2021年内蒙古通辽市中考数学试卷

2021年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）|﹣2|的倒数是（　　）A．2B．C．﹣2D．﹣2．（3分）下列计算正确的是（　　）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y63．（3分）为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．（3分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（　　）A．3B．4C．5D．66．（3分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）第28页（共28页） A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.67．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC8．（3分）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（　　）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]9．（3分）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　）A．B．C．或D．或10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）第28页（共28页） A．B．C．D．二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为　　．12．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是　　．13．（3分）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为　　．14．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”第28页（共28页） 其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为　　．15．（3分）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是　　．16．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是　　．17．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为　　．（用含有正整数n的式子表示）三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．第28页（共28页） 21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）22．（7分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共抽取　　名学生，a的值为　　；（2）在扇形统计图中，n＝　　，E组所占比例为　　%；（3）补全频数分布直方图；（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．第28页（共28页） 23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．第28页（共28页） 26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第28页（共28页） 2021年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）|﹣2|的倒数是（　　）A．2B．C．﹣2D．﹣【解答】解：|﹣2|的倒数是，故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（　　）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6【解答】解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；故选：C．3．（3分）为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数【解答】解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，第28页（共28页） 故选：C．4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（　　）A．3B．4C．5D．6【解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴不可能有6个．故选：D．6．（3分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6第28页（共28页） C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：507（1+x）2＝833.6，故选：C．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．8．（3分）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（　　）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，设A（x1，0），B（x2，0），第28页（共28页） 联立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的两根，∴，又∵A，B两点关于原点对称，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，故选：D．9．（3分）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　）A．B．C．或D．或【解答】解：①当MB'＝MN时，如图：Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，∴AM＝＝2，第28页（共28页） ∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四边形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（2﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴BE的长为；②当NB'＝MN时，如图：∵NB'＝MN＝1，∴MB'＝2，设BE＝y，同①可得y＝，∴BE的长为，综上所述，BE的长为或．故选：D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）第28页（共28页） A．B．C．D．【解答】解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为　1.2×10﹣7　．【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．故答案为：1.2×10﹣7．12．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是　　．第28页（共28页） 【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，画树状图如图：共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，故答案为：．13．（3分）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为　75°　．【解答】解：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝30°，∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，第28页（共28页） 故答案为：75°．14．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为　　．【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，依题意得：．故答案为：．15．（3分）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是　﹣1＜a≤1　．【解答】解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式2x﹣a＜5，得：x＜，∵不等式组只有2个整数解，∴2＜≤3，解得﹣1＜a≤1，故答案为：﹣1＜a≤1．16．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是　﹣　．【解答】解：连接OA、OB、OM，如图，第28页（共28页） ∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵AM＝BM＝AB＝，∴OM⊥AB，∴tan30°＝，∴OM＝×＝1，∴OA＝2OM＝2，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC，∴△MBN∽△ABC，∴＝（）2＝，∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，∴△MBN的面积最大值为：，∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，故答案为：﹣．第28页（共28页） 17．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为　（+，﹣+）　．（用含有正整数n的式子表示）【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，易知M1（1，0）是OA1的中点，∴A1（2，0）．可得B1的坐标为（1，1），∴B1O的解析式为：y＝x，∵P1O∥A1P2，∴A1B2的表达式一次项系数相等，将A1（2，0）代入y＝x+b，∴b＝﹣2，∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，与y＝（x＞0）联立，解得B2（1+，﹣1+）．仿上，A2（2，0）．B3（+，﹣+），依此类推，点Bn的坐标为（+，﹣+），故答案为（+，﹣+）．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．【解答】解：原式＝2+1﹣2×+2＝﹣第28页（共28页） ＝．19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．【解答】解：原式＝•＝•＝x（x+1）＝x2+x，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，∵x+1≠0，∴x≠﹣1，当x＝2时，原式＝22+2＝6．20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．【解答】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为．21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°第28页（共28页） 方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的宽度约82m．22．（7分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．第28页（共28页） 其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共抽取　150　名学生，a的值为　12　；（2）在扇形统计图中，n＝　144　，E组所占比例为　4　%；（3）补全频数分布直方图；（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．【解答】解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），a＝150×8%＝12（人），故答案为：150，12；（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，故答案为：144，4；（3）b＝a+15＝27（人），“C组”频数为：150×30%＝45（人），“E组”频数为：150×4%＝6（人），补全频数分布直方图如图所示：第28页（共28页） （4）1500×＝660（人），答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？【解答】解：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，依题意得：＝，解得：x＝24，经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝30．答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，依题意得：m≥（300﹣m），解得：m≥75．设所需资金总额为w元，则w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，第28页（共28页） ∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．【解答】（1）证明：连接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中第28页（共28页） ，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD过O，∴PD是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°．25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．第28页（共28页） 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；（2）①证明：连接BN，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，∴∠MBN＝90°，第28页（共28页） ∴MN2+BN2＝MN2，∵△MON都是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2；②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，如图4，当点，M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x+3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，综上所述，线段AM的长为或．26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．第28页（共28页） （1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．∵AP＝BP，∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周长的最小值是：3+．抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：第28页（共28页） ，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．设P（1，t），①以AC为边时，如图2，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝CA，∴12+（3﹣t）2＝32+32，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∴Q1（4，﹣），Q2（4，），②以AC为对角线时，如图3，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝PA，∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，解得：t＝1，∴P3（1，1），Q3（2，2），综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2）．第28页（共28页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/27:51:27；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第28页（共28页）