2020年内蒙古通辽市中考数学试卷

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（　　）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．（3分）下列说法不正确的是（　　）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．（3分）下列事件中是不可能事件的是（　　）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．（3分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　）A．B．C．D．5．（3分）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤16．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）第24页（共24页） A．B．C．D．7．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（　　）A．108°B．72°C．54°D．36°8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝ACD．AB＝AE9．（3分）如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（　　）第24页（共24页） A．18B．50C．12D．10．（3分）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（　　）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）计算：（1）（3.14﹣π）0＝　　；（2）2cos45°＝　　；（3）﹣12＝　　．12．（3分）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是　　；（2）a的值是　　；（3）方差是　　．13．（3分）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是　　．第24页（共24页） 14．（3分）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多　　个小正方形．15．（3分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　　个人．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　　．17．（3分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　　．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）解方程：＝．19．（6分）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．第24页（共24页） 20．（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．23．（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：第24页（共24页） （1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；第24页（共24页） （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．第24页（共24页） 2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（　　）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．2．（3分）下列说法不正确的是（　　）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．3．（3分）下列事件中是不可能事件的是（　　）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．4．（3分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　）A．第24页（共24页） B．C．D．【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．5．（3分）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．6．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）A．B．第24页（共24页） C．D．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．7．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（　　）A．108°B．72°C．54°D．36°【解答】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝54°，故选：C．8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　）第24页（共24页） A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝ACD．AB＝AE【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝AE，∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．9．（3分）如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（　　）A．18B．50C．12D．【解答】解：延长DA、CB，交x轴于E、F，第24页（共24页） ∵四边形ABCD矩形，且AB∥x轴，∴DE⊥x轴，CF⊥x轴，∴AE∥CF，∴△AOE∽△COF，∴＝（）2＝，∵矩形ABCD的面积是8，∴△ABC的面积为4，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△OFC，∴＝（）2，∵OC：OA＝5：3，∴＝，∴＝，∴S△OFC＝25，∴＝，∴S△AOE＝9，∵双曲线y＝经过点A，∴S△AOE＝|k|＝9，∵k＞0，∴k＝18，故选：A．第24页（共24页） 10．（3分）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（　　）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm，圆心角为：＝150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是，故选：C．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）计算：（1）（3.14﹣π）0＝　1　；（2）2cos45°＝　　；（3）﹣12＝　﹣1　．【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；第24页（共24页） （2）2cos45°＝；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．12．（3分）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是　3　；（2）a的值是　1　；（3）方差是　　．【解答】解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a+5）＝3×5，解得，a＝1，（3）S2＝[（1﹣3）2+（5﹣3）2]＝，故答案为：3，1，．13．（3分）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是　121°42′32″　．【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．14．（3分）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多　2n+3　个小正方形．第24页（共24页） 【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．15．（3分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　12　个人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　PB2+AP2＝2CP2　．【解答】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，第24页（共24页） ∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．17．（3分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　3+2　．【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×ACsin∠OAC＝4m×sin60°＝2m，从图②看，BC＝3＝2m，解得：m＝；点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，第24页（共24页） 则a＝PC＝＝＝m，此时b＝AA′＝2m，则a+b＝2m+m＝3+2．故答案为3+2．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）解方程：＝．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．19．（6分）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．20．（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；第24页（共24页） （2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【解答】解：（1）（﹣2）※＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：21．（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率＝；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率＝＝．22．（7分）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．第24页（共24页） 【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝PA：PD，∴PC•PD＝PA•PB，∵PC2＝PB•PA，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．23．（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；第24页（共24页） （3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．24．（9分）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【解答】解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，依题意，得：60﹣m≥2m，解得：m≤20．设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，∵k＝﹣50，第24页（共24页） ∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．25．（9分）中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，第24页（共24页） ∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．第24页（共24页） 【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵点C与点D关于x轴对称，∴C（0，6），把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），则MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面积＝＝﹣3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；第24页（共24页） （3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4，∴Q（0，4+）或（0，4﹣）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+）或（0，4﹣）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/7/2810:37:39；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第24页（共24页）