2021年青海省西宁市城区中考数学试卷

2021年青海省西宁市城区中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）﹣的相反数是（　　）A．B．﹣C．D．﹣2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）A．圆锥B．长方体C．圆柱D．四棱柱3．（3分）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（﹣2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（　　）A．（+3）+（+6）B．（+3）+（﹣6）C．（﹣3）+（+6）D．（﹣3）+（﹣6）4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．三角形B．等边三角形C．平行四边形D．菱形5．（3分）下列命题是真命题的是（　　）A．同位角相等B．是分式C．数据6，3，10的中位数是3D．第七次全国人口普查是全面调查第22页（共22页） 6．（3分）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（　　）A．6.5（1﹣x）2＝5.265B．6.5（1+x）2＝5.265C．5.265（1﹣x）2＝6.5D．5.265（1+x）2＝6.57．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）A．B．C．4﹣πD．8．（3分）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）A．cmB．3cmC．4cmD．6cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）9．（2分）9的算术平方根是　　．10．（2分）解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求．2020年中国粮食总产量达到657000000吨，已成为世界粮食第一大国．将657000000用科学记数法表示为　　．11．（2分）十二边形的内角和为　　度．12．（2分）计算：（2a2）3﹣6a2•a4＝　　．第22页（共22页） 13．（2分）从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是　　．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　　．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE，若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是　　．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是　　．17．（2分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是　　．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝　　．第22页（共22页） 三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每小题4分，第21、22题每小题4分，第23、24、25题每小题4分，第26、27题每小题4分，第2题12分，共76分解答时将必要的文字说明证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）19．（4分）计算：．20．（4分）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．21．（6分）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．22．（6分）解方程：﹣＝1．23．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若∠ABC＝120°，AB＝6，求矩形OBEC的周长．24．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cos∠BOC＝，OC＝3．（1）求OB的长和反比例函数的解析式；（2）将△AOB绕点O旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A′的坐标．第22页（共22页） 25．（8分）某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：9888907210078959210099849275100859093937092788991839398888590100（1）本次抽样调查的样本容量是　　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是　　；（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．27．（10分）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”第22页（共22页） ．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如表：型号载客量（人/辆）租金单价（元/辆）A16900B221200若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．第22页（共22页） 2021年青海省西宁市城区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）﹣的相反数是（　　）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：﹣的相反数是．故选：A．2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）A．圆锥B．长方体C．圆柱D．四棱柱【解答】解：∵主视图和左视图均为矩形，∴该几何体为柱体，∵俯视图为圆，∴该几何体为圆柱，故选：C．3．（3分）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（﹣2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（　　）A．（+3）+（+6）B．（+3）+（﹣6）C．（﹣3）+（+6）D．（﹣3）+（﹣6）【解答】解：由题意可知：（+3）+（﹣6），第22页（共22页） 故选：B．4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．三角形B．等边三角形C．平行四边形D．菱形【解答】解：A．三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．5．（3分）下列命题是真命题的是（　　）A．同位角相等B．是分式C．数据6，3，10的中位数是3D．第七次全国人口普查是全面调查【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、是单项式，单项式是整式，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、数据6，3，10的中位数是6，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、第七次全国人口普查是全面调查，正确，是真命题，符合题意；故选：D．6．（3分）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（　　）A．6.5（1﹣x）2＝5.265B．6.5（1+x）2＝5.265C．5.265（1﹣x）2＝6.5D．5.265（1+x）2＝6.5【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，则2019年的用水量为6.5（1﹣x），2020年的用水量为6.5（1﹣x）2，故选：A．7．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）第22页（共22页） A．B．C．4﹣πD．【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴＝，∴r＝＝2，∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE∴四边形OFCE是正方形，∴∠FOE＝90°，∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，故选：C．8．（3分）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）第22页（共22页） A．cmB．3cmC．4cmD．6cm【解答】解：由图2可知，AB＝acm，BC＝4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，∴•AB•BC＝6，即•a•4＝6，解得a＝3cm．即AB的长为3cm．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）9．（2分）9的算术平方根是　3　．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．故答案为：3．10．（2分）解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求．2020年中国粮食总产量达到657000000吨，已成为世界粮食第一大国．将657000000用科学记数法表示为　6.57×108　．【解答】解：657000000＝6.57×108，故答案为：6.57×108．11．（2分）十二边形的内角和为　1800　度．【解答】解：（12﹣2）•180°＝1800°．故答案为：1800．12．（2分）计算：（2a2）3﹣6a2•a4＝　2a6　．【解答】解：（2a2）3﹣6a2•a4＝8a6﹣6a6第22页（共22页） ＝2a6，故答案为：2a6．13．（2分）从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是　　．【解答】解：∵从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，共有5种等可能结果，其中抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有2种结果，∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是，故答案为：．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　　．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10，∴CE＝CD＝5，∠OEC＝90°，设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，即52+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝，即OC＝，故答案为：．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE，若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是　　．第22页（共22页） 【解答】解：设点A到BC的距离是h，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AE＝，∴BC＝2AE＝15，∵D，E分别是AB，BC的中点，DE＝，∴AC＝2DE＝9，由勾股定理得：AB＝＝＝12，则×15×h＝×12×9，解得：h＝，故答案为：．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是　（2，﹣8）或（2，﹣10）　．【解答】解：∵AB与y轴平行，∴A、B两点的横坐标相同，又AB＝9，∴B点纵坐标为：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣10）；故答案为：（2，8）或（2，﹣10）．17．（2分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是　　．第22页（共22页） 【解答】解：连接CM，CN，∵△ABC是等边三角形，AD是中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴BM＝CM，∴BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，∵点N是AB的中点，∴CN⊥AB，AN＝AB＝3，∴CN＝＝＝3，∴BM+MN最小值为：3，故答案为：3．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝　　．【解答】解：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，第22页（共22页） 在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF＝EG，AF＝DG＝，∵CE⊥EF，∴CF＝CG＝5，∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，∴△EDG∽△CEG，∴，∴EG2＝DG•CG＝，∴EG＝＝EF，故答案为．三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每小题4分，第21、22题每小题4分，第23、24、25题每小题4分，第26、27题每小题4分，第2题12分，共76分解答时将必要的文字说明证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）19．（4分）计算：．【解答】解：原式＝4+2﹣3＝6﹣3＝3．20．（4分）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1．21．（6分）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【解答】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）＝﹣4﹣4+2第22页（共22页） ＝﹣8+2．22．（6分）解方程：﹣＝1．【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），整理得2x﹣2＝0，解得x＝1．检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，应舍去．∴原方程无解．23．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若∠ABC＝120°，AB＝6，求矩形OBEC的周长．【解答】（1）证明：∵△BOC≌△CEB，∴OB＝EC，OC＝EB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝120°，∴AC⊥BD，BC＝AB＝6，∠DBC＝∠ABC＝60°，∴∠BOC＝90°，∴∠OCB＝30°，∴OB＝BC＝3，第22页（共22页） ∴OC＝＝＝3，∴矩形OBEC的周长＝2（3+3）＝6+6．24．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cos∠BOC＝，OC＝3．（1）求OB的长和反比例函数的解析式；（2）将△AOB绕点O旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A′的坐标．【解答】.解：（1）∵AB⊥x轴于点B，∴∠OBC＝90°，在Rt△OBC中，OC＝3，cos∠BOC＝，∴＝，∴OB＝2，∴点A的横坐标为2，又∵点A在正比例函数y＝x的图象上，∴y＝＝1，∴A（2，1），把A（2，1）代入y＝得1＝，∴k＝2，∴反比例函数的解析式是y＝（x＞0）；（2）若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（1，﹣2），若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣1，2），25．（8分）某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“第22页（共22页） 学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：9888907210078959210099849275100859093937092788991839398888590100（1）本次抽样调查的样本容量是　30　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是　0.6　；（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是30，样本数据中成绩为“优秀”的频率是18÷30＝0.6，故答案为：30，0.6；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，∴抽到的两位同学都在九年级的概率为＝，所有等可能结果为：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）．26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．第22页（共22页） 【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，即∠ABC+∠CBD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠ADB＝∠C，∴∠ABC＝∠ADB，∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB，∴∠ADB+∠FDB＝90°，即∠ADF＝90°，∴AD⊥DF，又∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC＝12，AF＝15，∴BF＝AF﹣AB＝3，∵∠F＝∠F，∠FBD＝∠FDA＝90°，∴△FBD∽△FDA，∴BF：DF＝DF：AF，∴DF2＝BF×AF＝3×15＝45，∴DF＝＝3．27．（10分）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B第22页（共22页） 两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如表：型号载客量（人/辆）租金单价（元/辆）A16900B221200若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．【解答】解：（1）y＝900x+1200（10﹣x）＝﹣300x+12000，∴y＝﹣300x+12000；（2）根据题意，得﹣300x+12000≤11800，解得：x≥，∵x应为正整数，∴x≥1，∴A型客车至少需租1辆；（3）根据题意，得16x+22（10﹣x）≥200，解得x≤，结合（2）的条件，≤x≤，∵x应为正整数，∴x取1，2，3，∴租车方案有3种，方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；方案一：A型客车租2辆，B型客车租8辆；方案一：A型客车租3辆，B型客车租7辆；∵y＝﹣300x+12000，k＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝3时，函数值y最小，第22页（共22页） ∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，∴A（6，0），B（0，3），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，∴∠BOA＝∠DOA＝90°，第22页（共22页） 在△BOA和△DOA中，，∴△BOA≌△DOA（ASA），∴OB＝OD，（3）存在，理由如下：如图，过点E作EM⊥y轴于点M，∵y＝x2+x+3＝（x﹣2）2+4，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∴E点的横坐标是2，即EM＝2，∵B（0，3），∴OB＝OD＝3，∴BD＝6，∵A（6，0），∴OA＝6，∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE＝×6×6﹣×6×2＝12，设点P的坐标为（t，t2+t+3），连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作H2⊥PN于点H2，∴N（t，﹣t+3），∴PN＝t2+t+3﹣（﹣t+3）＝t2+t，∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP＝PN•BH2+PN•AH1＝PN•OA，∴S△ABP＝×6（t2+t）＝（t﹣3）2+，∵＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，第22页（共22页） ∴四边形BEAP的面积最大值为+12＝，∴当P点坐标是（3，）时，四边形BEAP面积的最大值是．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/10/222:18:09；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第22页（共22页）