七年级中垂线培优讲义

中垂线与角平分线的应用教师寄语：正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。 ----------列夫托尔斯泰【知识精要】:1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.※定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.※定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.【例题精讲】例1、已知：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD. 例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.课堂练习：1.△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。2.如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。求证：MB=MC 【知识板块链接】（一）角平分线、平行线、等腰三角形综合：角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形：如图甲：一直线与角的一边平行图甲a、如图乙：一直线与角的平分线平行432ODECBA1图乙方法小结：角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用：321IEDABC例1、如图1：已知在△ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。13ABCDEI图（2）2例2、如图2：已知I是△ABC的内心，DI//AB交BC于点D，EI//AC交BC于E。求证：△DIE的周长等于BC。 例3、如图3：已知在△ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF=BE—CF。4321FEDMCBA例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，的平分线交AD于点E，的平分线交AD于点F，BE、CF交于点G，FG=1。求：的度数。例5、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；DE平分ADC，交BC于点E，BDE=150，求COE的度数。EODABC例6、在△ABC中，，AD⊥BC于点D，点E在BC的延长线上，且，AD=3，DE=4。求：CD：CE的值。例7、如图：BD是角平分线DE//BC，交AB于点E。求DE之长。3CBAED12 （二）角平分线类问题常用思路：1、轴对称性：内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。思路和方法：边角等造全等，也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形基本结构：如图，2、角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等（2）一对全等三角形3、定义：带来角相等。4、补充性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC针对性例题：例题1：如图，AB=2AC,∠BAD=∠DAC,DA=DB求证：DC⊥AC例题2：如图，在△ABC中，∠A等于60°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB求证：DH=EH例题3：如图1，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求证：．AD=DC 例题4已知：如图5，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB【数学故事】：习惯人生父子两住山上，每天都要赶牛车下山卖柴。老父较有经验，坐镇驾车，山路崎岖，弯道特多，儿子眼神较好，总是在要转弯时提醒道：“爹，转弯啦！”有一次父亲因病没有下山，儿子一人驾车。到了弯道，牛怎么也不肯转弯，儿子用尽各种方法，下车又推又拉，用青草诱之，牛一动不动。到底是怎么回事？儿子百思不得其解。最后只有一个办法了，他左右看看无人，贴近牛的耳朵大声叫道：“爹，转弯啦！”牛应声而动。牛用条件反射的方式活着，而人则以习惯生活。一个成功的人晓得如何培养好的习惯来代替坏的习惯，当好的习惯积累多了，自然会有一个好的人生。　　【当堂测验】：一、填空题1．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．2．到线段两端距离相等的点在这条线段的_________．3．已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________．4．底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上．二、选择题5．下列命题中正确的命题有()①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线． A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列作图语句正确的是()A．过点P作线段AB的中垂线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BCC．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12cm，AC=6cm，则图中等于60°的角共有()A．2个B．3个C．4个D．5个8．△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于()A．37.5°B．67.5°C．37.5°或67.5°D．无法确定三解答题如图，AD平分∠BAF，且AD是CE的垂直平分线，AB=AF.求证：BC=EF.【快乐作业】：1.已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，，求：的度数。2.已知：是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，的周长为 24cm，腰长为14cm，求底边BC的长。3在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.