C',CA=kC'A',
从而
' ' ' ' ' ' .' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
AB BC CA kA B kB C kC A kA B B C C A A B B C C A
相似三角形面积的比二
如图,△ABC ∽△A′B′C′,相似比为 k,它们
的面积比是多少?
合作探究
A
B C
A'
B' C'
由前面的结论,我们有
2
' ' '
1
2 .1 ' ' ' '' ' ' '2
ABC
A B C
BC ADS BC AD k k kS B C A DB C A D
△
△
A
B C
A'
B' C'D'D
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
由此得出:
归纳:
1. 已知两个三角形相似,请完成下列表格:
相似比 2 k ……
周长比 ……
面积比 10000 ……
试一试:
1
32
4
1
3
1
9
100
100 k
k2
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形,
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍,那么面积扩大为
原来的______倍;
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍,那么边长扩大
为原来的______倍.
25
10
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm,
(1) 它们的周长差 60 cm,这两个三角形的周长分别
是________________;
(2) 它们的面积之和是 58 cm2,这两个三角形的面
积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
解:在 △ABC 和 △DEF 中,
∵ AB=2DE,AC=2DF,
又 ∵∠D=∠A,
∴ △DEF ∽ △ABC ,相似比为 1 : 2.
A
B C
D
E F
1 .2
DE DF
AB AC
∴
例2 如图,在 △ABC 和 △DEF 中,AB = 2 DE ,AC =
2 DF,∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6,面
积为 ,求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5
A
B C
D
E F
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6,面积为 ,12 5
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3,1
2
面积为
21 12 5 3 5.2
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7,较
大三角形一边上的高为 7,则较小三角形对应边上
的高为______. 14
练一练
5
3
AB
AD
AC
AE
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5,
∴ 面积比为 9 : 25.
B C
A
D
E
解:∵ ∠BAC = ∠DAE,且 3
5
AE AD
AC AB
,
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2,
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100-36 = 64 (cm2).
B C
A
D
E
如图,△ABC 中,点 D、E、F 分别在 AB、AC、
BC 上,且 DE∥BC,EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时,
求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B C
D
F
E
练一练
解:∵ DE∥BC,D 为 AB 中点,
∴ △ADE ∽ △ABC ,
相似比为 1 : 2,
面积比为 1 : 4.
1
2
AE AD .AC AB
∴
A
B C
D
F
E
又∵ EF∥AB,
∴ △EFC ∽ △ABC ,相似比为 1 : 2,
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4,则 S△ADE = 1,S△EFC = 1,
S四边形BFED = S△ABC-S△ADE-S△EFC = 4-1-1 = 2,
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 1.2
1. 判断:
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍,这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍,这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
当堂练习
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______,面积
比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中,AB=2 DE,AC=2 DF,
∠A=∠D,AP,DQ 是中线,若 AP=2,则 DQ
的值为 ( )
A.2 B.4 C.1 D.
C
2
1
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm,
若较大三角形的周长是 42 cm,面积是 12 cm2,则
较小三角形的周长____cm,面积为____cm2.14
4
3
5. 如图,这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照
射桌面形成阴影的示意图,已知桌面的直径为 1.2
米,桌面距离地面为 1 米,若灯泡距离地面 3 米,
则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位
小数)? A
DE F
CB
H
解:∵ FH = 1 米,AH = 3 米,
桌面的直径为 1.2 米,
∴ AF = AH-FH = 2 (米),
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH,
∴△ADF ∽△ACH,
A
DE F
CB
H
DF AF
CH AH
,∴ 即 0 6 2
3
.
CH
,
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为:
2 20.9 2.54CH (平方米).
答:地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
6. △ABC 中,DE∥BC,EF∥AB,已知 △ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9,求 △ABC 的面积.
A
B C
D
F
E
解:∵ DE∥BC,EF∥AB,
∴ △ADE ∽△ABC,
∠ADE =∠EFC,∠A =∠CEF,
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9,
∴ AE : EC=2:3,
则 AE : AC =2 : 5,
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25,∴ S△ABC = 25.
7. 如图,△ABC 中,DE∥BC,DE 分别交 AB、AC 于
点 D、E,S△ADE=2 S△DCE,求 S△ADE ∶ S△ABC.
解:过点 D 作 AC 的垂线,交点为 F,则
1
2 21
2
ADE
DCE
AE DFS AE
S ECEC DF
△
△
,
2
3
AE .AC
∴
又∵ DE∥BC,
∴ △ADE ∽△ABC.
A
B C
D E
F
2 22 4
3 9
ADE
ABC
S AE
S AC
△
△
,∴
即 S△ADE : S△ABC =4 : 9.
A
B C
D E
F
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于
相似比
课堂小结
相似三角形面积的比等于相似
比的平方
相似三角形性质的运用