2021年湖南省郴州市中考数学试卷

2021年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）A．a＞bB．|a|＞|b|C．ab＞0D．a+b＞02．（3分）下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．3．（3分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（　　）A．0.7×108mB．7×10﹣8mC．0.7×10﹣8mD．7×10﹣9m4．（3分）下列运算正确的是（　　）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b25．（3分）下列说法正确的是（　　）A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上6．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）A．2B．6C．﹣2D．﹣6第30页（共30页） 7．（3分）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（　　）A．B．C．D．8．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）使有意义的x的取值范围是　　．10．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是　　．第30页（共30页） 11．（3分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为　　分．12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为　　度．13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　　．14．（3分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　　m．15．（3分）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是　　cm2（结果用含π的式子表示）．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为　　．第30页（共30页） 三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．19．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．20．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．第30页（共30页） 根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机采访了　　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为　　度；（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．21．（8分）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）22．（8分）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．第30页（共30页） （1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．24．（10分）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：x…4.05.05.56.57.5…y…8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；第30页（共30页） （3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？26．（12分）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．第30页（共30页） 第30页（共30页） 2021年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）A．a＞bB．|a|＞|b|C．ab＞0D．a+b＞0【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故A项不符合题意；B．由数轴可知|a|＞|b|，故B项符合题意；C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故C项不符合题意；D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故D项不符合题意．故选：B．2．（3分）下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：B．3．（3分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（　　）A．0.7×108mB．7×10﹣8mC．0.7×10﹣8mD．7×10﹣9m第30页（共30页） 【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，∴7nm＝7×10﹣9m．故选：D．4．（3分）下列运算正确的是（　　）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b2【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A选项不符合题意；B．（a3）2＝a6，故B选项不符合题意；C．，故C选项符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D选项不符合题意；故选：C．5．（3分）下列说法正确的是（　　）A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上【解答】解：A．明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；C．某彩票中奖概率是1%，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．故选：B．6．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）A．2B．6C．﹣2D．﹣6【解答】解：，①+②，得3x﹣3y＝6，第30页（共30页） 两边都除以3得：x﹣y＝2，故选：A．7．（3分）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（　　）A．B．C．D．【解答】解：该组合体的俯视图如下：故选：D．8．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　）A．B．第30页（共30页） C．D．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：边长为4的菱形，ABCD中，∠A＝60°，∴AB＝AD＝BC＝4，∴∠ABE＝30°，∴AE＝2，BE＝2，当点P从点A运动到点B时，过点P作PF⊥AD于点F，则AP＝x，AF＝x，PF＝x，S△ADP＝•AD•PF＝•x＝x，∴△ADP的面积逐渐增大；当在线段BC上时，S△ADP＝•AD•BE＝×2＝4，∴△ADP的面积保持不变；当点P在线段CD上时，如图，过点P作PM⊥AD交AD的延长线于点M，第30页（共30页） 则AB+BC+CP＝x，则DP＝12﹣x，DM＝6﹣x，PM＝DM＝6﹣x，S△ADP＝•AD•PM＝×（6﹣x）＝12﹣x，∴△ADP的面积逐渐减小．故选：A．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）使有意义的x的取值范围是　x＞0　．【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，解得：x＞0．故答案为：x＞0．10．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是　m＜3　．【解答】解：比例函数y＝图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，∴m﹣3＜0，∴m＜3．故答案为：m＜3．11．（3分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为　89　分．【解答】解：选手甲的最终得分为：＝＝89（分）．故答案为：89．12．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为　720　度．第30页（共30页） 【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，∴它的边数为：360°÷60°＝6，∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°，故答案为：720．13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　　．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4m＝0，解得：m＝．故答案为：．14．（3分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　1.2　m．【解答】解：∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2．15．（3分）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是　180π　cm2（结果用含π的式子表示）．第30页（共30页） 【解答】解：这张扇形纸板的面积＝×2π×10×18＝180π（cm2）．故答案为180π．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为　　．【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sinA＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，第30页（共30页） ∴sin∠ABD＝，∴DP＝，∴PC+PB＝PC+PD，即点C、P、D三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，∵S△ABC＝，∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣2）+2×＝1﹣2+2+2＝3．18．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝，第30页（共30页） 当a＝时，原式＝＝．19．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（SSS），∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC，∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．20．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．第30页（共30页） 根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机采访了　200　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为　198　度；（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，故答案为：200，198；（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），补全图形如下：（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；第30页（共30页） （4）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．21．（8分）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）【解答】解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：则四边形AMBN是矩形，∴AN＝BM，BN＝MA，∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝，∴设BM＝x米，则AM＝2x米，∴AB＝＝＝x＝105，∴x＝21，∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，第30页（共30页） ∴△BCN是等腰直角三角形，∴AN＝BN＝42（米），∴AC＝AN+CN＝21+42＝63≈141.1（米），答：观光电梯AC的高度约为141.1米．22．（8分）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，由题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，则x﹣25＝15，答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，由题意得：，解得：22.5≤m≤25，∵m为正整数，∴m的值为23，24，25，第30页（共30页） ∴有三种方案：①购买A种奖品23件，B种奖品77件；②购买A种奖品24件，B种奖品76件；③购买A种奖品25件，B种奖品75件．23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE＝OD＝5，∴CE＝OE﹣OC＝5﹣5．第30页（共30页） 24．（10分）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：x…4.05.05.56.57.5…y…8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？【解答】解：（1）第30页（共30页） （2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，得，解得，∴y＝﹣2x+16，∵y≥0，∴﹣2x+16≥0，解得x≤8，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；（3）①P＝（x﹣2）y＝（x﹣2）（﹣2x+16）＝﹣2x2+20x﹣32，即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x2+20x﹣32（x≤8）；②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，∴x≤2×200%，即x≤4，由题意得P＝10，∴﹣2x²+20x﹣32＝10，解得x1＝3，x2＝7，∵x≤4，∴此时销售单价为3元．第30页（共30页） 25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，第30页（共30页） ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG＝∠AEH＝45°，∴∠HFG＝45°+45°＝90°；②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，∵AQ＝QG，∴∠QAG＝∠AGQ，∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，∴∠QAH＝∠AHQ，∴AQ＝QH＝QG，∵AH＝AG，∴AQ⊥GH，∵∠AFG＝∠AFH＝45°，第30页（共30页） ∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，∴四边形AHFG是正方形，∵AC＝4，∴AF＝2，∴FG＝EH＝，∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，∴EH＝AE＝2，∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．26．（12分）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．第30页（共30页） 【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，第30页（共30页） ∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，∴S△PEF＝PE•EF＝PE2，∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），第30页（共30页） ∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．第30页（共30页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/413:55:02；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第30页（共30页）