部编版九年级数学下册27相似小结复习优质

小结与复习 第二十七章 相 似 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 九年级数学下（RJ） 教学课件 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 要点梳理 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 ①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例. ◑ 通过定义 ◑ 平行于三角形一边的直线 ◑ 三边成比例 ◑ 两边成比例且夹角相等 ◑ 两角分别相等 ◑ 两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 2. 相似三角形的判定 ◑ 对应角相等、对应边成比例 ◑ 对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑ 周长比等于相似比 ◑ 面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 4. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比) 5. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B GC ED F ●P B′ A′ C′ D′E′ F′ G′ A′ B′C′ D′ E′ F′ G′ A B GC ED F ●P (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的 坐标的比为－k. 考点讲练 考点一 相似三角形的判定和性质 针对训练 1．如图,当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC ∽△ACB． (1) ； (2) ； (3) . ∠ACD =∠B ∠ACB =∠ADC B C A D AD AC AC AB  或 AC2 = AD · AB 2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的 △DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条 边长为 ．36 和 39 3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上 且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF =　　　　. B C A E 2 或 4.5 4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　1 : 9 5. 如图，CD 是 ⊙ O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂 足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB. B·A C D O P 证明：连接AC，BC. ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴ ∠A + ∠B = 90°. 又 ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°， ∠PCB＋∠B＝90°. ∴ ∠A＝∠CPB， ∴ △APC ∽△CPB. ∴ PC2 = AP · PB.AP PC PC PB  ，∴ 例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC ＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形 零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分 别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ A B CD E F G H 解：设正方形 EFHG 为加工成的 正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、 AC上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的 边长为 x mm. M ∵ EF//BC， ∴△AEF∽△ABC， 又∵ AM＝AD－MD＝80－x， 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. A B CD E F G H M80 120 80 x x ，则 .EF AM BC AD ∴ 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线， ∴∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED． 例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线， 点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证：△ABD ∽△CED； A B C D F E (2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长. 解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD， ∴CD＝2，AD＝4， MD＝1. A B C D F EM 在 Rt△BDM 中， 2 26 3 3 3BM    ， 2 2 2 7BD BM MD   ， 由(1) △ABD ∽△CED得， BD AD ED CD  ，即 2 7 2ED  ， 7 3 7.ED BE BD ED   ，∴ A B C D F EM 证明：连接AD， ∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC， ∴∠DAC=∠EBC. ∵AC 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°， ∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC =180°－ (∠EBC+∠DCA)=90°，∴AC⊥BH. 例3 已知：在 △ABC 中，以 AC 边为直径的 ⊙ O 交 BC 于点 D，在劣弧上取一点 E 使 ∠EBC =∠DEC， 延长 BE 依次交 AC 于点 G，交 ⊙ O 于 H． (1) 求证：AC⊥BH； A B CD G E O H (2) 若 ∠ABC=45°，⊙ O 的直径等于 10，BD = 8， 求 CE 的长． A B CD G E O H解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°， ∠ABC=45°，∴∠BAD=45°， ∴ BD = AD. ∵ BD = 8，∴ AD = 8. 在 Rt△ADC中，AD = 8，AC = 10， 由勾股定理得 DC = 6，则 BC = BD + DC = 14. ∵∠EBC = ∠DEC，∠BCE = ∠ECD， ∴△BCE∽△ECD，∴BC : CE = CE : CD， 即 CE2 = BC · CD =14×6 = 84，∴ CE = . 2 21 考点二 相似的应用 例1 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树 与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长． 2m 1.2m3.6m 2m 1.2m3.6m 解：如图，CD＝3.6m， ∵△BDC∽△FGE， ∴ BC＝6m. 在 Rt△ABC 中， ∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m， 即树长 AB 是 12 m. BC EF CD GE  ，即 2 3.6 1.2 BC  ，∴ 例2 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请 你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高 度 (画出示意图)，并说明理由． 解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、 BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 根据 ，即可算出 AB 的高．CD DE AB BE  你还有其他 方法吗？ 理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝ ∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ 针对训练 A B O C D2m 6m 1.8m 解：∵∠ABO=∠CDO=90°， ∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD. ∴ AB BO CD DO  ，∴ 1.8 2 6CD  ， 解得 CD = 5.4m. 故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方． A B O C D2m 6m 1.8m 考点三 位似的性质及应用 针对训练 1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和 △A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A(A')C' B C B' A C' B CA' A B C D B 3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC 是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 . D A EB C C 4 : 3 16 : 9 4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6， 3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为 位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则 点 B′ 的坐标为 .(4，－3) 5. 找出下列图形的位似中心. 6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A B C (1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3. O A′ B′ C′ 解：如图所示. (2) 线段 AA′ 的长度是 . 4 2 3 7. 如图，△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)， C (6，2)，并求出 B 点坐标； 解：如图所示， B (2，1). x y O (2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′； x y O A′ B′ C′ 解：如图所示. (3) 计算△A′B′C′的面积 S. x y O A′ B′ C′ 解： 1 4 8=16.2S    课堂小结 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段 成比例 定义 定义、判定、性质 见章末练习 课后作业