人教版初一数学下册5．1．2 垂线（1）

5．1．2垂线（1）三维目标一、知识与技能1．理解垂线的意义和垂线的第一个性质；毛2．掌握用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；3．掌握两条直线互相垂直的表示方法．二、过程与方法1．从实际问题中发现两条直线的垂直关系及垂直的第一个性质，培养学生发现问题的能力；2．通过用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能；3．通过学习垂直的表示方法，使学生建立初步的符号感．三、情感态度与价值观1．通过分组操作活动，培养学生合作交流的意识和探索精神；2．通过直线垂直的第一个性质的探究，使学生进一步认识到数学与现实生活的密切联系．教学重点垂线的意义、性质和画法．教学难点垂线的画法．教具准备相交线模型；多媒体演示幻灯片．教学过程一、创设问题情境，导入新课活动1在相交线的模型（如图）中，固定木条a，转动木条b．问题：（1）在相交直线所形成的四个角中，按照两个角的关系分类，有哪两种类型的角？（2）两条直线所夹角中，如果按照角的大小分类，又有哪几种？（老师在提出问题的过程中，要继续固定木条a，缓缓在转动木条b，也可让学生亲自操作）生：在两条相交直线所形成的四个角中，按照两个角的关系分类有邻补角和对顶角两类． 生：如果按照角的大小分类，两条直线所形成的角有锐角、直角、钝角．师：很好！在转动木条b的过程中，当转动到木条b和木条a有一个角是直角的位置时，其余三个角的大小如何？为什么？生：其余三个角都是直角（如图），如果∠1=90°，∠2=180°－∠1=90°；∠3=∠1=90°，∠4=∠2=90°．师：我们不难发现，这种位置是两条直线的一种非常特殊的情况．它在生活、生产实际中应用比较广，例如书本相邻两条边所在的直线．你还能举一些生活中的实例吗？生：红十字中的夹角．生：十字路口、围棋棋盘上纵横交错的线的夹角，……师：我们今天就来研究这种特殊情况（板书课题）．二、垂线的有关概念多媒体演示（在感性认识的基础上，引导学生得到关于垂线的一些概念）．1．定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2．符号：“⊥”读作“垂直于”如图，AB⊥CD于O，含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O．3．对垂直定义的理解：（1）在垂直的定义中，强调只有一个角是直角就可以了，不必说四个角都是直角，因为其他三个直角都可推出来．（2）两条直线互相垂直，指两条直线而言，因此，说到垂线，一定是两条直线的位置关系．（3）定义具有双重性，既是垂直的判定定理，也是垂直的性质定理．在具体应用时，要注意书写格式，如图，因为AB⊥CD于O（已知），所以∠1=90°（垂直的定义或垂直性质）；因为∠1=90°（已知），所以AB⊥CD于O（垂直的定义或垂直判定）． 三、通过实践活动，引导学生发现垂线的第一个性质活动2问题：（1）用三角尺和量角器画已知直线L的垂线，这样的垂线能画出几条？（2）经过直线L上一点A画L的垂线，这样的垂线能画出几条？（3）经过直线L外一点B画L的垂线，这样的垂线能画出几条？（学生在独立思考的基础上以小组为单位探究每个问题，通过动手操作体会垂直的定义，并由此得出垂直的第一个性质．教师可到某一小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助指导学生完成任务，得出垂线的性质及过一点画已知直线垂线的画法和理由．如果有可能的话，还可以让学生板演）生：用三角板画已知直线L的垂线，这样的垂线可画出无数条．师：你是怎样操作的？生：让三角板的一条直角边紧紧“贴”住已知直线L，沿着另一条边画直线a，就得到了直线L的垂线．换一个位置或贴着直线L平移三角板，又可以画出第二条、第三条……师：很好！下面我们就照这位同学的说法做一遍，同时思考为什么画出的直线a和已知直线L垂直？生：因为三角板有一个角是直角，我们画已知直线的垂线时，正是用到了垂直的定义，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，那么这两条直线垂直．师：在图（1）中，过点A，作直线BD的垂线，在图（2）中，过A点分别作BD和DE的垂线．（1）（2）（教师可在学生画出垂线的基础上，总结出用三角板画垂线的基本方法，强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画直线）．师：过A点还能作出别的垂线吗？生：不会．师生共析：①过A点作BD或DE的垂线有一条；②过A点作BD或DE的垂线只有一条．在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注：①“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指“唯一”．②“过一点” 的点在直线外，或在直线上都可以．四、应用举例，变式练习【例1】（1）画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图（1），请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线．（2）如图（2），过A点AB，BC和CA的垂线．（1）（2）解：略练习1，如图（1），∠B=90°，过B作AB、BC、CA的垂线．练习2，如图（2），过B作AC的垂线，过A作BC的垂线，过C作AB的垂线．练习3，如图（3），过P作AB、BC、CD和DA的垂线．（教师讲完例题和练习后，对过已知点，作已知线段的垂线问题加以总结，重点是：有时需要对线段加以延长，作延长线的垂线）．五、课时小结师生共同总结出本节课所学的内容．1．理解垂线的意义；2．根据垂线的意义，过一点画一条直线的垂线；3．理解垂线的第一性质：过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直．活动与探究在给出的图形中，完成下列作图：（1）作AD⊥BC于D，D为垂足；（2）过点B作AC的垂线，垂足为E；过点C作AB的垂线，垂足为F；（3）延长DA，你发现什么有趣的结论？ [过程]画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线，因此垂足可能在线段或射线的延长线上，如下图．[结论]延长DA后，可以发现直线DA、BE、CF交于同一点G．板书设计5．1．2垂线（一）一、两条直线相交的一般与特殊情况二、垂线的定义1．定义2．符号三、垂线的第一性质四、例题与练习题五、小结六、作业备课资料1．画∠AOB=45°，在∠AOB内找一点F，过F点作OA、OB的垂线．2．画∠AOB=120°，画∠AOB的平分线OE，在OE上任取一点F，过F作OA、OB的垂线．3．如图1，AO⊥BO于O，求∠AOD与∠BOC的和．（1）（2）（3）（4）4．如图2，直线AB⊥CD于O，过O点的直线EF平分∠AOD，求∠COE的大小．5．如图3，AB⊥EF于O，CD⊥AB于Q，指出∠AQD和∠AOF的关系．6．填空：如图4，已知AB与EF交于O，∠AOE=30°，AB⊥CD于O，求∠EOD的度数．解：因为AB⊥CD于O，（）， 所以∠COA=90°．（）．又∠AOC+∠AOD=180°，（），所以∠AOD=90°．又∠AOE=30°，（），所以∠EOD=60°．7．当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条直线有什么样的关系？为什么？8．过线段AB的中点O，画直线MN⊥AB，在MN上任取一点C，连结CA、CB．画图并比较CA、CB的大小．9．经过直线L上一点A，画L的垂线，也可以如图那样用量角器来画，根据画图说明，为什么AP⊥L．答案：略．毛