2021年辽宁省阜新市中考数学试卷

2021年辽宁省阜新市中考数学试卷一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1．（3分）计算：3+（﹣1），其结果等于（　　）A．2B．﹣2C．4D．﹣42．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（　　）A．B．C．D．3．（3分）在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（　　）A．平均数B．中位数C．众数D．方差4．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）A．B．C．D．5．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（　　）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1+y2＝0D．y1﹣y2＝06．（3分）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（　　）A．B．C．D．7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（　　）第24页（共24页） A．40°B．35°C．30°D．25°8．（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）A．100（1+x）2＝121B．100×2（1+x）＝121C．100（1+2x）＝121D．100（1+x）+100（1+x）2＝1219．（3分）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（　　）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4，0）C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣210．（3分）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（　　）第24页（共24页） A．2020πB．1010π+2020C．2021πD．1011π+2020二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算：﹣（）﹣1＝　　．12．（3分）如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为　　°．13．（3分）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为　　．14．（3分）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为　　m（结果精确到1m，≈1.7）．第24页（共24页） 15．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为　　．16．（3分）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了h第一次返回到自己班级，则七（2）班需要　　h才能追上七（1）班．三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）17．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．18．（8分）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕　　点顺时针旋转　　度，可以得到图形G2．（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕　　点（用坐标表示）顺时针旋转　　度，可以得到图形G2．（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕　　点（用坐标表示）顺时针旋转　　度（用α表示），可以得到图形G2．第24页（共24页） 19．（8分）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：（1）参与这次学校调查的学生家长共　　人；（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？20．（8分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？第24页（共24页） 21．（10分）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．（1）如图2，求证：DE＝DF；（2）若直线AC与EF相交于点G，①如图3，求证：DG⊥EF；②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第24页（共24页） 2021年辽宁省阜新市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1．（3分）计算：3+（﹣1），其结果等于（　　）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：3+（﹣1）＝2．故选：A．2．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（　　）A．B．C．D．【解答】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：故选：B．3．（3分）在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（　　）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的班级成绩和中位数就可以知道自己的班级能否进入决赛．故选：B．4．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）A．B．C．D．第24页（共24页） 【解答】解：解不等式2﹣2x≤4，得：x≥﹣1，解不等式x+1＞3，得：x＞2，则不等式组的解集在数轴上的表示如下：故选：C．5．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（　　）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1+y2＝0D．y1﹣y2＝0【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2，∴A在第二象限，B在第四象限，∴y1＞0，y2＜0，∴y1＞y2．故选：A．6．（3分）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（　　）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如图：，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，故选：C．7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（　　）第24页（共24页） A．40°B．35°C．30°D．25°【解答】解：∵∠AOB和∠C都对，∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°．故选：B．8．（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）A．100（1+x）2＝121B．100×2（1+x）＝121C．100（1+2x）＝121D．100（1+x）+100（1+x）2＝121【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程：100（1+x）2＝121．故选：A．9．（3分）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（　　）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4，0）C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2第24页（共24页） 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，∴a＞0，故A错误，∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），∴B点的坐标为（﹣3，0），故B错误，D正确，由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，故选：D．10．（3分）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（　　）A．2020πB．1010π+2020C．2021πD．1011π+2020【解答】解：由题知，图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，即4π，2021π÷4π＝505（圈），即当圆心经过的路径长为2021π时，图形旋转了505圈，∵图形每旋转一圈横坐标增加2π+4，∴当图形旋转505圈时的横坐标为（2π+4）×505＝1010π+2020，再转圈横坐标增加×4π＝π，∴当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是1010π+2020+π＝1011π+2020，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）第24页（共24页） 11．（3分）计算：﹣（）﹣1＝　1　．【解答】解：原式＝3﹣2＝1．故答案为：1．12．（3分）如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为　60　°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠FEC，∵EG平分∠CEF，∠GEF＝30°，∴∠CEF＝2∠GEF＝2×30°＝60°，∴∠1＝60°，故答案为60．13．（3分）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为　2：1　．【解答】解：如图，分别过点A、点E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分别为点M、N，第24页（共24页） 则∠AMB＝∠END＝90°，∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，∴，∴△ABM∽△EDN，∴∠ABM＝∠EDN，＝2，∴AB∥EN，∴∠BAC＝∠EDC，又∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△CDE，∴△ABC与△CDE的周长之比为2：1．故答案为：2：1．14．（3分）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为　57　m（结果精确到1m，≈1.7）．【解答】解：如图，过A作AE⊥CD于E，则AB＝CE，在△ACE中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，EC＝AB＝21米，∴AC＝21×2＝42（米），∴AE＝＝＝21≈35.7（米），在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝35.7米，∴乙楼DC＝CE+ED＝21+35.7＝56.7≈57（米）．答：乙楼的高约为57米．第24页（共24页） 15．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为　6.8　．【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，即（10﹣x）2+62＝x2，解得x＝6.8，故答案为：6.8．16．（3分）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了h第一次返回到自己班级，则七（2）班需要　2　h才能追上七（1）班．【解答】解：由图可知：七（1）班的速度为4÷1＝4（km/h），第24页（共24页） 联络员的速度为：4×（1+）÷＝12（km/h），设七（2）班的速度为xkm/h，则12×+x＝2×[4×﹣4×（﹣）]，解得x＝6，即七（2）班的速度为6km/h，设七（2）班需要ah才能追上七（1）班，则6a＝4（a+1），解得a＝2，故答案为：2．三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）17．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．【解答】解：原式＝＝＝＝，当时，原式＝＝＝．18．（8分）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕　O　点顺时针旋转　180　度，可以得到图形G2．（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕　（0，1）　点（用坐标表示）顺时针旋转　90　度，可以得到图形G2．（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕　（，）　点（用坐标表示）顺时针旋转　2α　度（用α表示），可以得到图形G2．第24页（共24页） 【解答】解：（1）由图象即可知，将图形G1绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形G2，故答案为：O，180；（2）G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2，如图2所示，∵图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交于点（0，1），∴图形G1绕（0，1）点顺时针旋转90度，可以得到图形G2，即答案为：G1，G2如图2；（0，1），90；（3）图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，则直线l1与直线l2的交点即为图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交点，即旋转中心，∴，解得，∴图形G1绕点（，）旋转可以得到图形G2，如图3，设A点，点A'，点A“分别是在图形G，G1，G2上的对应点，设旋转中心为P，则∠A'PA“即为旋转角，连接AP，A'P，A“P，∵两直线之间的夹角为α，由图象的对称性可知，∠APA'+∠APA“＝180°﹣α，第24页（共24页） ∴∠A'PA“＝360°﹣2（∠APA'+∠APA“）＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α，故答案为：（，），2α．19．（8分）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：（1）参与这次学校调查的学生家长共　150　人；（2）通过计算将条形统计图补充完整；第24页（共24页） （3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？【解答】解：（1）参与这次学校调查的学生家长共30÷20%＝150（人），故答案为：150；（2）C选项人数为：150﹣30﹣54﹣24＝42（人），补全图形如下：（3）×2000＝1120（人），答：估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有1120人．20．（8分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？【解答】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，根据题意得：＝3，解得：x＝4，经检验，x＝4是所列方程的解，则1.5x＝1.5×4＝6，答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意得：1000y+×500≤18000，第24页（共24页） 解这个不等式，得：y≤12，答：最多安排甲公司工作12天．21．（10分）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．（1）如图2，求证：DE＝DF；（2）若直线AC与EF相交于点G，①如图3，求证：DG⊥EF；②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．∴∠DAE＝∠C＝90°，又∵AE＝CF，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF；（2）证明：作EH∥BC交AC于点H，如图3．∴∠EHG＝∠FCG．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°．第24页（共24页） ∴∠BAC＝∠BCA＝45°∵EH∥BC，∴∠AHE＝∠ACB＝45°．∴∠BAH＝∠AHE．∴AE＝EH，∵AE＝CF，∴EH＝CF．又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EHG≌△FCG（AAS），∴EG＝GF．由（1）同理可得DE＝DF，∴DG⊥EF；（3）解：①当点E在线段AB上时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，∵DE＝DF，DG⊥EF，∴∠GDF＝∠2＝45°，∴∠1＝45°﹣∠3，∵∠BCD＝90°，∴∠3+∠2+∠CFE＝90°，∴∠3＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，∴∠1＝45°﹣∠3＝α，∵∠DGO＝∠ACD+∠1，∴∠DGO＝α+45°；②当点E在线段BA的延长线上时，第24页（共24页） ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，∵DE＝DF，DG⊥EF，∴∠GDF＝∠GFD＝∠BDC＝45°，∴∠1＝∠2，∵∠BCD＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∵∠3＝∠CFE﹣∠GFD＝α﹣45°，∴∠2＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，∴∠1＝∠2＝135°﹣α，∴∠DGO＝90°﹣∠1＝α﹣45°；③当点E在线段AB的延长线上时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠ACD＝45°，∠ABC＝90°，∴∠2＝∠3，∵DE＝DF，DG⊥EF，∴∠GDE＝∠DEG＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CFE+∠2+∠DEG＝90°，第24页（共24页） ∵∠CFE﹣∠2＝45°，∴∠CFE＝∠1＝α，∴∠DGO+∠1＝∠ACD＝45°，∴∠DGO＝45°﹣α．综上：∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，），∴PE＝PD–DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，第24页（共24页） 联立方程组：，解得：，，∵点B坐标为（3，0），∴点C的坐标为（，﹣），∴BD+CF＝3+，∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF＝PE（BD+CF）＝（−m2+m+1）•＝（）2+，（其中＜m＜3），∵，∴这个二次函数有最大值．当m＝时，S△PBC的最大值为．（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，∴OM＝ON，∠MON＝90°，∵∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，第24页（共24页） ∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴，解得：，，M1（0，﹣3），M2，如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，∴OM＝ON，∠MON＝90°，∵∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴或，解得：t1＝，t2＝，t3＝0（舍），t4＝（舍），∴M3，M4；综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2，M3，M4．第24页（共24页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/413:54:50；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第24页（共24页）