七年级数学下册《垂线》课案（1）（教师用） 新人教版

课案（教师用）5.1.2垂线（1）（新授课）【理论支持】匈牙利裔英国科学家迈克尔•波兰尼被誉为“隐性知识”之父。他认为，隐性知识就是存在于个人头脑中的、存在于某个特定环境下的、难以正规化、难以沟通的知识，是知识创新的关键部分。根据这种知识分类观，经合组织（OECD）在《以知识为基础的经济——1996年科学技术与产业展望》中把知识型经济中重要的知识分成4类：①知道是什么的知识（Know-what），即关于事实方面的知识；②知道为什么的知识（Know-why），即自然原理和规律方面的知识；③知道怎么做的知识（Know-how），即对某些事物的技能和能力；④知道是谁的的知识（Know-who），即涉及谁知道和谁知道如何做某些事的信息。①②类知识是归类的、明确的显性知识，可以通过读书、听讲和查看数据库而获得，③④类知识是沉默的、缄默的或默会的隐性知识，主要靠实践获得。显性知识和隐性知识就像一座冰山的两个部分，前者浮出海面，后者在下面托起整个冰山。从根本意义上说，只有借助隐性知识的力量，人类所有的显性知识才得以发生和发展，人类的知识创新才有根基。“垂线”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）七年级下册第五章第一节的主要内容，是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一.垂线在生产、生活中有着广泛的应用，垂线的概念、性质是学生今后进一步学习数学的基础，在教材上起着承上启下的作用.学生在小学就有了对垂线的认识，但七年级学生归纳的能力相对薄弱，大多数学生感到数学枯燥，学习兴趣不高.我所教的班一直采用小组合作学习，学生基本养成了良好的预习习惯.这节课利用普通的多媒体教室，灵活运用现代教育技术，通过实例的展示及动画演示，让学生充分感知图形中蕴含的垂线特征，使知识的生成过程更直观更形象.对学生的认知、理解以及教学重难点突破起到了关键作用. 【教学目标】知识技能1．使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论．2．会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线．数学思考经历观察、分析、概括、论述的学习过程，培养学生逻辑思维能力以及推理能力，进一步训练学生的作图能力．解决问题通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行适当的说理．情感态度通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐．【教学重难点】1．重点：使学生掌握垂线，理解垂线的性质．2．难点：用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法．【课时安排】垂线共两课时，本课时为第1课时【教学设计】课前延伸一、基础知识填空1．下列说法中，不正确的是（）A．经过一点能画一条直线和已知线段垂直B．一条直线可以有无数条垂线C．过射线的端点与该射线垂直的直线只有一条D．过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直2．下列说法正确的有（）①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若⊥，则是的垂线，不是垂线．A．2个B．3个C．4个D．5个 3．过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在（）A．这条线段上B．这条线段的端点C．这条线段的延长线上D．以上都有可能4．如图，直线AB与直线CD的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD＝∠________＝∠________＝∠________＝90°．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB_____（填“垂直”或“不垂直”）．第4题第5题〖参考答案〗1．D2．B3．D4．垂直AB⊥CDBODBOCAOC5．垂直〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源.让学生进行简单的模仿，可以通过预习题培养学生预习的习惯，养成良好的学习习惯．课内探究一、导入新课：活动1教师演示“垂直”．学生在观察中，感受两条相交直线所成的角的大小变化．观察两条直线相交形成4个角，若固定木条A，旋转木条B，当B的位置发生变化时，A、B所成的角也会随之变化，其中有一个特殊的位置：＝90° 在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生从简单的具体实物抽象出垂线的能力；（2）学生认识到垂直是两条相交直线的特殊位置；（3）学生学习数学的兴趣．学生归纳：若两条直线相交成90°角，则称这两条直线互相垂直，当两条直线互相垂直时，其中一条直线就是另一条直线的垂线．〖设计说明〗让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状想象出垂线的几何图形，使新知识建立在对周围环境的直接感知的基础上，让学生增强对生活中的垂线的认识．建立直观的，形象化的数学模型．二、探究新知：活动2问题：如图（1）现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C和直线上一点D，作AB的垂线，你能有几种方法？（2）通过上述方法画出的垂线有几条？从中你能发现什么结论？学生独立思考，动手操作，自主探索．经过思考、操作，发现对于问题（1）可以有下列几种方法来画垂线：①用度量法，用量角器；②用三角板，如图：教师在学生动手操作后演示课件“用三角板作垂线”，让学生进一步感受画垂线的过程．学生通过思考得到：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．〖设计说明〗通过学生独立思考，动手操作，经历探索过程，发现结论，提高学生探索问题的能力.让学生概括结论，可以培养学生的概括能力．活动3教师提出问题，怎样画一条线段或一条射线的垂线？ 学生思考、分组讨论，交流，让学生经过观察发现，画已知线段、射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段、射线所在的直线的垂线，只要理解这一点，画垂线的问题迎刃而解．〖设计说明〗主要培养学生的作图能力以及思考问题的严谨性．教师放手让学生实践，讨论解决问题，培养学生的动手能力和合作意识．三、初步应用：活动41．已知如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE＝3∠COE，求∠AOD的度数．2．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．（1）试说明：∠AOC＝∠BOD；（2）若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．教师活动：在学生思考或表述过程中，及时提醒学生用规范的语言进行表述，以此训练学生的逻辑推理能力，同时考察学生的几何直观．在本次活动中，教师应关注：（1）学生画出两条相交线的几何图形，用语言准确描述；（2）学生参与数学学习活动的主动性，敢于发表个人观点．〖参考答案〗1．135°2．（1）∵OA⊥OB，OC⊥OD∴∠AOC+∠BOC＝90°∠BOD+∠BOC＝90°．∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）．（2）解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°∴∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58° 〖设计说明〗传统教学中，教师往往通过大量的讲解，把学生变成教师“灌输”的“容器”，学生只能接受，输入并储存知识．本设计的补充例题，让学生充分动脑动手，自主探索，合作交流，改变学生被动接受的学习方式．四、课堂反馈训练：1．如图，OB⊥CD，∠AOC∶∠BOC＝2∶5，则∠AOB等于（）A．36°B．126°C．108°D．162°第1题第2题第3题2．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC∶∠BOC＝1∶5，则∠BOD＝（）A．105°B．112.5°C．135°D．157.5°3．∠A的两边分别垂直于∠B的两边，∠A比∠B大60°，则∠A是（）A．120°B．35°C．40°D．38°4．如图，AO⊥BC，垂足为O，且∠COD－∠DOA＝34°28′，则∠BOD＝________．第4题第5题第6题第7题5．如图，直线AB、EF相交于点O，OC⊥AB，∠DOE＝2∠AOE，∠BOF＝33°，则∠AOD＝________，∠DOC＝_________，∠COE＝__________，∠DOF＝__________．6．如图，直线AB、CD相交于点O，AD⊥CD于点D，CB⊥AB于点B，若∠A＝35°，则∠C等于_________°．7．如图，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于____________．8．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数． 9．如图，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线，若∠AOC∶∠COG＝4∶7，求∠DOF、∠DOH的大小．〖参考答案〗1．B2．D3．A4．117°46′5．33°，57°，123°，114°6．35°7．42°8．∵OE平分∠BON，∠EON＝21°，∴∠BON＝2∠EON＝42°∵BC与MN相交于点O，∴∠COM＝∠BON＝42°∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°∴∠AOM＝90°－∠COM＝48°．9．解：设∠AOC＝4x°，∠COG＝7x°，∵OG为∠COF的平分线，∴∠COF＝2∠COG＝14x°，∴∠AOF＝18x°，∵EF⊥AB，∴∠AOF＝∠BOF＝90°，∴18x＝90，解得：x＝5，∴∠AOC＝20°，∠COG＝35°∵AB、CD、EF相交于O点，∴∠BOD＝∠AOC＝20°，∠COD＝180°．∴∠DOF＝110°，∠DOG＝180°－∠COG＝160°，∵OH为∠DOG的平分线，∴∠DOH＝∠DOG＝80°．〖设计说明〗为学生提供个性化发展的空间，及时了解学生的学习效果，使学生养成独立思考、反思学习过程的习惯．五、小结提高：可以采用师生问答的方式或让学生归纳、补充，然后补充的方式进行，主要围绕下列问题：（1）本节课我们学习了什么知识？（2）你有什么收获？〖设计说明〗通过学生自己归纳小结发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.这样的小结对学生理解掌握所学知识起到事倍功半的效果. 六、布置作业：1．必做题：教科书第8页习题5.1第3、4、5、6题2．选做题：（1）如图，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，延长AC交直线MN于E，作ED⊥BC，垂足为D，请你找出图中5对互余的角和5对互补的角．（2）已知如图所示，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数.〖参考答案〗（1）互余的角：∠DCE与∠DEC，∠ACB与∠DEC，∠A与∠DEC，∠ABC与∠DBE，∠DBE与∠DEB等；互补的角：∠DCE与∠BCE，∠ACB与∠BCE，∠ACB与∠ACD，∠A与∠BCE，∠AEB与∠AEN等．（2）∠DOG＝55°3．【预习题】1．点到直线的距离是指（）A．直线外一点到这条直线的垂线的长度B．直线外一点到这条直线上任意一点的距离C．直线外一点到这条直线的垂线段D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度2．和一个已知点P的距离等于3Cm的直线可以画（）A．1条B．2条C．3条D．无数条 3．P为直线l外一点，A、B、C为直线l上三点，PA＝5Cm，PB＝3Cm，PC＝4Cm，则点P到直线l的距离为（）A．4㎝B．3㎝C．小于3㎝D．不大于3㎝4．如图，若把水渠中的水引到水池C，挖一条沟CD垂直于渠岸AB，垂足为D，这时沟CD最短，这时根据_________________________.5．如图，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°．则∠DOE＝________．C30°35°ABDEFG〖参考答案〗1．D2．D3．D4．垂线段最短5．25°〖设计说明〗学生可以根据自己的不同水平选择不同的作业，通过预习题培养学生预习的习惯，养成良好的学习习惯．课后提升一、课后练习题及答案:1．如图，直线PQ⊥MN，垂足为O，AB是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50°B．40°C．60°D．70° 2．如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定3．如图3，当∠1与∠2满足条件________时，OA⊥OB．4．在下列各图中，分别过点P作AB的垂线．（1）（2）（3）（4）5．在下面的证明过程中填上理论依据：如图，已知CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，CE与OA相交于点F，若∠C＝20°，求∠O的大小．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB（）∴∠CDF＝∠OEF＝90°（）∴∠O＋∠OFE＝90°，∠C＋∠CFD＝90°∵∠OFE＝∠CFD（）∴∠O＝∠C＝20°（） 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，求∠EOF的度数．〖参考答案〗1．B2．C3．∠1＋∠2＝90°4．（1）（2）（3）（4）5．已知，垂直的定义，对顶角相等，等角的余角相等6．设∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°∵OE平分∠BOD∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°，∵∠BOD＋∠AOD＝180°，∴4x＋2x＝180，解得x＝30°，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∵∠DOE＋∠COE＝180°，∴∠COE＝150°∵OF平分∠COE∴∠EOF＝∠COE＝75°〖设计说明〗在学生充分理解的基础上，通过适当的提高加深了学生对垂线的知识理解及运用所学知识解决实际问题的能力，为后面的学习做好铺垫．