2020年江苏省连云港市中考数学试卷

2020年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）3的绝对值是（　　）A．﹣3B．3C．D．2．（3分）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（　　）A．2x+3y＝5xyB．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣44．（3分）“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（　　）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）A．B．C．D．6．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）第30页（共30页） A．66°B．60°C．57°D．48°7．（3分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）A．△AEDB．△ABDC．△BCDD．△ACD8．（3分）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（　　）A．①③B．②③C．②④D．①④二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣1℃，则这天的日温差是　　℃．第30页（共30页） 10．（3分）“我的连云港”APP是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注册用户超过1600000人．数据“1600000”用科学记数法表示为　　．11．（3分）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A的坐标为　　．12．（3分）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是　　．13．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　　min．14．（3分）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　　cm．15．（3分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝　　°．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　　．第30页（共30页） 三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算（﹣1）2020+（）﹣1﹣．18．（6分）解方程组19．（6分）化简÷．20．（8分）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．测试成绩统计表等级频数（人数）频率优秀30a良好b0.45合格240.20不合格120.10合计c1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中a＝　　，b＝　　，c＝　　；（2）补全条形统计图；第30页（共30页） （3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？21．（10分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是　　；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．23．（10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B第30页（共30页） 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．（1）m＝　　，点C的坐标为　　；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．25．（12分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）第30页（共30页） 26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．27．（12分）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝　　；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF第30页（共30页） 的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．第30页（共30页） 2020年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）3的绝对值是（　　）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：|3|＝3，故选：B．2．（3分）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）A．B．C．D．【解答】解：从正面看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（　　）A．2x+3y＝5xyB．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣4【解答】解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故本选项符合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项不合题意．故选：B．4．（3分）“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（　　）A．中位数B．众数C．平均数D．方差第30页（共30页） 【解答】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．故选：A．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）A．B．C．D．【解答】解：解不等式2x﹣1≤3，得：x≤2，解不等式x+1＞2，得：x＞1，∴不等式组的解集为1＜x≤2，表示在数轴上如下：故选：C．6．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）A．66°B．60°C．57°D．48°【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；故选：C．7．（3分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）第30页（共30页） A．△AEDB．△ABDC．△BCDD．△ACD【解答】解：∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，∴点O是△ACD的外心，故选：D．8．（3分）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（　　）A．①③B．②③C．②④D．①④【解答】解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（km/h），相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（km/h），则快车的速度为100km/h，所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；88+180×（5﹣3.6）＝340（km），第30页（共30页） 所以图中a＝340，故③结论正确；（360﹣2×80）÷80＝2.5（h），5﹣2.5＝2.5（h），所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故选：B．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣1℃，则这天的日温差是　5　℃．【解答】解：4﹣（﹣1）＝4+1＝5．故答案为：5．10．（3分）“我的连云港”APP是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注册用户超过1600000人．数据“1600000”用科学记数法表示为　1.6×106　．【解答】解：数据“1600000”用科学记数法表示为1.6×106，故答案为：1.6×106．11．（3分）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A的坐标为　（15，3）　．【解答】解：如图，∵顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），∴MN∥x轴，MN＝9，BN∥y轴，第30页（共30页） ∴正方形的边长为3，∴BN＝6，∴点B（12，3），∵AB∥MN，∴AB∥x轴，∴点A（15，3）故答案为（15，3）．12．（3分）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是　﹣26　．【解答】解：把x＝2代入程序中得：10﹣22＝10﹣4＝6＞0，把x＝6代入程序中得：10﹣62＝10﹣36＝﹣26＜0，∴最后输出的结果是﹣26．故答案为：﹣26．13．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　3.75　min．【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．14．（3分）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　5　cm．【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5（cm）．第30页（共30页） 故答案为：5．15．（3分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝　48　°．【解答】解：延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4＝＝108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°，故答案为：48．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A第30页（共30页） ，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　2　．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE＝＝5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴＝，第30页（共30页） ∴＝，∴MN＝，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值＝×5×（﹣1）＝2，故答案为2．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算（﹣1）2020+（）﹣1﹣．【解答】解：原式＝1+5﹣4＝2．18．（6分）解方程组【解答】解：把②代入①，得2（1﹣y）+4y＝5，解得y＝．把y＝代入②，得x＝﹣．∴原方程组的解为．19．（6分）化简÷．【解答】解：原式＝•＝•＝．20．（8分）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．测试成绩统计表第30页（共30页） 等级频数（人数）频率优秀30a良好b0.45合格240.20不合格120.10合计c1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中a＝　0.25　，b＝　54　，c＝　120　；（2）补全条形统计图；（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？【解答】解：（1）本次抽取的学生有：24÷0.20＝120（人），a＝30÷120＝0.25，b＝120×0.45＝54，c＝120，故答案为：0.25，54，120；（2）由（1）知，b＝54，补全的条形统计图如右图所示；（3）2400×（0.45+0.25）＝1680（人），答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有1680人．第30页（共30页） 21．（10分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是　　；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．【解答】解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为；故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，第30页（共30页） ∴P（化学生物）＝＝．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．23．（10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：第30页（共30页） （1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．【解答】解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，依题意，得：×＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝180．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，∴m＝16﹣n．又∵n≥10，且m，n均为正整数，∴，，∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．（1）m＝　6　，点C的坐标为　（2，0）　；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．第30页（共30页） 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），∴m＝＝6，∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．∴C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，x﹣）（0＜x≤4），∵DE∥y轴，∴E（x，），∴S△ODE＝x•（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．25．（12分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．第30页（共30页） （1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）【解答】解：（1）如图1中，连接OA．由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，在Rt△ACO中，cos∠AOC＝＝＝．∴∠AOC＝43°，∴＝27.4（秒）．答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，第30页（共30页） ∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，过点P作PD⊥OC于D，在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×＝1.5（m），2.2﹣1.5＝1.7（m），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面1.7m．（3）如图3中，∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，∴∠POM＝68°，在Rt△COM中，cos∠COM＝＝＝，∴∠COM＝74°，∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，∴需要的时间为＝7.6（秒），答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．第30页（共30页） （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）第30页（共30页） （3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点D（，﹣），由题意，∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，＝＝，设Q（x，x2﹣x﹣2），则P（，x2﹣x﹣2），∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣，∵PD＝2QP，第30页（共30页） ∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，）．②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得QO＝2PD，x﹣＝x2﹣3x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，﹣）．第二种情形：当∠DQP＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，∴＝＝，由图3﹣1可知，M（，），Q（，），∴MD＝8，MQ＝4，第30页（共30页） ∴DQ＝4，由＝，可得PD＝10，∵D（，﹣）∴P（，）．②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．同法可得M（，﹣），Q（，﹣），∴DM＝，QM＝1，QD＝，由＝，可得PD＝，∴P（，﹣）．27．（12分）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝　12　；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD第30页（共30页） 上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．【解答】解：（1）如图1中，过点P作PM⊥AD于M，交BC于N．∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形，∴BE＝PN＝CF＝2，S△PFC＝×PF×CF＝6，S△AEP＝S△APM，S△PEB＝S△PBN，S△PDM＝S△PFD，S△PCN＝S△PCF，S△ABD＝S△BCD，∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF，∴S1＝S2＝6，∴S1+S2＝12，故答案为12．第30页（共30页） （2）如图2中，连接PA，PC，在△APB中，∵点E是AB的中点，∴可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝a+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG＝a+b+c+d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2，∴S△ABD＝S平行四边形ABCD＝S1+S2，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD，∴S△ABD＝S平行四边形ABCD＝（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）＝（S1+S2）+S△EBP+S△HPD，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）＝（S2﹣S1）．（4）如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．理由：设线段PB，线段PA，AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y．由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3，∴x﹣y＝S3﹣S4，∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．同法可证：图4﹣2中，有结论：S1﹣S＝S3+S4．图4﹣3中和图4﹣4中，有结论：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．第30页（共30页） 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