2021年四川省达州市中考数学试卷

2021年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣的相反数是（　　）A．B．C．﹣D．﹣2．（3分）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（　　）A．B．C．D．3．（3分）实数+1在数轴上的对应点可能是（　　）A．A点B．B点C．C点D．D点4．（3分）下列计算正确的是（　　）A．+＝B．＝±3C．a•a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b2）2＝﹣6a4b45．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（　　）A．40°B．50°C．60°D．80°6．（3分）在反比例函数y＝（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）第29页（共29页） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y17．（3分）以下命题是假命题的是（　　）A．的算术平方根是2B．有两边相等的三角形是等腰三角形C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8．（3分）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　　）A．28B．62C．238D．3349．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（　　）A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，第29页（共29页） b，c取何值，抛物线一定经过（，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人,将392.5亿元用科学记数法表示应为　　元．12．（3分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为　　．13．（3分）已知a，b满足等式a2+6a+9+＝0，则a2021b2020＝　　．14．（3分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝　　．15．（3分）若分式方程﹣4＝的解为整数，则整数a＝　　．16．（3分）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为　　．第29页（共29页） 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1﹣|．18．（7分）化简求值：（1﹣）÷()，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．19．（7分）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为　　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为　　；（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2第29页（共29页） 的面积．21．（7分）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）22．（8分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△第29页（共29页） ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．24．（12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【现察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为　　；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为　　；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；第29页（共29页） 【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABC中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．①求的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+AE′的最小值；（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．第29页（共29页） 2021年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣的相反数是（　　）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：﹣的相反数是．故选：B．2．（3分）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（　　）A．B．C．D．【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．故选：A．3．（3分）实数+1在数轴上的对应点可能是（　　）A．A点B．B点C．C点D．D点【解答】解：∵1＜2＜4，∴1＜＜2，∴2＜+1＜3，则实数+1在数轴上的对应点可能是点D，故选：D．4．（3分）下列计算正确的是（　　）A．+＝B．＝±3C．a•a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b2）2＝﹣6a4b4【解答】解：A.+无法合并，故此选项错误；第29页（共29页） B.＝3,故此选项错误；C．a•a﹣1＝1（a≠0）,故此选项正确；D．（﹣3a2b2）2＝9a4b4,故此选项错误；故选：C．5．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（　　）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵∠ABM＝40°，∠ABM＝∠OBC,∴∠OBC＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝(180°﹣∠BCD)＝50°，故选：B．6．（3分）在反比例函数y＝（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵k2+1＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y1＜0，0＜y3＜y2，第29页（共29页） ∴y1＜y3＜y2．故选：C．7．（3分）以下命题是假命题的是（　　）A．的算术平方根是2B．有两边相等的三角形是等腰三角形C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【解答】解：A、＝2的算术平方根是，原命题是假命题，符合题意；B、有两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；C、一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；故选：A．8．（3分）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　　）A．28B．62C．238D．334【解答】解：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故选：D．9．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（　　）第29页（共29页） A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：第29页（共29页） OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，∴A2021（（22020，﹣×22020），故选：C．10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝，即对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，∵抛物线与y轴交在负半轴上，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴﹣2b＝2a，∴a+b＝0，故②不正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∵c＜0，∴4a+2b+3c＜0，第29页（共29页） 故③正确；④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），∵，∴c＝﹣2a，∴＝﹣1，∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过（，0），故④不正确；⑤∵b＝﹣a，∴4am2+4bm﹣b＝4am2﹣4am+a＝a（4m2﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2，∵a＞0，∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0，故⑤正确；本题正确的有：①③④⑤，共4个．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人,将392.5亿元用科学记数法表示应为　3.925×1010　元．【解答】解：392.5亿＝39250000000＝3.925×1010．故答案为：3.925×1010．12．（3分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为　2　．【解答】解：∵3＜4，∴把x＝3代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣1＝2，故答案为2．13．（3分）已知a，b满足等式a2+6a+9+＝0，则a2021b2020＝　﹣3　．【解答】解：∵a2+6a+9+＝0，第29页（共29页） ∴（a+3）2+＝0，∴a+3＝0，b﹣＝0，解得：a＝﹣3，b＝，则a2021b2020＝（﹣3）2021•（）2020＝﹣3×（﹣3×）2020＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（3分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝　﹣12　．【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a﹣1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．第29页（共29页） 15．（3分）若分式方程﹣4＝的解为整数，则整数a＝　±1　．【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），整理得﹣2ax＝﹣4，整理得ax＝2，∵x，a为整数，∴a＝±1或a＝±2，∵x＝±1为增根，∴a≠±2，∴a＝±1．故答案为：±1．16．（3分）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为　2　．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），第29页（共29页） ∴∠ABE＝∠CAF，∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，∴∠APB＝120°，如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，∴点P在上运动，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，∴CO＝4，∴AO＝2，在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴当点P在CO上时，CP有最小值，∴CP的最小值＝4﹣2＝2，故答案为2．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）第29页（共29页） 17．（5分）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1﹣|．【解答】解：原式＝﹣1+1+2×﹣（﹣1）＝﹣1+1+﹣+1＝1．18．（7分）化简求值：（1﹣）÷()，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．【解答】解：原式＝•＝•＝﹣2(a﹣2)＝﹣2a+4,∵a与2，3构成三角形的三边，∴3﹣2＜a＜3+2,∴1＜a＜5,∵a为整数，∴a＝2,3或4，又∵a﹣2≠0,a﹣4≠0,∴a≠2且a≠4,∴a＝3,∴原式＝﹣2a+4＝﹣2×3+4＝﹣6+4＝﹣2．19．（7分）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为　200　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为　108°　；第29页（共29页） （2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：36÷18%＝200（人），则参加舞蹈”的学生人数为：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），∴扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360°×＝108°，故答案为：200，108°；（2）1400×＝560（人），即估计选择参加书法有560人；（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，∴恰为一男一女的概率为＝．20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．第29页（共29页） 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝×3×4＝6．21．（7分）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）【解答】解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，第29页（共29页） 在Rt△CEG中，∠BEC＝30°，BC＝48米，∴CE＝BC•sin30°＝×48＝24（米），BE＝BC•cos30°＝48×≈24×1.73≈41.52（米），∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），答：桥墩AB的高约为72.4米．22．（8分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【解答】解：（1）由题意得：W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，∵﹣50＜0，∴x＝4时，W最大为9800，第29页（共29页） 即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48﹣5＝43（元），答：定价应为43元．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）连解：接OF，过点O作OG⊥AE于点G，∵∠BAC＝15°，第29页（共29页） ∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．24．（12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【现察与猜想】第29页（共29页） （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为　1　；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为　　；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABC中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．①求的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．【解答】解:(1)如图1,设DE与CF交于点G,∵四边形ABCD是正方形，第29页（共29页） ∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC(AAS)，∴DE＝CF,∴＝1；(2)如图2,设DB与CE交于点G,∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°,∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴，故答案为：．(3)证明:如图3,过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H,第29页（共29页） ∵CG⊥EG,∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°,∴四边形ABCH为矩形,∴AB＝CH,∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°,∴∠CFH＝∠DFG＝∠ADE,∠A＝∠H＝90°,∴△DEA∽△CFH,∴,∴,∴DE•AB＝CF•AD；(4)①如图4,过点C作CG⊥AD于点G,连接AC交BD于点H,CG与DE相交于点O,∵CF⊥DE,∠BAD＝90°,∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°,∴∠FCG＝∠ADE,∠BAD＝∠CFG＝90°,∴△DEA∽△CGF,∴,第29页（共29页） 在Rt△ABD中,tan∠ADB＝,AD＝9,∴AB＝3,在Rt△ADH中,tan∠ADH＝,∴,设AH＝a,则DH＝3a,∵AH2+DH2＝AD2,∴a2+(3a)2＝92,∴a＝(负值舍去),∴AH＝,DH＝,∴AC＝2AH＝,∵S△ADC＝AD•CG,∴×9CG,∴CG＝,∴；②∵AC＝,CG＝,∠AGC＝90°,∴AG＝＝＝,∵CF⊥DE,CG⊥AD,∴∠EOC+∠FCG＝∠DOG+∠EDA＝90°,∵∠EOC＝∠DOG,∴∠FCG＝∠EDA,又∵∠EAD＝∠CGF＝90°,∴△CFG∽△DEA,∴,又∵,AE＝1,第29页（共29页） ∴FG＝,∴AF＝AG﹣FG＝＝,∴BF＝＝＝．25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+AE′的最小值；（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，∴b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3，（2）在OE上取一点D，使得OD＝OE，连接AE'，BD，第29页（共29页） ∵，对称轴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），OE＝1，∴OE'＝OE＝1，OA＝3，∴，又∵∠DOE'＝∠E'OA，△DOE'∽△E'OA，∴，∴，当B，E'，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，BD＝＝，∴的最小值为；（3）∵A（﹣3，0），B（0，3），设N（n，﹣n2﹣2n+3），M（x，y），则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，∵ABMN构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2，即18＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：n1＝，，第29页（共29页） ∴N的横坐标为或，若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+（n2+2n）2，解得n＝﹣1，∴N的横坐标是﹣1，若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，解得n＝2，∴N的横坐标为2，综上N的横坐标为，，﹣1，2．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/267:54:24；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第29页（共29页）