数学北师大版七年级下册垂线

1.3线段的垂直平分线教学目标：1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力2．能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理，以及三角形三条边的垂直平分线相交于一点定理3．能够用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形教学重点：1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．3．理解三角形三条垂直平分线共点．教学难点：1．写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题．2．理解三条垂直平分线共点的证明方法及应用教学过程设计教学过程设计补充完善一、复习引入在七年级时研究过线段的性质：线段是一个轴对称图形，它的对称轴是你还记得它有什么性质吗？本节课我们将继续学习并应用线段的垂直平分线二、新课讲解1、线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：PA＝PB．分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否．例1如图，在ΔABC中，AB=AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求ΔBCN的周长。对应训练：1、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ΔABD的周长为13cm，则ΔABC的周长为。2、已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC 的长分别是（）A．24cm和12cmB．16cm和22cmC．20cm和16cmD．22cm和16cm3．如图7，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，求证：AD=DC．2、线段的垂直平分线的判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上你能写出上面这个定理的逆命题吗?分析原命题的条件和结论：条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．APB描述得更简捷：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．它是真命题吗?已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC．证法二：取AB的中点C，过PC作直线ABDCE证法三：过P点作∠APB的角平分线.例2、如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD,CB=CD(1)小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED，你同意小明的判断吗？请说明理由(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积3、线段的垂直平分线的尺规作图：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?已知：线段AB(如图)．AB求作：线段AB的垂直平分线．作法： 根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗?我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．ha例3、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段a，h(如图)求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。作法：4、三角形三边中垂线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等折一折：拿出三角形纸片，通过折叠让学生观察：刚刚折出来的三条垂直平分线有什么关系?这一点有到三个顶点的距离有何关系？ABCP三种三角形三边中垂线交点的位置不同：锐角三角形交点在三角形钝角三角形交点在三角形直角三角形交点在三角形如何证明三条垂直平分线交于一点？分析：大家都知道两条直线交于一点，要证明三条直线相交于一点，只要能证明其中两条直线的交点在另一条直线上即可。证明：例4、如图6，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E．求证：点O在AC的垂直平分线上．三、巩固练习：1、到平面上三点A，B，C距离相等的点（）A．只有一个B．有二个C．三个或三个以上D．一个或没有2、如果一个三角形的三边中垂线的交点恰好在三角形的一边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形3、在锐角三角形ABC中，∠A=60°，AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，则∠BOC=　　　　．4、△ABC中，∠ABC=135°，MN垂直平分AB交AC于点N，EF垂直平分BC交AC于点F，那么△NBF是　　　　三角形．4、已知：是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，的周长为24cm，腰长为14cm，求底边BC的长。说明：进一步训练学生的作图技能,应注意要求学生根据题意写出已知和求作、规范作图并能说明理由。（教师完成锐角三角形，学生同位间合作分别完成直角三角形和钝角三角形） 5、已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，，求：的度数。6、如图，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。7．已知：如图３，△ＡＢＣ中，ＡC＝４，ＢＣ＝８，ＡＢ的垂直平分线交ＢＣ于Ｄ，Ｅ是垂足，且ＢＤ＝５，求△ＡＢＣ的面积。8、已知：如图４，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，若ＢＤ＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：∠Ｂ＝４５°练习：一、精心选一选，慧眼识金！1．已知MN是线段AB的垂直平分线．C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的关系是（）A．∠CAD＞∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＜∠CBDD．不能确定2．到平面上三点A，B，C距离相等的点（）A．只有一个B．有二个C．三个或三个以上D．一个或没有3．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（）A．24cm和12cmB．16cm和22cmC．20cm和16cmD．22cm和16cm4．如图1，△ABC中，∠A=124°，BC边上的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，BD分∠ABC为两部分．若∠ABD∶∠DBC=3∶2，则∠C=（）A．24°B．16°C．30°D．8°　　　　5．如图2所示，已知在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB+DB与DE之间的关系是（）A．AB+DB＞DEB．AB+DB＜DEC．AB+DB=DED．非上述答案二、耐心填一填，一锤定音！ 6．如图3，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=　　　　．7．△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于点E，若△BEC的周长是30cm，且AB=2BC，则腰长为　　　　．三、用心做一做，马到成功！8．如图6，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E．求证：点O在AC的垂直平分线上．9．如图7，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，求证：AD=DC．10．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?11．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，若ＢＤ＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：∠Ｂ＝４５°CABDEMN四、课堂小结：五、板书设计：