2020年湖北省鄂州市中考数学试卷

2020年湖北省鄂州市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣2020的相反数是（　　）A．2020B．﹣C．D．﹣20202．下列运算正确的是（　　）A．2x+3x＝5x2B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．2x3•3x2＝6x5D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣43．如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（　　）A．B．C．D．4．面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（　　）A．0.21×108B．2.1×108C．2.1×109D．0.21×10105．如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）A．25°B．35°C．55°D．65°6．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（　　）A．4B．5C．7D．97．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）A．20%B．30%C．40%D．50%8．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．A．4B．3C．2D．19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（　　）第21页（共21页） A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（　　）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）二．填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：2m2﹣12m+18＝　　．12．关于x的不等式组的解集是　　．13．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为　　．14．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为　　．15．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动　　秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．16．如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　　．三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）17．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．第21页（共21页） 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．19．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表学习时间分组频数频率A组（0≤x＜1）9mB组（1≤x＜2）180.3C组（2≤x＜3）180.3D组（3≤x＜4）n0.2E组（4≤x＜5）30.05（1）频数分布表中m＝　　，n＝　　，并将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．21．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）第21页（共21页） 22．（10分）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）求证：AE•ED＝AC•EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第21页（共21页） 第21页（共21页） 2020年湖北省鄂州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣2020的相反数是（　　）A．2020B．﹣C．D．﹣2020【解答】解：﹣2020的相反数是2020，故选：A．2．下列运算正确的是（　　）A．2x+3x＝5x2B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．2x3•3x2＝6x5D．（3x+2）（2﹣3x）＝9x2﹣4【解答】解：A、2x+3x＝5x，故原题计算错误；B、（﹣2x）3＝﹣8x3，故原题计算错误；C、2x3•3x2＝6x5，故原题计算正确；D、（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故原题计算错误；故选：C．3．如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（　　）A．B．C．D．【解答】解：从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．故选：A．4．面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（　　）A．0.21×108B．2.1×108C．2.1×109D．0.21×1010【解答】解：21亿＝2100000000＝2.1×109．故选：C．5．如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）A．25°B．35°C．55°D．65°【解答】解：如图：第21页（共21页） ∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，∵a∥b，∴∠4+∠2＝∠3＝70°，∵∠4＝45°，∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．故选：A．6．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（　　）A．4B．5C．7D．9【解答】解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，∴x＝6×5﹣4﹣5﹣7﹣9＝5，∴这组数据的众数为5；故选：B．7．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）A．20%B．30%C．40%D．50%【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．故选：C．8．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；第21页（共21页） ∵∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性质得：∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，在△OGA和△OHB中，∵，∴△OGA≌△OHB（AAS），∴OG＝OH，∴OM平分∠AMD，故④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△OMD（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴位于y轴的右侧，第21页（共21页） ∴b＜0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0；故错误；②对称轴为x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，故错误；③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，故正确；④∵当x＝﹣1时，y＝0，∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．故正确．综上所述，有2个结论正确．故选：B．10．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（　　）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m＝﹣1，∴OB2＝2，设A3（a，2+n），则有n＝a（2+a）＝1，解得a＝﹣，∴OB3＝2，同法可得，OB4＝2，∴OBn＝2，∴Bn（0，2）．故选：D．二．填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：2m2﹣12m+18＝　2（m﹣3）2　．【解答】解：原式＝2（m2﹣6m+9）＝2（m﹣3）2．第21页（共21页） 故答案为：2（m﹣3）2．12．关于x的不等式组的解集是　2＜x≤5　．【解答】解：由①得：x＞2，由②得：x≤5，所以不等式组的解集为：2＜x≤5，故答案为2＜x≤5．13．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为　　．【解答】解：设圆锥底面的半径为r，扇形的弧长为：＝π，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据题意得2πr＝π，解得：r＝．故答案为：．14．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为　﹣9　．【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC＝x，AC＝，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB＝3OA，∴＝＝＝，∴OD＝3AC＝，BD＝3OC＝3x，第21页（共21页） ∴B（，﹣3x），∵点B反比例函数y＝图象上，∴k＝×（﹣3x）＝﹣9，故答案为：﹣9．15．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动　1或（11+6）　秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．16．如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　2　．第21页（共21页） 【解答】解：如图，在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝，∴OB＝4，OA＝，∴tan∠OBA＝＝，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ＝，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP＝OB＝2，此时PQ＝＝，BP＝＝2，∴OQ＝OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP＝BP＝，∴BE＝＝3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE＝OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．第21页（共21页） 三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）17．（8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．【解答】解：÷+＝＝＝＝＝，∵x＝0，1，﹣1时，原分式无意义，∴x＝﹣2，当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，第21页（共21页） 又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．19．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表学习时间分组频数频率A组（0≤x＜1）9mB组（1≤x＜2）180.3C组（2≤x＜3）180.3D组（3≤x＜4）n0.2E组（4≤x＜5）30.05（1）频数分布表中m＝　0.15　，n＝　12　，并将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．【解答】解：（1）根据频数分布表可知：m＝1﹣0.3﹣0.3﹣0.2﹣0.05＝0.15，∵18÷0.3＝60，∴n＝60﹣9﹣18﹣18﹣3＝12，补充完整的频数分布直方图如下：第21页（共21页） 故答案为：0.15，12；（2）根据题意可知：1000×（0.15+0.3）＝450（名），答：估计全校需要提醒的学生有450名；（3）设2名男生用A，B表示，1名女生用C表示，根据题意，画出树状图如下：根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：＝．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣4，∴＝x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．21．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）第21页（共21页） 【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，（1）在Rt△ACM中，tanα＝2，MC＝50，∴AM＝2MC＝100＝BN，答：无人机的飞行高度AM为100米；（2）在Rt△BND中，∵tan∠BDN＝，即：tan30°＝，∴DN＝300，∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50≈264，答：河流的宽度CD约为264米．22．（10分）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）求证：AE•ED＝AC•EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．第21页（共21页） 【解答】（1）证明：∵CD是直径，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，∵DE∥OB，∴OB⊥EC，∴OB垂直平分线段EC，∴BE＝EC，OE＝OC，∵OB＝OB，∴△OBE≌△OBC（SSS），∴∠OEB＝∠OCB，∵BC是⊙O的切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB＝90°，∴∠OEB＝90°，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（2）证明：连接EG．∵CD是直径，∴∠DGC＝90°，∴CG⊥DG，∵CG∥OE，∴OE⊥DG，∴＝，∴DE＝EG，∵AE⊥OE，DG⊥OE，∴AE∥DG，∴∠EAC＝∠GDC，∵∠GDC＝∠GEF，∴∠GEF＝∠EAC，∵∠EGF＝∠ECA，∴△AEC∽△EFG，∴＝，∵EG＝DE，∴AE•DE＝AC•EF．（3）解：过点O作OH⊥AN于H．∵＝，第21页（共21页） ∴∠EDG＝∠ACE，∴tan∠EDF＝tan∠ACE＝＝＝，∵EF＝3，∴DE＝6，EC＝12，CD＝＝6，∵∠AED+∠OED＝90°，∠OED+∠OEC＝90°，∴∠AED＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠AED＝∠ACE，∵∠EAD＝∠EAC，∴△EAD∽△CAE，∴＝═，∴可以假设AE＝x，AC＝2x，∵AE2＝AD•AC，∴x2＝（2x﹣6）•2x，解得x＝4（x＝0舍去），∴AE＝4，AC＝8，AD＝2，OA＝5，∵EC∥AN，∴∠OAH＝∠ACE，∴tan∠OAH＝tan∠ACE＝＝，∴OH＝5，AH＝10，∵OH⊥MN，∴HM＝HN，连接OM，则MH＝HN＝＝＝2，∴AN＝AH+HN＝10+2．23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤第21页（共21页） 6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3，∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第21页（共21页） 【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝，∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为﹣或1或2；②由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，第21页（共21页） ∴点A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC与△AOC相似，∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴点P的纵坐标为﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△AOC时，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m2﹣m＝，∴m＝，∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/7/309:42:26；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第21页（共21页）