2021年湖南省张家界市中考数学试卷

2021年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）A．2021B．﹣2021C．D．2．（3分）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学记数法表示为（　　）A．0.7×109B．0.7×108C．7×108D．7×1093．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（　　）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2+x3＝x5B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．（x2）3＝x6D．x6÷x3＝x25．（3分）某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（　　）A．总体是该校4000名学生的体重B．个体是每一个学生C．样本是抽取的400名学生的体重D．样本容量是4006．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为（　　）第22页（共22页） A．B．C．D．7．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根8．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（　　）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）已知方程2x﹣4＝0，则x＝　　．10．（3分）如图是张家界市某周每天最高气温的折线统计图，则这7天的最高气温的中位数是　　℃．第22页（共22页） 11．（3分）如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2＝64°，则∠3＝　　．12．（3分）不等式的正整数解为　　．13．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∠BOD＝　　．14．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为　　．第22页（共22页） 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.）15．（5分）计算：．16．（5分）先化简÷+，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．17．（6分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？18．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．19．（8分）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图．第22页（共22页） 根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生总人数共有　　；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是　　；（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率．20．（6分）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若OB＝2，求弧CD的长．21．（6分）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）第22页（共22页） 22．（6分）阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝　　，f（4）＝　　；（2）猜想f（x）＝（x＞0）是　　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．23．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．第22页（共22页） 第22页（共22页） 2021年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）A．2021B．﹣2021C．D．【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，故选：A．2．（3分）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学记数法表示为（　　）A．0.7×109B．0.7×108C．7×108D．7×109【解答】解：700000000＝7×108，故选：C．3．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（　　）A．B．C．D．【解答】解：从上面看，是一个带圆心的圆，故选：D．4．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2+x3＝x5B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．（x2）3＝x6D．x6÷x3＝x2【解答】解：A．x2与x3不是同类项，故不符合题意；B．原式＝x2﹣2xy+y2，故不符合题意；C．原式＝x6，故符合题意；第22页（共22页） D．原式＝x3，故不符合题意；故选：C．5．（3分）某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（　　）A．总体是该校4000名学生的体重B．个体是每一个学生C．样本是抽取的400名学生的体重D．样本容量是400【解答】解：A．总体是该校4000名学生的体重，说法正确，故A不符合题意；B．个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故B符合题意；C．样本是抽取的400名学生的体重，说法正确，故C不符合题意；D．样本容量是400，说法正确，故D不符合题意．故选：B．6．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为（　　）A．B．C．D．【解答】解：不妨设正方形面积S＝1，则正方形边长为1，∴内切圆直径d＝1，r＝，∴S圆＝πr2＝π，根据圆的对称性得：黑色部分面积S1＝S圆＝π，∴S1：S＝＝，故选：A．7．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×第22页（共22页） 2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【解答】解：∵1☆x＝2，∴1•x2﹣1•x＝2，∴x2﹣x﹣2＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．故选：D．8．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，﹣＞0，c＞0，∴b＞0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限．第22页（共22页） 故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）已知方程2x﹣4＝0，则x＝　2　．【解答】解：2x﹣4＝0，2x＝4，x＝2，故答案为：2．10．（3分）如图是张家界市某周每天最高气温的折线统计图，则这7天的最高气温的中位数是　26　℃．【解答】解：根据7天的最高气温折线统计图，将这7天的最高气温按大小排列为：20，22，24，26，28，28，30，故中位数为26℃，故答案为：26．11．（3分）如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2＝64°，则∠3＝　58°　．【解答】解：如图，第22页（共22页） ∵AB∥CD，∠2＝64°，∴∠4＝∠2＝64°，∵∠3+∠1+∠4＝180°，∴∠3+∠1＝180°﹣∠4＝116°，∵BC是∠ABD的平分线，∴∠3＝∠1＝×116°＝58°，故答案为：58°．12．（3分）不等式的正整数解为　3　．【解答】解：解不等式2x+1≤7，得：x≤3，所以不等式组的解集为2＜x≤3，则不等式组的正整数解为3，故答案为：3．13．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∠BOD＝　50°　．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝100°．∵OB＝OC，∴△OBC为等腰三角形，又∵D为BC中点，∴OD为BC上中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝50°．故答案为：50°14．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE第22页（共22页） 的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为　①②④　．【解答】解：①∵DP⊥DE，∴∠PDE＝90°．∴∠PDC+∠CDE＝90°，∵在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝90°，AD＝CD，∴∠CDE＝∠ADP．在△APD和△CED中，，∴△APD≌△CED（SAS），故①正确；②∵△APD≌△CED，∴∠APD＝∠CED，又∵∠APD＝∠PDE+∠DEP，∠CED＝∠CEA+∠DEP，∴∠PDE＝∠CEA＝90°．即AE⊥CE，故②正确；③过点C作CF⊥DE的延长线于点F，如图，∵DE＝DP，∠PDE＝90°，∴∠DPE＝∠DEP＝45°．又∵∠CEA＝90°，∴∠CEF＝∠FCE＝45°．∵DP＝DE＝1，∴PE＝＝．第22页（共22页） ∴CE＝＝＝2，∴CF＝EF＝＝，即点C到直线DE的距离为，故③错误；④∵CF＝EF＝，DE＝1，在Rt△CDF中，CD2＝CF2+DF2＝＝2+3+＝，∴S正方形ABCD＝，故④正确．综上所述，正确结论的序号为①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.）15．（5分）计算：．【解答】解：原式＝＝．16．（5分）先化简÷+，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．【解答】解：原式＝•+＝a+a＝2a，∵a＝0，1，2时分式无意义，∴a＝3，当a＝3时，原式＝2×3＝6．第22页（共22页） 17．（6分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x1＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．答：预计6月份的参观人数为13.31万人．18．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEO＝∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≅△COF（AAS）；（2）当α＝90°时，四边形AFCE为菱形，第22页（共22页） 理由：∵△AOE≅△COF，∴OE＝OF，又∵AO＝CO，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵∠AOE＝90°，∴四边形AFCE为菱形．19．（8分）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生总人数共有　50人　；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是　72°　；（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）本次抽取的学生总人数共有：20÷40%＝50（人），故答案为：50人；（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣16＝4（人），条形统计图补全如下：第22页（共22页） （3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是：360°×＝72°，故答案为：72°；（4）列表如下：男1男2男3女男1男1，男2男1，男3男1，女男2男2，男1男2，男3男2，女男3男3，男1男3，男2男3，女女女，男1女，男2女，男3共有12种等可能的结果，抽取的两位学生恰好是一男一女的结果有6种，∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率为＝．20．（6分）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若OB＝2，求弧CD的长．【解答】解：（1）连接OD，∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，第22页（共22页） ∴∠AOB＝60°，又∵CD∥AO，∴∠C＝∠AOB＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，又∵OB＝OD，AO＝AO，∴△AOB≅△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，又∵点D在⊙O上，∴AD是⊙O的切线；（2）由题意得，⊙O的半径OB＝2＝OC，∠COD＝60°，根据弧长公式可得，＝．21．（6分）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图，根据题意得∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝320m，第22页（共22页） ∵∠CAB＝∠CAM﹣∠BAM＝60°﹣30°＝30°，∴∠B＝∠BAC，∴CA＝CB＝320m，在Rt△ACD中，∠DCA＝60°，∴sin∠ACD＝，即sin∠60°＝，∴AD＝320×＝160≈277（m）．答．观测点A到桥面BC的距离是277米．22．（6分）阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝　　，f（4）＝　　；（2）猜想f（x）＝（x＞0）是　减　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．第22页（共22页） 【解答】解：（1），，故答案为，；（2）猜想：是减函数，证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，则＝，∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数是减函数，故答案为减．23．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），第22页（共22页） 将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的函数表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABC是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．方法2：∵△ABC的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴|OB|＝|8﹣0|＝8，|OA|＝＝＝，|AB|＝＝＝，且满足|OB|2＝|OA|2+|AB|2，∴△ABC是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝|AP|+|PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，第22页（共22页） 满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO和△PDO，∴＝＝2，从而得：|PD|＝|AP|，∴t＝|AP|+|PB＝|PD|+|PB|，∴当B、P、D三点共线时，|PD|+|PB|取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝|DB|＝＝＝5．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/38:06:00；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第22页（共22页）