4.5 垂 线
1.垂线的概念、性质.(重点)2.垂线的性质及应用.(重点、难点)
一、垂直的定义1.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC=___°,则我们称两条直线互相垂直.记作AB___CD,交点O叫做_____.90⊥垂足
2.(1)应用格式:因为∠AOC=_____,所以AB⊥CD(垂直的定义).(2)反之,如果AB⊥CD,那么∠AOC=_____.90°90°
二、垂线的画法及性质【思考】1.画已知直线l的垂线能画几条?提示:无数条.2.在平面内,过直线l上的一点A画直线l的垂线,这样的垂线能画___条.3.在平面内,过直线l外的一点B画直线l的垂线,这样的垂线能画___条.一一
4.量一量,比一比.如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短,这些线段中,哪一条最短?提示:通过测量比较,PO最短.
【总结】1.在同一平面内,过一点_________一条直线与已知直线垂直.2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,_______最短.简单地说成:_______最短.有且只有垂线段垂线段
三、点到直线的距离从直线外一点到这条直线的_______的长度.垂线段
(打“√”或“×”)(1)点到直线的距离是点到直线的垂线段.()(2)一条直线只有一条垂线.()(3)同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都垂直.()(4)垂线段最短.()(5)两条直线互相垂直,则这两条直线所形成的四个角都是直角.()××√√√
知识点1垂直的定义及应用【例1】如图,∠ABC=90°,∠1=60°,过点B作AC的垂线BO,垂足是O,过点O作BC的垂线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.【思路点拨】∠ABC=90°→∠ABO与∠1互余→BO⊥AC,则∠BOC=90°,又∠1=∠2→∠BOD=∠ABO.
【自主解答】因为∠ABC=90°,∠1=60°,所以∠ABO=30°.因为BO⊥AC于O点,所以∠BOC=90°,又因为∠2=∠1,所以∠BOD=∠ABO=30°.【总结提升】垂直的定义的双重性垂直的定义既是性质又是判定:一是可以由垂直关系得到角的数量关系;二是根据角的数量关系判定角的边所在直线的位置关系.
知识点2垂线的画法及性质的应用【例2】如图,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短,请画出行走路径,并说明理由.
【解题探究】1.小明的行走路径分哪几步?提示:小明家→外婆家→河边.2.小明从家去外婆家,转化为数学问题即两点之间的问题,应怎样走最近?理由是什么?提示:最短路径是线段AB,理由是两点之间线段最短.
3.小明从外婆家去河边,转化为数学问题即点到直线的距离的问题,应怎样走最近?理由是什么?提示:最短路径是过点B作河岸的垂线,点B和垂足间的线段最短,理由是垂线段最短.如图
【总结提升】垂线画法三字诀1.一靠:靠已知直线,使三角尺的一条直角边与已知直线重合.2.二移:沿已知直线移动三角尺,使另一条直角边过已知的定点.3.三画:画已知直线的垂线.
题组一:垂直的定义及应用1.下列时刻中,时针与分针互相垂直的是( )A.2点20分B.3点整C.12点10分D.5点40分【解析】选B.在钟表的表面上,相邻数字(如1和2)与表中心连线的夹角为30°,而3点整时,时针指向3,分针指向12,故在3点整时时针与分针的夹角为直角.
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠COE=55°,则∠BOD的度数是( )A.40°B.45°C.30°D.35°【解析】选D.因为OE⊥AB,∠COE=55°,所以∠AOC=90°-∠COE=35°;因为∠BOD与∠AOC是对顶角,所以∠BOD=∠AOC=35°.
3.已知:如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( )A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角
【解析】选B.因为∠2=∠COE(对顶角相等),又因为AB⊥CD,所以∠1+∠COE=90°,所以∠1+∠2=90°,所以两角互余.
4.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,且AB⊥CD,∠1=27°,则∠2=,∠FOB=.【解析】因为AB⊥CD,所以∠AOD=∠BOD=90°,所以∠2=90°-∠1=63°,∠FOB=∠1+∠BOD=117°.答案:63° 117°
5.如图,∠ABD=90°,直线⊥直线,垂足为,在平面内,过D点有且只有条直线与直线AC垂直.【解析】根据垂线的性质可知,直线AC⊥直线BD,垂足为B,在平面内,过D点有且只有1条直线DB与直线AC垂直.答案:AC BD B 1 DB
6.如图,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOF,OE⊥CD于点O,∠1=50°,求∠BOC,∠BOF的度数.
【解析】因为OE⊥CD于点O,∠1=50°,所以∠AOD=90°-∠1=40°,因为∠BOC与∠AOD是对顶角,所以∠BOC=∠AOD=40°.因为OD平分∠AOF,所以∠DOF=∠AOD=40°,所以∠BOF=180°-∠DOA-∠DOF=180°-40°-40°=100°.
7.如图,AB,CD相交于O点,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,猜想射线OE与直线AB的位置关系,并说明理由.【解析】OE⊥AB.理由如下:因为∠BOC=130°(已知),所以∠AOD=∠BOC=130°(对顶角相等),所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°.所以OE⊥AB.
题组二:垂线的画法及性质的应用1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.5【解析】选A.因为AC是BC上的垂线段,所以点A到BC的最短距离是3,故不可能是2.5.
2.下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是( )【解析】选A.点P到直线MN的距离应是垂线段PQ的长度,PQ⊥MN,故选A.
3.画一条线段的垂线,垂足在( )A.线段上B.线段的端点处C.线段的延长线上D.以上都有可能【解析】选D.线段的垂线有无数条,过一点画线段的垂线,垂足可以在线段上,在线段的端点处,在线段的延长线上,故选D.
4.如图,从书店到公路最近的是号路线,数学道理是.【解析】①号路线最近,理由是垂线段最短.答案:① 垂线段最短
5.如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段的长度.【解析】因为身体在沙坑上所有接触的点中,距离起跳线最近的点到起跳线的距离作为跳远成绩,所以他的跳远成绩是线段BN的长度.答案:BN
6.如图所示,AB是一条河流,要铺设管道将河水引到C,D两个用水点,现有两种铺设管道的方案.方案一:分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,沿CE,DF铺设管道;方案二:连结CD交AB于点P,沿PC,PD铺设管道.这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料?为什么?
【解析】按方案一铺设管道更节省材料.理由如下:因为CE⊥AB,DF⊥AB,而AB与CD不垂直,所以根据“垂线段最短”,可知CE
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