部编版九年级数学下册28章锐角三角函数解直角三角形的简单应用

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 解直角三角形的简单应用 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点) 2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题(重点、难点) 导入新课 情境引入 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋 跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”. 美国人体工程学研究人员卡特 · 克雷加文调查发 现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的 高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚 背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右 高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的 夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适. 你知道专家是怎样计算 的吗？ 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有 一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1. 解直角三角形 (1) 三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2. 解直角三角形的依据 (2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3) 边角之间的关系： tanA＝ sinA＝ a c cosA＝ Ａ Ｃ Ｂ a b cb c a b 讲授新课 利用解直角三角形解决简单实际问题一 棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达 点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路 线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距 离是多少吗? A B A B D30° 200m BD=ABsin30°=100m 合作探究 A B C 棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果 这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车 行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ A B D C E60° 200m = 231m.sin 60 CEBC  棋棋需要231s才 能到达目的地. 例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号 目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的 组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组 合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的 地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少 （地球半径约为6 400km， 结果取整数）？3.142取 ， O F P Q FQ是☉O的切线，∠FQO为直角.  最远点 PQ求 的长，要先求 ∠POQ的度数 典例精析 O F P Q 解：设∠POQ= α ，∵FQ是☉O 的切线，∴△FOQ是直角三角形. 6400cos 0.9491,6400 343 OQ OF     ∵ 18.36 .  ∴ PQ∴ 的长为 18.36 18.36 3.1426400 6400 2051(km).180 180      利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 归纳： ·O C B A 练一练 “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不 朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处 景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样 的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上 一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？ AC AC 解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度， ∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在 的. ·O C B A 在Rt△OCB中，∠O  180 4.5AC OC     ，  6370 6389 kmcos cos4.5 OCOB O    ，∠ 例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板 （大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时， 若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 0.5m 3m 60° 0.5m 3m A BC D E 60° 分析：根据题意，可 知秋千踏板与地面的 最大距离为CE的长度. 因此，本题可抽象为： 已知 ：DE=0.5m， AD=AB=3m，∠DAB =60°，△ACB为直 角三角形，求CE的长 度. 解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m， 3m A B D E 60 °C ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m， ∴ CD=AD－AC=1.5m， ∴ CE=AD+DE=2.0m. 即秋千踏板与地面的最大 距离为2.0m. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线 杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测 得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为 1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） 练一练 G 解：作AG⊥CD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米. tan30CG AG  ∴ 36 2 33    (米). G ∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，2 3    32 3 1.5 4 3sin60 2 CDCE       ∴ (米). 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米， 那么旗杆的高度约是 ( ) 当堂练习 A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米8 3 24 3 B 2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两 棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂 直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同 学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数 据求得A、B两树距离的有 ( ) A．0组 B.1组 C．2组 D.3组 D 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.(4 4 2) A C B 4米 45° 4. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 ∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( ) B DCA A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米 50 3 200 3 3 B F E A 30 °15m 5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD =20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平 线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？ 北 A B D C 20m 15m 30 EF 南 解：过点E作EF∥BC， ∴∠AFE=90°，FE=BC=15m. AF=FE tan30 =5 3m.∴ 即南楼的影子在北 楼上的高度为 (20 5 3)m.－ EC=FB=AB AF =(20 5 3)m. － － ∴ (2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影 响，请问楼间距BC长至少应为多少米? A B 20m ?m 北 D C 30 南 答案：BC至少为20 3 m. 课堂小结 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案.