2021年四川省绵阳市中考数学试卷

2021年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）整式﹣3xy2的系数是（　　）A．﹣3B．3C．﹣3xD．3x2．（3分）计算×的结果是（　　）A．6B．6C．6D．63．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（3分）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（　　）A．2B．3C．D．5．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　）A．1B．C．D．26．（3分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（　　）A．60件B．66件C．68件D．72件第30页（共30页） 7．（3分）下列数中，在与之间的是（　　）A．3B．4C．5D．68．（3分）某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（　　）A．众数是36.3B．中位数是36.6C．方差是0.08D．方差是0.099．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）A．22°B．23°C．25°D．27°10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　）A．11.4B．11.6C．12.4D．12.611．（3分）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）A．1B．C．D．212．（3分）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）第30页（共30页） A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝28°，则∠2＝　　．14．（4分）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为　　．15．（4分）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝　　．16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省　　元．17．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝　　．18．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是　　．三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第30页（共30页） 19．（16分）（1）计算：2cos45°+|﹣|﹣20210﹣；（2）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝1.12，y＝0.68．20．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．分段成绩范围频数频率A90～100amB80～8920bC70～79c0.3D70分以下10n注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．（1）在统计表中，a＝　　，b＝　　，c＝　　；（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．21．（12分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？第30页（共30页） （2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？22．（12分）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求△MBE的面积．24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1．（1）求证：△DBC∽△AMD；（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．第30页（共30页） 25．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．第30页（共30页） 2021年四川省绵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）整式﹣3xy2的系数是（　　）A．﹣3B．3C．﹣3xD．3x【解答】解：整式﹣3xy2的系数是﹣3．故选：A．2．（3分）计算×的结果是（　　）A．6B．6C．6D．6【解答】解：×＝＝＝6，故选：D．3．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：第1个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；第2个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；第3个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；第4个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．4．（3分）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（　　）第30页（共30页） A．2B．3C．D．【解答】解：∵某圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的底面半径为2÷2＝1，母线长为2，∴此圆锥的高是＝．故选：D．5．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　）A．1B．C．D．2【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴CE＝DE，设CE＝x，则DE＝2x，根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，即32+x2＝（2x）2，解得：x＝±（负值舍去），∴CE＝，∵DE⊥CF，∴∠DOC＝90°，∴∠DCO＝60°，第30页（共30页） ∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴BF＝CE＝．故选：C．6．（3分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（　　）A．60件B．66件C．68件D．72件【解答】解：设该分派站有x个快递员，依题意得：10x+6＝12x﹣6，解得：x＝6，∴10x+6＝10×6+6＝66，即该分派站现有包裹66件．故选：B．7．（3分）下列数中，在与之间的是（　　）A．3B．4C．5D．6【解答】解：因为＞，＝4，＜，＝4，＝5，＝6，所以4＜＜＜＜6．故选：C．8．（3分）某同学连续7天测得体温（单位：℃）分别是36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（　　）A．众数是36.3B．中位数是36.6C．方差是0.08D．方差是0.09【解答】解：7个数中36.5、36.7和37.1都出现了二次，次数最多，即众数为36.5、36.7和37.1，故A选项不正确，不符合题意；第30页（共30页） 将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.5，36.5，36.7，36.7，37.1，37.1，则中位数为36.7，故B选项错误，不符合题意；＝×（36.5+36.3+36.5+36.7+36.7+37.1+37.1）＝36.7，S2＝[（36.3﹣36.7）2+2×（36.5﹣36.7）2+2×（36.7﹣36.7）2+2×（37.1﹣36.7）2]＝0.08，，故C选项正确，符合题意，故D选项错误，不符合题意；故选：C．9．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）A．22°B．23°C．25°D．27°【解答】解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∴CH＝CG＝MN，∵PC＝MN，存在两种情况：如图，CP＝CP1＝MN，第30页（共30页） ①P是MN中点时，∴MP＝NP＝CP，∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMC＝∠PCM＝90°﹣50°＝40°，∴∠CPM＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵∠CPB＝117°，∴∠BPM＝117°﹣100°＝17°，∵∠PMC＝∠PBM+∠BPM，∴∠PBM＝40°﹣17°＝23°，∴∠ABP＝45°﹣23°＝22°．②CP1＝MN，∴CP＝CP1，∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，∵∠BP1C＝117°，∴∠BP1M＝117°﹣80°＝37°，∴∠MBP1＝40°﹣37°＝3°，而图中∠MBP1＞∠MBP，所以此种情况不符合题意．故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　）第30页（共30页） A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T．∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，∴AJ＝JC＝3，∴DJ＝＝＝4，∵CD∥AT．∴∠DCJ＝∠TAJ，∵∠DJC＝∠TJA，∴△DCJ≌△TAJ（ASA），∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，∵∠AJT＝∠ACB＝90°，∴JT∥BC，∵AJ＝JC，∴AT＝TB＝5，设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，解得x＝1.4，∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，∴m＝OB＝11.4，第30页（共30页） 故选：A．11．（3分）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）A．1B．C．D．2【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，∵x2＝2x1，∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，∴a+b•（﹣）+c＝0，∴﹣+c＝0，∴9ac＝2b2，∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，∵﹣2＜0，∴4b﹣9ac的最大值是2，故选：D．12．（3分）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵△DAB∽△DCA，∴，∴，第30页（共30页） 解得：BD＝4（负值舍去），∵△DAB∽△DCA，∴，∴AC＝，∵AC2＝AB（AB+BC），∴（AB）2＝AB（AB+BC），∴AB＝4，∴AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD于H，∴AH＝AD＝3，∴BH＝＝＝，∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴，∴＝，∴PQ＝，故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝28°，则∠2＝　152°　．第30页（共30页） 【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝28°，∴∠3＝∠1＝28°，∴∠2＝180°﹣∠3＝152°．故答案为：152°．14．（4分）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为　9.1×107　．【解答】解：91000000＝9.1×107．故答案为：9.1×107．15．（4分）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝　0　．【解答】解：∴，∴（x﹣y）2＝3，∴x2﹣2xy+y2＝3，∴，∴，∴（x2﹣y2）2＝（x2+y2）2﹣4x2y2，＝，∴x2﹣y2＝0，故答案为0．第30页（共30页） 16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省　145　元．【解答】解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，依题意得：，解得：，∴5x+5y﹣（0.6×5x+0.7×5y）＝5×50+5×30﹣（0.6×5×50+0.7×5×30）＝145．故答案为：145．17．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝　4　．【解答】解：连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，∵F、H分别为CE、GE中点，∴FH是△CEG的中位线，∴HF＝CG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DGE＝∠E，∵∠EHF＝∠DGE，∴∠E＝∠EHF，∴HF＝EF＝CF，第30页（共30页） ∴CG＝2HF＝2，∵AB∥CD，∴∠CDM＝∠A＝60°，设DM＝x，则CD＝2x，CM＝，∵点G为AD的中点，∴DG＝x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：CG＝＝2，∴x＝2，∴AB＝CD＝2x＝4．故答案为：4．18．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是　3　．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，∵tanA＝，tanB＝，+＝，∴+＝，即＝，又∵AC2+BC2＝AB2，∴＝，在Rt△ADE中，AE＝＝，在Rt△BDF中，BF＝＝，∴AC•BC＝（2+）（2+）＝4（1+++1）＝4（2+）第30页（共30页） ＝18，∴＝∴AB2＝45，即AB＝3，故答案为：3．三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（16分）（1）计算：2cos45°+|﹣|﹣20210﹣；（2）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝1.12，y＝0.68．【解答】解：（1）原式＝2×+﹣1﹣＝＝﹣1，（2）原式＝﹣﹣＝＝＝，当x＝1.12，y＝0.68时：＝＝2．20．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．分段成绩范围频数频率第30页（共30页） A90～100amB80～8920bC70～79c0.3D70分以下10n注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．（1）在统计表中，a＝　5　，b＝　0.4　，c＝　15　；（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人），∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人），∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人），故答案为：5，0.4，15；（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5，随机选出的这个班级总人数为50，设该年级成绩在90～100之间的人数为y，则，解得：y＝200，（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，选出2名学生的结果有：男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，第30页（共30页） 男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，共10种结果，并且它们出现的可能性相等，其中包含1名男生1名女生的结果有6种，∴P＝＝，即选到1名男生和1名女生的概率为．21．（12分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，根据题意，得，可解得50≤x≤55，∵x为整数，∴x＝50，51，52，53，54，55；答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；（2）设获得利润为y元，由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+8﹣[2x+6（150﹣x）]，即y＝﹣220x+87000，∵﹣220＜0，∴y随x的增大而减小，∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元．22．（12分）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；第30页（共30页） （2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．【解答】解：（1）结论：点N在直线AB上，理由如下：∵∠CMH＝∠B，∠CMH+∠C＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠BMC＝90°，即CM⊥AB，∴线段CM绕点M逆时针旋转90°落在直线BA上，即点N在直线AB上，（2）作CD⊥AB于点D，∵MC＝MN，∠CMN＝90°，∴∠MCN＝45°，∵NC∥AB，∴∠BMC＝45°，∵BC＝6，∠B＝30°，∴CD＝3，MC＝，∴S＝MC2＝18，即以MC．MN为邻边的正方形面积为S＝18．23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC第30页（共30页） 的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求△MBE的面积．【解答】解：（1）由题意得点A的坐标为（，2），点B的坐标为（1，k），又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，∴点C的坐标为（1，2），又CE＝1，∴点E的坐标为（2，2），∵点E在线段AB的垂直平分线上，∴EA＝EB，在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，∴1+（k﹣2）2＝，∴k＝2或，当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，∴k＝，∴C（1，2），E（2，2），k＝；（2）由（1）可得，AC＝，BC＝，CE＝1，设AB的中点为D，AB＝＝，BD＝＝，∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，∴△BDM∽△BCA，第30页（共30页） ∴＝，∴BM＝×＝，∴S△MBE＝＝×1＝．24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1．（1）求证：△DBC∽△AMD；（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．【解答】解：如图1，第30页（共30页） （1）∵AM是⊙O的切线，∴OA⊥AM，∴∠CAM＝90°，∴∠MAD+∠DAC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝90°，∴∠MAD＝∠BAC，对于：∠BAC＝∠BDC，∴∠MAD＝∠BDC，又∠MAD＝∠BDC＝90°，∴△DBC∽△AMD；（2）如图2，第30页（共30页） 取CD的中点N，连接ON，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，∴ON∥AD，ON＝，∴∠CNA＝∠ADC＝90°，∴ON⊥CM，由（1）知：△DBC∽△AMD，∴＝，∴DM＝＝x2，∴CM＝DM+CD＝x2+1，∴S△COM＝CM•ON＝（x2+1）•＝；（3）如图3，第30页（共30页） 作DF⊥AC于F，延长DB交MA的延长线于G在Rt△ADC中，AD＝x，CD＝1，∴AC＝，∴OD＝OC＝AC＝DF＝，CF＝＝，∴OF＝OC﹣CF＝，∵DF∥AG，∴△DOF∽△GOA，∴＝，∴AG＝＝＝＝，第30页（共30页） ∴AG2＝，在Rt△ACM中，由射影定理得，AM2＝DM•MC＝x2（x2+1），∵∠AOE＝∠COD，∠AOG＝∠COD，∴∠AOE＝∠AOG，∵OA＝OA，∠OAM＝∠OAG，∴△AOM≌△AOG（ASA），∴AG＝AM，∴＝x2（x2+1），∴x1＝，x2＝﹣（舍去），∴AD＝，OD＝，DF＝＝，OF＝，作EH⊥OA于H，设OE＝a，∴EH＝OE•sin∠AOE＝a•sin∠DOF＝a•＝a，∴OH＝a，AH＝＝＝a•＝a，由AH+OH＝OA得，a+＝，∴a＝，第30页（共30页） 即：OE＝．25．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a＝﹣，抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），则，解得或（舍去），∴P的坐标为（1，﹣2）；（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，由（1）方法知，P的坐标为（t，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），第30页（共30页） 矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解得：t＝，或t＝﹣1（舍），将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，时间t的取值范围是：≤t≤1+；（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，则R'M＝＝，又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，消去m得：R'M＝＝＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，解得：m＝﹣1±，∴点R的坐标是（﹣1±，）．第30页（共30页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/147:32:41；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第30页（共30页）