部编版九年级数学下册28章锐角三角函数小结复习

小结与复习 第二十八章 锐角三角函数 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 九年级数学下（RJ） 教学课件 (2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　＝　　　； (3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　＝　　　. 要点梳理 1. 锐角三角函数 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1) ∠A的正弦： ∠A的对边 斜边sin A = a c  ； ∠A的邻边 斜边 b c ∠A的邻边 ∠A的对边 a b sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　； cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　； tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　. 2. 特殊角的三角函数 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 合作探 究(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边． 三边关系：_______________； 三角关系：_________________ ； 边角关系：sinA＝cosB＝_____ ，cosA＝sinB ＝____， tanA＝_________，tanB＝_______. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 3. 解直角三角形 a c sin cos A A sin cos B B b c (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑ 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素． ◑ 解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边； 知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股 定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边， 再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． (3) 互余两角的三角函数间的关系 sinα = ， cosα = _____________， sin2α + cos2α = . tanα · tan(90°－α) =___. cos(90°－α) sin(90°－α) 1 1 对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ； 对于cosα，角度越大，函数值越____. 大 小 (4) 锐角三角函数的增减性 (1) 利用计算器求三角函数值 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果. (不同计算器操作可能不同) 第一步：按计算器 键，sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用 键，进一步得到角的 度数. 第二步：输入函数值 屏幕显示答案 (按实际需要进行精确) 方法①： °＇″2nd F 第一步：按计算器 键，2nd F sin cos tan 方法②： 第二步：输入锐角函数值 屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值). 第一步：按计算器 键，°＇″2nd F (1) 仰角和俯角 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的 夹角叫做俯角. 5. 三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目 标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图 所示： 30° 45° B O A 东西 北 南 (2) 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东西 北 南 西北 东南 图19.4.5 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α. 坡度通常写成1∶ m的形式，如i=1∶ 6. 显然，坡度越大，坡角α就越大， 坡面就越陡. 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度.记作i，即i = . (3) 坡度，坡角 h l (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案． A C M N ①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； E ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； ③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l · tanα+a. α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 6. 利用三角函数测高 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α； A C B D M N Eα ②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β； β ③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度. ,tan tan ME ME b MN ME a     考点一 求三角函数的值 考点讲练 例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的 值为 ( ) A.　　 B.　 　 C.　 　D. 4 5 4 3 3 4 3 5 4 5 解析：根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝ 4 5 3 3.4 4 k k  B 方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在 具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法， 常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求 值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的 数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数 关系求值；(6)构造直角三角形求值． 1. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB， 那么△ABC一定是______三角形．直角 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C都在格点上，则∠ABC的正切值是____. 1 2 针对训练 例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点， 沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE． 分析：根据题意，结合折叠的性 质，易得∠AFE=∠BCF，进而在 Rt△BFC中，有BC=8，CF=10， 由勾股定理易得BF的长，根据三 角函数的定义，易得 tan∠BCF 的值，借助∠AFE=∠BCF，可得 tan∠AFE的值． 10 8 解：由折叠的性质可得，CF=CD， ∠EFC=∠EDC=90°. ∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°， ∴∠AFE+∠BFC=90°. ∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF. 在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10， 由勾股定理易得BF=6. ∴tan∠BCF = . 3 4 ∴tan∠AFE=tan∠BCF= .3 4 10 8 针对训练 解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD = ∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9， ∴CD=BC－BD=14－9=5， ∴ ∴sinC = 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14， AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值．3 4 3 4 BD AD  ， 2 2 2 212 5 13AC AD CD     ， 3 4 12.13 AD AC  考点二 特殊角的三角函数值 例3 计算： 03 2tan 60 .33        解：原式＝ 3 3 1 2 3 1.    (1) tan30°＋cos45°＋tan60°； (2) tan30°· tan60°＋ cos230°. 计算： 3 333 4 7 .4     3 2 33 2    4 3 2 .3 2   解：原式 解：原式 针对训练 考点三 解直角三角形 例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上， BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC = ，求： (1) DC的长； 5 3 分析：题中给出了两个直角三角 形，DC和sinB可分别在Rt△ACD 和Rt△ABC中求得，由AD＝BC， 图中CD＝BC－BD，由此可列方 程求出CD． A B CD 又 BC－CD＝BD， 解得x =6，∴CD=6. A B CD 解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC = ，3 53 5 5 3 x AD xAD    ， 5 3AD BC BC x   ， ， 5 43 x x   ， (2) sinB的值． A B CD 解：BC=BD+CD=4+6=10=AD， 在Rt△ACD中， 在Rt△ABC中， 2 2 2 210 6 8AC AD CD     ， 2 2 64 100 2 41AB AC BC     ， 8 4 41sin .412 41 ACB AB     方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与 角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程 思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ . 点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°. 求△ABC的周长 (结果保留根号). 针对训练 3 解：在Rt△ADC中， ∴BD＝2AD＝4. ∴BC＝BD＋DC＝5. 在Rt△ABC中， ∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC sin = ,ACADC AD ∵ ∠ 3= = 1,tan tan 60 ACDC ADC  ∴ ∠ tan = ,ACADC DC ∵ ∠ 3= = 2,sin sin 60 ACAD ADC  ∴ ∠ 2 2 2 7.AB AC BC   2 7 5 2 3.   解：连接OC. ∵BC是⊙ O的切线， ∴∠OCB＝90°， ∴∠OCA＋∠BCA＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC＋∠BCA＝90°， ∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°， ∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP. 例5 已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为 半径作⊙ O，BC切⊙ O于点C，连接AC交OB于点P. (1) 求证：BP＝BC； 解：延长AO交⊙ O于点E，连接CE，在Rt△AOP中， ∵sin∠PAO＝ ，设OP＝x，AP＝3x， ∴AO＝ x. ∵AO＝OE，∴OE＝ x， ∴AE＝ x. ∵sin∠PAO＝ ， ∴在Rt△ACE中 ，∴ ，解得x＝3， ∴AO＝ x＝ ，即⊙ O的半径为 . (2) 若sin∠PAO＝ ，且PC＝7，求⊙ O的半径．1 3 1 3 2 2 2 2 4 2 1 3 2 2 3 AC AE  3 7 2 2 34 2 x x   2 2 6 2 6 2 E 如图，AB为⊙ O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点 B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C = ，DF=3， 求⊙ O的半径． 4 5 针对训练 解：连接BD． 在⊙ O中，∠C=∠A， ∵BF是⊙ O的切线，∴∠ABF=90°． 设AB=4x，则AF=5x， 由勾股定理得，BF=3x． ∵AB是⊙ O的直径，∴BD⊥AD， ∴cosA=cosC= 4.5 ∴△ABF∽△BDF， BF DF=AF BF  ， 3 3=5 3 x x x 即 ， 5.3x 解得 ∴⊙ O的半径为 1 10AB 2 .2 3x  考点四 三角函数的应用 例6 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥ BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背 水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号) 解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中， ∠ABF =∠α=60°， 则AF=AB·sin60°= (m)， 在Rt△AEF中， ∠E=∠β=45°， 则 (m). 故改造后的坡长 AE 为 m. 10 3 10 6sin 45 AFAE   10 6 F 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横 断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°， 高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固 方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡EF的坡比i =1:　 ．求加固后坝底 增加的宽度AF. (结果保留根号) 3 针对训练 A B CDE F 45° i=1: 3 A B CDE F 45° i=1: 3 GH 解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于G， 则GH=DE=2米，EH=DG=10米. 10= 10 3tan EHFH F i  ∠ (米)，  10 3 2FG FH HG    (米). 又∵AG=DG=10米， ∴ (米). 故加固后坝底增加的宽度AF为 米.  10 3 2 10 10 3 8AF FG AG        10 3 8 例7 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是 30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测 得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求 大树的高度（结果保留整数，参考数据:(sin48°≈0.74， cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73）3 解：如图，过点 D 作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H， 则四边形DHCG为矩形． 故DG=CH，CG=DH，DG∥HC， ∴∠DAH=∠FAE=30°， 在Rt△AHD中， ∵∠DAH=30°，AD=6， ∴DH=3，AH= ， ∴CG=3， 设BC为x， 在直角三角形ABC中， 3 3 tan 1.11 BC xAC BAC   ，∠ G H 在Rt△BDG中，∵ BG=DG · tan30°， 解得：x ≈13， ∴大树的高度为：13米. 3 3 31.11 xDG BG x   ， ，∴ 33 3 3 1.11 3 xx        ∴ G H 针对训练 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选 择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C 之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角 仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m． (1) 求点B到AD的距离； 答案：点B到AD的距离为20m. E (2) 求塔高CD（结果用根号表示）． E 解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m， 则AD=AE+EB= (m)， 在Rt△ADC中，∠A=30°， 答：塔高CD为 m.  20 3 20  10 10 32 ADDC   ∴ (m).  10 10 3 例8 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙 位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船 甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行 驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h， 轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得 ∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据： sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 解：设B处距离码头O x km， 在Rt△CAO中，∠CAO=45°， ∴CO=AO · tan∠CAO=（45×0.1+x）· tan45°=4.5+x， 在Rt△DBO中，∠DBO=58°， ∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°， ∵DC=DO－CO， ∴36×0.1=x · tan58°－（4.5+x）， 因此，B处距离码头O大约13.5km. 36 0.1 4.5 36 0.1 4.5 13.5.tan58 1 1.60 1x       ∴ CO AO DO BO ∵tan∠CAO= , ∵tan∠DBO= , 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救 生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B 处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时 通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直 向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海 岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝ 40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙 的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82， cos55°≈0.57，tan55°≈1.43). 针对训练 分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC， BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之 间的大小即可． 解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°. ∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)． BC＝ ＝ ≈70.2(米)． ∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)， t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)． ∴t甲>t乙． 答：乙先到达B处． CD COS BCD 40 cos55 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单实际问题 课堂小结 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 三角关系 边角关系 仰俯角问题 方位角问题 坡度问题 见章末练习 课后作业