如何引导学生解题后多思善想

如何引导学生解题后多思善想江苏省苏州市木渎第二中学母建军215101在数学教学过程中，常常会配备一定数量的习题让学生进行练习，但在这个过程中，却有不少学生存在就题论题，解题匆忙，解完题目就算大功告成的不良习惯。倘若遇到“似曾相识”的题目，却“百思不得其解”，究其原因，主要是只重视解题的数量与结果，不重视解题的质量和解题能力的提高，忽视了解题后的再思考。为了避免学生陷入“题海”，解题后的多思善想是对学生不可缺少的要求之一，那么怎样才能较好地培养学生解题后反思的能力，提高反思的质量呢？就这个问题笔者谈谈一些认识。一、思联系，网络知识，夯实基础对于一些思考量比较大的小题，解题后，领悟并思索解题中所涉及的数学知识点，查漏补缺，有利于学生夯实基础，并使知识系统化、网络化，便于知识的巩固、综合、应用，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。例1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题▁▁▁▁▁▁。该题联系的知识点有：线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质，共可组成四个命题，但学生一般写出答案后很少再去思考其他命题是否正确，如不正确能否举出反例等。从掌握知识、提高能力的角度来说，倘若仅仅满足于此，那么其收获就很有限了。因此在教学中有必要引导学生在问题“解决”后进行反思，这样做有利于培养学生缜密的思维品质，能有效地使学生克服粗心的不良习惯。二、思多解，多方出击，培养思维的发散性对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法，当然，我们的目的不在于去凑几种解法，而是通过不同的观察侧面，使学生的思维触角伸向不同的方向，培养学生的发散思维能力。例2、已知平面直角坐标系中的三点为.请你写出一个函数关系式或曲线的方程，使其图象或方程的曲线经过三点这是一道数学开放题,其主要特征是答案不唯一,即可以进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。因为开放题的条件不完备和结论的不确定性，使其具有发散性、探究性、创新性等特点，学生可以根据自己的实际水平和实际情况进行解答，从熟悉的函数和曲线的方程中去寻找，利用待定系数法和数形结合的思想可以得到以下结果：（1）二次函数 ；（2）三角函数；（3）圆的方程；（4）椭圆方程；（5）折线；等等。开放题与封闭题的一个重要差别在于，开放题的解答没有最好，只有更好。它以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题解决的发散性，给解题者发挥创造性思维提供了广阔的空间，从而可以有效地培养学生的创新意识，发散性思维能力和创造能力。三、思规律，找变化，触类旁通同一类型的数学问题，其求解方法往往有其规律性，解完一道题要学生思考此题是否可作一般性推广和引伸，这样学生能解决的就不是一道题，而是一串题。例3、试证以椭圆的焦点的弦为直径的圆必和椭圆相应的准线相离。证完这题后，可进一步引导学生分析和思考：（1）把题目中的条件“椭圆”改为“双曲线”，结论有何变化？（2）把题目中的条件“椭圆”改为“抛物线”结论又有何变化？学生在这三题的证明过程中发现：在不同曲线下可得不同的结论，椭圆是相离，抛物线是相切，双曲线是相交的。看似不同的题目证明方法却是相同的，都根据圆锥曲线的定义来证。例4、已知异面直线a和b所成的角为，P为空间任一定点，则过P点且与a、b所成的角都是的直线有且仅有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条在本题中和的设置对答案起着重要作用。因此，可通过改变和的大小来深化对这一类题目的理解。（1）若将改为，其余条件不变，则答案是（）。（2）若将改为，其余条件不变，则答案是（）。（3）若将改为，其余条件不变，则答案是（）。（4）若将改为，改为，且答案为A，则x、y的关系式为▁▁▁▁▁。若答案为B，则x、y的关系式为▁▁▁▁▁。若答案为C，则x、y的关系式为▁▁▁▁▁。若答案为D，则x、y的关系式为▁▁▁▁▁。数学习题千变万化，要引导学生反思解题规律，不迷恋于问题及解法的表面现象，而能有表及里，动察数学对象的本质联系，捕捉矛盾的特殊性。从而达到举一反三，触类旁通，提高解题能力。 四、思错处，找错因，提高辨别解题错误的能力由于在解题的过程中，可能出现这样或那样的错误，因此在解完一个题后很有必要继续反思在解题过程中是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替了一般，是否忽视了特例，逻缉上有没有问题，运算是否正确等等。在教学中应有意识地选用一些学生易错的题，引导学生辨析，帮助学生弄清错误的根源，提高辨析解题错误的能力。例5、求和S=（x＋）＋(x+)＋…＋(x错解：S=(x+x+x+…+x)＋(+++…+)=.这是学生应用等比数列求和公式时很容易出现的问题。按照等比数列求和公式，当公比q是一个不确定的数时，求其前n项和，则要考虑q=1,q≠1两种情况。因此应分四种情形求解：（1）x=1，y≠1；(2)x≠1，y=1；(3)x=1，y=1；（4）x≠1，y≠1.五、思演变，层层深入，提高应变能力对于一些典型问题解题后，改变原题的结构或作适当的引申变换，往往可使一题变一串，更重要的是把问题向更高，更广的层次纵向挖掘，横向延伸，需要学生更广，更深的思考，这样有利于学生拓展思路，提高应变能力。例6、过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交于、两点，两个交点的纵坐标分别为，求证：1、已知条件不变时，①求证：②求焦点弦的长③求④求焦点弦中点的轨迹方程⑤求证：⑥求证：以焦点弦直径的圆必与准线相切。2、改成逆例题：一条直线与抛物线相交于两点，如果满足,那么这条直线过抛物线的焦点。3、已知条件不变，再附加条件：“过分别作X轴的垂线，垂足为” 。求证：成等比数列。4、已知条件不变，再附加条件：“斜角为”求证：①②，③,,④所在直线方程为，⑤的函数，求出这个函数的表达式，并求和的最小值。5、条件不变，再附加条件“过焦点F，再作一条与垂直的弦，求以此两弦为对角线的内接四边形的面积的最小值。通过上述变式与引申，既有广泛的串联性，知识覆盖面广，又有一题多变，一题多用的功能，达到培养思维深刻的目标。总之，在数学学习中，反思是不可缺少的一个重要环节，是促进知识同化和迁移的可靠途径，是提高数学教学质量的有效保证。在数学解题中，教给学生解题后再分析、再思考的方法，培养学生解题后多思善想的良好习惯，不仅有利于知识的归纳与规律的形成，而且能优化学生的数学认知结构，提高思维能力，促进知识向能力转化，使学生“乐学”、“会学”，从而有效提高教学质量。