2021年江苏省常州市中考数学试卷

2021年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）的倒数是（　　）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（2分）计算（m2）3的结果是（　　）A．m5B．m6C．m8D．m93．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球4．（2分）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（　　）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形5．（2分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）第32页（共32页） A．20°B．25°C．30°D．35°6．（2分）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（　　）A．B．C．D．7．（2分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜18．（2分）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设y2（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（　　）A．B．第32页（共32页） C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）化简：＝　　．10．（2分）计算：2a2﹣（a2+2）＝　　．11．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝　　．12．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为　　．13．（2分）数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，则点　　离原点的距离较近（填“A”或“B”）．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是　　．15．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　　°．第32页（共32页） 16．（2分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是　　．17．（2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝　　．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是　　．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）第32页（共32页） 19．（6分）计算：﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．20．（8分）解方程组和不等式组：（1）；（2）．21．（8分）为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．（1）本次调查的样本容量是　　；（2）补全条形统计图；（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是　　；（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．23．（8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．（1）求证：△ABC≌△DEF；第32页（共32页） （2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是　　．24．（8分）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点A（﹣4，0），AB＝2BC．（1）求b、k的值；（2）求△AOC的面积．26．（10分）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；第32页（共32页） ②比较大小：CE　　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．①当m＝1，n＝2时，l＝　　；当m＝3，n＝3时，l＝　　；②通过归纳猜想，可得l的最小值是　　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是　　（填“B”、“C”或“D”）；②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是　　；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．第32页（共32页） 28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．（1）填空：k＝　　，b＝　　；（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．第32页（共32页） 2021年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）的倒数是（　　）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：的倒数是2，故选：A．2．（2分）计算（m2）3的结果是（　　）A．m5B．m6C．m8D．m9【解答】解：（m2）3＝m2×3＝m6．故选：B．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球【解答】解：一个几何体的三视图都是圆，这个几何体是球．故选：D．4．（2分）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（　　）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形第32页（共32页） B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【解答】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．5．（2分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：∵∠AOC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，故选：C．6．（2分）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A．∵圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；B．∵圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；C．∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，第32页（共32页） ∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；D．∵圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，∴落在阴影区域的概率为：＝，故此选项符合题意；故选：D．7．（2分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故选：B．8．（2分）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设y2（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（　　）A．B．第32页（共32页） C．D．【解答】解：由商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化图得：商品的价格从5增长到15，然后保持15不变，一段时间后又下降到5，∴第1天到第t天该商品的平均价格变化的规律是先快后慢的增长，最后又短时间下降，但是平均价格始终小于15．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）化简：＝　3　．【解答】解：∵33＝27，∴；故答案为：3．10．（2分）计算：2a2﹣（a2+2）＝　a2﹣2　．【解答】解：原式＝2a2﹣a2﹣2＝a2﹣2，故答案为：a2﹣2．11．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝　（x+2y）（x﹣2y）　．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．12．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为　8.19×105　．【解答】解：819000＝8.19×105．第32页（共32页） 故答案是：8.19×105．13．（2分）数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，则点　　离原点的距离较近（填“A”或“B”）．【解答】解：数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，∵|﹣3|＝3，|2|＝2，3＞2，∴则点B离原点的距离较近．故答案为：B．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是　（3，0）　．【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC＝3，∴OA＝BC＝3，∵点A在x轴上，∴点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．15．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　100　°．【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵DE∥AB，∴∠A+∠AED＝180°，第32页（共32页） ∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100．16．（2分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是　12　．【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，∴DG+EH＝DE＝3，∴BC＝GH＝3+3＝6，∴△ABC的边BC上的高为4，∴S△ABC＝×6×4＝12，故答案为：12．17．（2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝　　．【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，第32页（共32页） ∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是　＜AD＜2　．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，∴AB＝2，设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直角边的交点，如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；第32页（共32页） 当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示，设圆的半径为r，即AF＝DF＝EF＝r，∵EF⊥BC，∠B＝30°，∴BF＝2EF＝2r，∴r+2r＝2，解得r＝；∴AD＝2r＝；综上，AD的长的取值范围为：＜AD＜2．故答案为：＜AD＜2．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）计算：﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．【解答】解：原式＝2﹣1﹣1+＝．20．（8分）解方程组和不等式组：（1）；第32页（共32页） （2）．【解答】解：（1），①+②，得：3x＝3，解得x＝1，将x＝1代入①，得：1+y＝0，解得y＝﹣1，则方程组的解为；（2）解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，解不等式x﹣2＜﹣x，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣2＜x＜1．21．（8分）为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．（1）本次调查的样本容量是　100　；（2）补全条形统计图；（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．【解答】解：（1）55÷55%＝100，故答案为：100；（2）完全了解的人数为：100×30%＝30（人），第32页（共32页） 较少了解的人数为：100﹣30﹣55﹣5＝10（人），补全条形统计图如下：（3）估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为：2000×30%＝600（人），答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为600人．22．（8分）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是　　；（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．【解答】解：（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，∴四边形ABCD一定是正方形的概率为＝．23．（8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．（1）求证：△ABC≌△DEF；第32页（共32页） （2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是　平行　．【解答】证明：（1）∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）①如图所示，△A′BC即为所求：②直线A′D与l的位置关系是平行，故答案为：平行．24．（8分）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，根据题意，得﹣＝5．第32页（共32页） 解得x＝2．经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点A（﹣4，0），AB＝2BC．（1）求b、k的值；（2）求△AOC的面积．【解答】解：（1）作CD⊥y轴于D，则△ABO∽△CBD，∴，∵AB＝2BC，∴AO＝2CD，∵点A（﹣4，0），∴OA＝4，∴CD＝2，∵点A（﹣4，0）在一次函数y＝x+b的图象上，∴b＝2，∴，当x＝2时，y＝＝3，∴C（2，3），第32页（共32页） ∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×3＝6；（2）作CE⊥x轴于E，S△AOC＝．26．（10分）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：CE　＞　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．①当m＝1，n＝2时，l＝　　；当m＝3，n＝3时，l＝　1　；②通过归纳猜想，可得l的最小值是　1　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．第32页（共32页） 【解答】解：（1）①如图1中，∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝AD•DB，∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，∴CD＝，∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴EC＝AB＝（a+b），②∵CD⊥AB，∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b）＞，∴a+b＞2，故答案为：＞．第32页（共32页） （2）①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1，故答案为：，1．②猜想：l的最小值为1．故答案为：1．理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，∴矩形JCOG的面积＞1，当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，∴矩形JCOG的面积≥1，∴•≥1，即l≥1，∴l的最小值为1．27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是　　（填“B”、“C”或“D”）；第32页（共32页） ②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是　（﹣2，0）　；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）如图1中，①如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，∵M（﹣2，0），B（2，0），∴OT＝OM＝OB＝2，∴△TBM是等腰直角三角形，∴在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是点B，故答案为：B．②取点T（0，﹣1），连接MT，PT，则△MTP是等腰直角三角形，∴线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．第32页（共32页） （2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，过点Q作QH⊥y轴于H，∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，∴∠MTO＝∠TQH，∵TM＝TQ，∴△MOT≌△THQ（AAS），∴QH＝TO＝﹣m，TH＝OM＝2，∴﹣2m+1＝2﹣m，∴m＝﹣1．如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m＝0，第32页（共32页） 观察图象可知，当﹣1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q（m，﹣2m+1），过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ（AAS），∴QH＝TO＝m，TH＝OM＝1，∴1﹣2m+1＝m，∴m＝．如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，第32页（共32页） 观察图象可知，当≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，综上所述，满足条件的m的值为﹣2≤m≤0或≤m≤1．解法二：在MN上任取一点Q'，然后作出Q‘的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q'的坐标是分别是（m﹣1，0）、（1﹣3m，0），再根据﹣2≤x≤﹣1可以求出m的取值范围．（3）如图3﹣1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，第32页（共32页） ∴∠HTQ＝∠GET，∵TQ＝TE，∴△THQ≌△EGT（AAS），∴QH＝TG＝﹣t，TH＝EG＝4，∵OH＝﹣2t+1，OG＝2，∴﹣2t+1﹣4＝2+t，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）．如图3﹣2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，∴∠HTQ＝∠GET，∵TQ＝TE，∴△THQ≌△EGT（AAS），∴QH＝TG＝t，TH＝EG＝4，第32页（共32页） ∵OH＝2t﹣1，OG＝2，∴2t﹣1﹣4＝t﹣2，∴t＝3，∴Q（3，﹣5）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣，）或（3，﹣5）．28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．（1）填空：k＝　　，b＝　1　；（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，3），∴3＝4k，∴k＝，∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（4，3），∴3＝﹣×42+4b+3，∴b＝1，故答案为：，1．第32页（共32页） （2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．∵四边形DEGF是平行四边形，∴∠G＝∠EDF∵∠EGF＝∠EFD，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∵EP⊥DF，∴PD＝PF，∵D（t，t），∴OD＝AE＝t，∵AC⊥AB，∴∠OAC＝90°，∴tan∠AOC＝，∵OA＝＝5，∴AC＝OA•tan∠AOC＝，OC＝AC×＝，∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，∵tan∠ACO＝，∴点E的纵坐标为3﹣t，第32页（共32页） ∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，∴＝3﹣t，解得t＝或（舍弃）．∴满足条件的t的值为．（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，设PF交AB于J，∵AC⊥AB，PF⊥AB，∴PJ∥AE，∴DJ：AJ＝DP：PE＝2，∵D（t，t），F（t，﹣t2+t+3），∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+3﹣t＝﹣t2+t+3，∴DJ＝DF＝﹣t2+t+，AJ＝DJ＝﹣t2+t+，∵OA＝5，∴t﹣t2+t+﹣t2+t+＝5，整理得9t2﹣59t+92＝0，第32页（共32页） 解得t＝或4（舍弃），∴OD＝t＝．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/1014:37:37；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第32页（共32页）