2020年四川省达州市中考数学试卷

2020年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（　　）A．1.002×107B．1.002×106C．1002×104D．1.002×102万2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）A．3.14B．C．D．3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（　　）A．B．C．D．4．（3分）下列说法正确的是（　　）A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B．确定事件一定会发生C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98D．数据6、5、8、7、2的中位数是65．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）第31页（共31页） A．x2+3x+2B．x2+2x+1C．x2+4x+3D．2x2+4x6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（　　）A．12（m﹣1）B．4m+8（m﹣2）C．12（m﹣2）+8D．12m﹣167．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）A．10B．89C．165D．2948．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（　　）A．πB．πC．πD．π9．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）第31页（共31页） A．B．C．D．10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是　　．第31页（共31页） 12．（3分）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝　　．13．（3分）小明为测量校园里一颗大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　　．（结果精确到lm．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）14．（3分）如图，点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　　．15．（3分）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　　．16．（3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　　；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　　，S1+S2+S3+…+S100的值为　　．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：﹣22+（）﹣2+（π﹣）0+．18．（7分）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．19．（7分）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交第31页（共31页） ⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94839086948896100898294828489889398949392整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：等级成绩/分频数A95≤x≤100aB90≤x＜958C85≤x＜905D80≤x＜854根据以上信息，解答下列问题．（1）填空：a＝　　，b＝　　；（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．21．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．第31页（共31页） （1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a﹣140160已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.831.331.501.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．第31页（共31页） ①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　　的长度为自变量，　　的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．24．（10分）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　　°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　　°．②求证：BF＝AF+2FG．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①∠FEG＝　　°；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　　．（3）[归纳与拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　　．第31页（共31页） 25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．第31页（共31页） 2020年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（　　）A．1.002×107B．1.002×106C．1002×104D．1.002×102万【解答】解：1002万用科学记数法表示为1.002×107，故选：A．2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）A．3.14B．C．D．【解答】解：3＝，4＝，A、3.14是有理数，故此选项不合题意；B、是有理数，故此选项不符合题意；C、是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；D、比4大的无理数，故此选项不合题意；故选：C．3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；B、手的对面是口，符合题意；第31页（共31页） C、手的对面是罩，不符合题意；D、手的对面是罩，不符合题意；故选：B．4．（3分）下列说法正确的是（　　）A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B．确定事件一定会发生C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98D．数据6、5、8、7、2的中位数是6【解答】解：A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；B．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；D．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；故选：D．5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）A．x2+3x+2B．x2+2x+1C．x2+4x+3D．2x2+4x【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3，故选：C．6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（　　）第31页（共31页） A．12（m﹣1）B．4m+8（m﹣2）C．12（m﹣2）+8D．12m﹣16【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为m时，正方体上的所有小球数为12m﹣8×2＝12m﹣16．而12（m﹣1）＝12m﹣12≠12m﹣16，4m+8（m﹣2）＝12m﹣16，12（m﹣2）+8＝12m﹣16，所以A选项表达错误，符合题意；B、C、D选项表达正确，不符合题意；故选：A．7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）A．10B．89C．165D．294【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，故选：D．8．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（　　）A．πB．πC．πD．π【解答】解：如图，作O点关于AB的对称点O′，连接O′A、O′B，∵OA＝OB＝O′A＝O′B，第31页（共31页） ∴四边形OAO′B为菱形，∵折叠后的与OA、OB相切，∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，∴四边形OAO′B为正方形，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的长＝＝π．故选：B．9．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）A．B．C．D．【解答】解：设y＝y2﹣y1，∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；第31页（共31页） 故选：B．10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF＝AB，第31页（共31页） 连接BF，如图1，∴BF＝，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，第31页（共31页） 故④正确；故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是　②③①　．【解答】解：正确的统计顺序是：②收集三个部分本班学生喜欢的人数；③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；①绘制扇形统计图；故答案为：②③①．12．（3分）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝　﹣5　．【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，故答案为﹣5．13．（3分）小明为测量校园里一颗大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　11　．（结果精确到lm．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）第31页（共31页） 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1在Rt△ADE中，AD＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）故答案为：11．14．（3分）如图，点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　9　．【解答】解：∵点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6，∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∴S△AOB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，故答案为9．第31页（共31页） 15．（3分）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　1　．【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，故答案为：1．16．（3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　（﹣1，1）　；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　　，S1+S2+S3+…+S100的值为　　．【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（﹣，0），直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（﹣，0），∴SK＝|﹣+|×1＝，第31页（共31页） ∴S1＝＝；∴S1+S2+S3+…+S100＝[++…]＝[（1﹣）+（）+…+（﹣）]＝×（1﹣）＝＝．故答案为（﹣1，1）；；．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：﹣22+（）﹣2+（π﹣）0+．【解答】解：原式＝﹣4+9+1﹣5＝1．18．（7分）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝）÷＝•＝﹣x（x﹣1）当x＝+1时，原式＝﹣（+1）（+1﹣1）＝﹣（+1）×＝﹣2﹣．19．（7分）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．第31页（共31页） 【解答】解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．（2）直线DE与⊙O相切，交点只有一个．理由：∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ODB＝∠ABD，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴AE⊥OD，∴直线AE是⊙O的切线，∴⊙O与直线AE只有一个交点．20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94839086948896100898294828489889398949392整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：等级成绩/分频数A95≤x≤100aB90≤x＜958第31页（共31页） C85≤x＜905D80≤x＜854根据以上信息，解答下列问题．（1）填空：a＝　3　，b＝　40　；（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意知a＝20﹣（8+5+4）＝3，b%＝×100%＝40%，即b＝40；故答案为：3、40；（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200×＝660（人）；（3）列表如下：男女女男（男，女）（男，女）女（男，女）（女，女）女（男，女）（女，女）所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，∴恰好抽到一男一女的概率为＝．21．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．第31页（共31页） 【解答】解：（1）结论：四边形ABDF是菱形．∵CD＝DB，CE＝EA，∴DE∥AB，AB＝2DE，由旋转的性质可知，DE＝EF，∴AB＝DF，AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵BC＝2AB，BD＝DC，∴BA＝BD，∴四边形ABDF是菱形．（2）连接BF，AD交于点O．∵四边形ABDF是菱形，∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y，则有，∴x+y＝4，∴x2+2xy+y2＝16，∴2xy＝7，∴S菱形ABDF＝×BF×AD＝2xy＝7．22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：第31页（共31页） 原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a﹣140160已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）根据题意得：，解得a＝260，经检验，a＝260是原分式方程的解．答：表中a的值为260．（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，根据题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．设销售利润为y元，根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×（260﹣110）]×x+（380﹣260）×x+[160﹣（260﹣110）]×（5x+20﹣4×x）＝250x+1000，∵k＝250＞0，∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：250×30+1000＝8500．答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是8500元．23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：第31页（共31页） 当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.831.331.501.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　BP　的长度为自变量，　EC　的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP第31页（共31页） 的长度为自变量，EC的长度为因变量，故答案为：BP，EC．②设BP＝xcm，CE＝ycm．∵△ABP∽△PCE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+mx＝﹣（x﹣m）2+，∵﹣＜0，∴x＝m时，y有最大值，∵点E在线段CD上，CD＝2cm，∴≤2，∴m≤4，∴0＜m≤4．24．（10分）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　60　°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　30　°．第31页（共31页） ②求证：BF＝AF+2FG．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①∠FEG＝　45　°；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　BF＝AF+FG　．（3）[归纳与拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　BF＝2AF•sinα+　．【解答】（1）①解：如图1中，∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝30°．故答案为60，30．第31页（共31页） ②证明：如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．∵C，E关于AM对称，∴AM垂直平分线段EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，∵FC＝FT，∴△CFT是等边三角形，∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，∴∠BCT＝∠ACF，∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF（SAS），∴BT＝AF，∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心，∴∠BEC＝∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠FEG＝45°．故答案为45．②结论：BF＝AF+FG．理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．第31页（共31页） ∵AM⊥EC，CG＝CE，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF＝FG，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，∵CF＝CT，∴△CFT是等腰直角三角形，∴CT＝CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∴＝，∵∠BCA＝∠TCF＝45°，∴∠BCT＝∠ACF，∴△BCT∽△ACF，∴＝＝，∴BT＝CF，∴BF＝BT+TF＝AF+EAF+FG．．（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．第31页（共31页） ∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴＝sinα，∴＝2•sinα，∵AB＝AC＝AE，∴∠BEC＝∠BAC＝α，EF＝，∵FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE＝α，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，同法可证，△BCT∽△ACF，∴＝＝2•sinα，∴BT＝2AF•sinα，∴BF＝BT+FT＝2AF•sinα+EF．即BF＝2AF•sinα+．故答案为：BF＝2AF•sinα+．25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；第31页（共31页） （3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣2），设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），∴﹣2＝﹣4a，∴a＝，∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，∵OP∥AB，∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，∴S△PAB＝S△ABO，∵OP∥AB，∴直线PO的解析式为y＝x，联立方程组可得，第31页（共31页） 解得：或，∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，∴S△ABP''＝S△ABO，∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，联立方程组可得，解得，∴点P''（2，﹣3），综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，∴点M（2，﹣3），如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，第31页（共31页） ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝ON，∴MN+ON＝MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为y＝x，当x＝2时，点Q（2，2），∴QM＝2+3，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PM＝QM＝+，∴MN+ON的最小值为+．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/7/229:28:24；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第31页（共31页）