2021年湖北省随州市中考数学试卷

2021年湖北省随州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（3分）2021的相反数是（　　）A．﹣2021B．2021C．D．﹣2．（3分）从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（　　）A．5.7×106B．57×106C．5.7×107D．0.57×1083．（3分）如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为（　　）A．15°B．25°C．35°D．45°4．（3分）下列运算正确的是（　　）A．a﹣2＝﹣a2B．a2+a3＝a5C．a2•a3＝a6D．（a2）3＝a65．（3分）如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（　　）A．测得的最高体温为37.1℃B．前3次测得的体温在下降C．这组数据的众数是36.8D．这组数据的中位数是36.66．（3分）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（　　）第32页（共32页） A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．三个视图均相同7．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）A．B．C．D．8．（3分）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（　　）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米9．（3分）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（　　）A．100B．121C．144D．16910．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A第32页（共32页） （﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11．（3分）计算：|﹣1|+（π﹣2021）0＝　　．12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为　　．13．（3分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　　．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为　　．（结果保留π）15．（3分）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机第32页（共32页） “祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…现已知＜＜，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为　　．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为　　；若CE＝CF，则的值为　　．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝1．18．（7分）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）证明四边形BEDF是菱形．第32页（共32页） 19．（10分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：已接种未接种合计七年级301040八年级3515a九年级40b60合计105c150（1）表中，a＝　　，b＝　　，c＝　　；（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是　　年级教师；（填“七”或“八”或“九”）（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有　　人；（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．20．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD，求△BOD的面积．21．（9分）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．第32页（共32页） （1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的直径AB为9，sinA＝．①求线段BF的长；②求线段BE的长．22．（10分）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？23．（11分）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为　　，其内切圆的半径长为　　；第32页（共32页） （2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝　　；（结果用含a的式子表示）②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为　　；（结果保留π）②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q第32页（共32页） 的坐标．第32页（共32页） 2021年湖北省随州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（3分）2021的相反数是（　　）A．﹣2021B．2021C．D．﹣【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．故选：A．2．（3分）从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（　　）A．5.7×106B．57×106C．5.7×107D．0.57×108【解答】解：5700万＝57000000＝5.7×107，故选：C．3．（3分）如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为（　　）A．15°B．25°C．35°D．45°【解答】解：过三角形的60°角的顶点F作EF∥AB，∴∠EFG＝∠1＝45°，∵∠EFG+∠EFH＝60°，∴∠EFH＝60°﹣∠EFG＝60°﹣45°＝15°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠EFH＝15°，故选：A．第32页（共32页） 4．（3分）下列运算正确的是（　　）A．a﹣2＝﹣a2B．a2+a3＝a5C．a2•a3＝a6D．（a2）3＝a6【解答】解：A．a﹣2＝﹣，故本选项不合题意；B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；故选：D．5．（3分）如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（　　）A．测得的最高体温为37.1℃B．前3次测得的体温在下降C．这组数据的众数是36.8D．这组数据的中位数是36.6【解答】解：由拆线统计图可以看出这7次的体温数据从第1次到第7次分别为37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．A、测得的最高体温为37.1℃，故A不符合题意；B、观察可知，前3次的体温在下降，故B不符合题意；C、36.8℃出现了2次，次数最高，故众数为36.8℃，故C不符合题意；D、这七个数据排序为36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃．中位数为36.8℃．故D符合题意．故选：D．第32页（共32页） 6．（3分）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（　　）A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．三个视图均相同【解答】解：如图所示：故该组合体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，故选：A．7．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）A．B．C．D．【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形连长分别为2cm、cm．∴大正方形的边长为＝3（cm）．则大正方形的面积为＝27，阴影部分的面积为27﹣12﹣3＝12（cm2）．则米粒落在图中阴影部分的概率为＝．故选：A．第32页（共32页） 8．（3分）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（　　）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故选：C．9．（3分）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（　　）A．100B．121C．144D．169【解答】解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，∵q＝143，∴（n+1）2﹣1＝143，解得：n＝11，∴p＝n2＝112＝121，第32页（共32页） 故选：B．10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，∴C（0，c），B（﹣2c，0）．由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0．①：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，∴．故①错误；②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，∴4ac﹣2b+1＝0，即2b﹣4ac＝1，故②正确；③：∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，0），∴x1＝﹣2和x2＝﹣2c为相应的一元二次方程的两个根，由韦达定理可得：x1•x2＝＝（﹣2）×（﹣2c）＝4c，∴a＝．故③正确；④：如图，第32页（共32页） ∵a＝，2b﹣4ac＝1，∴c＝2b﹣1．故原抛物线解析式为y＝x2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣2b，﹣b2+2b﹣1）．∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．∴对称轴为直线x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，∵△APB为等腰直角三角形，∴PQ＝＝[2﹣4b﹣（﹣2）]＝2﹣2b，∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，整理得：b2＞1，解得：b＞1或b＜﹣1，这与﹣1＜b＜0矛盾，故④错误．综上所述，正确的有②③，一共2个，故选：B．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11．（3分）计算：|﹣1|+（π﹣2021）0＝　　．【解答】解：|﹣1|+（π﹣2021）0＝﹣1+1＝．故答案为：．12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为　40°　．第32页（共32页） 【解答】解：连接BD，如图．∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∵∠C与∠ADB所对的弧为，∴∠ADB＝∠C＝50°．∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．故答案为：40°．13．（3分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　　．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，∴+＝＝＝3．解得k＝．经检验，k＝是原方程的解．故答案为：．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为　π　．（结果保留π）第32页（共32页） 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴∠BAC＝60°，cos∠ABC＝，∴AB＝3，∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，∴点B所经过的路径长＝＝π，故答案为：π．15．（3分）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…现已知＜＜，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为　　．【解答】解：∵，∴利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，∵且，∴，第32页（共32页） ∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：．故答案为：．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为　　；若CE＝CF，则的值为　　．【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴OA＝OC＝OB，∵OD平分∠AOC，∴OG⊥AC，且点G为AC的中点，∴OG∥BC，且OG＝BC，即＝；②∵OD＝OA，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵OG⊥AC，∴∠DGE＝90°，∴∠GDE+∠DEG＝90°，∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠CEF＝∠DEG，∠CFE＝∠OFB，∠ODB＝∠OBD，∴∠OFB+∠OBD＝90°，∴∠FOB＝90°，即CO⊥AB，∴△OBA是等腰直角三角形，∴BC：OB＝；由（1）知，OG∥BC第32页（共32页） ∴△BCF∽△DOF，∴＝＝＝．故答案为：；．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝1．【解答】解：（1+）÷＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝﹣2．18．（7分）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）证明四边形BEDF是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如图，连接BD，交AC于O，第32页（共32页） ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形．19．（10分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：已接种未接种合计七年级301040八年级3515a九年级40b60合计105c150（1）表中，a＝　50　，b＝　20　，c＝　45　；（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是　七　年级教师；（填“七”或“八”或“九”）（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有　2400　人；（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．【解答】解：（1）a＝35+15＝50，b＝60﹣40＝20，c＝10+15+20＝45，第32页（共32页） 故答案为：50，20，45；（2）七年级教师的接种率为：30÷40×100%＝75%，八年级教师的接种率为：35÷50×100%＝70%，九年级教师的接种率为：40÷60×100%≈67%，∵75%＞70%＞67%，∴统计的教师中接种率最高的是七年级教师，故答案为：七；（3）根据抽样结果估计未接种的教师约有：8000×＝2400（人），故答案为：2400；（4）把七年级1名教师记为A，八年级1名教师记为B，九年级2名教师记为C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，选中的两名教师恰好不在同一年级的结果有10种，∴选中的两名教师恰好不在同一年级的概率为＝．20．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD，求△BOD的面积．【解答】解：（1）由y2＝过点C（1，2）和D（2，n）可得：第32页（共32页） ，解得：，故y2＝，又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得：，解得，故y1＝﹣x+3．（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），故OB＝3，而点D到y轴的距离为2，∴S△BOD＝＝3．21．（9分）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的直径AB为9，sinA＝．①求线段BF的长；②求线段BE的长．【解答】解：（1）证明：连接OD，如图，第32页（共32页） ∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∵BC⊥DE，∴OD∥BC．∴∠ODA＝∠C．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A．∴∠A＝∠C．∴AB＝BC．（2）①连接BD，则∠ADB＝90°，如图，在Rt△ABD中，∵sinA＝，AB＝9，∴BD＝3．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，∴∠A＝∠FDB．∴sin∠A＝sin∠FDB．在Rt△BDF中，∵sin∠BDF＝＝，∴BF＝1．第32页（共32页） ②由（1）知：OD∥BF，∴△EBF∽△EOD．∴．即：．解得：BE＝．22．（10分）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【解答】解：（1）b═，c═1．（2）由y══，可知当x═时，y有最大值，故大棚最高处到地面的距离为米；（3）令y═，则有═，解得x1═，x2═，第32页（共32页） 又∵0≤x≤6，∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣═（米），又大棚的长为16米，∴需要搭建支架部分的土地面积为16×═88（平方米），故共需要88×4═352（根）竹竿，答：共需要准备352根竹竿．23．（11分）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为　　，其内切圆的半径长为　1　；（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝　　；（结果用含a的式子表示）②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为　　；（结果保留π）②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF第32页（共32页） 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由【解答】解：（1）如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，设斜边上高为h，由等面积法可知：AC•BC＝h•AB，＝．设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．即3×4÷2＝AC•r+BC•r+AB•r，即＝6，∴r＝＝＝1．故答案为：，1；（2）①：由已知中图可知，△ABC的面积为＝，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，解得：h1+h2+h3＝．故答案为：．②：类比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五边形ABCDE，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，如图2．易知S五边形ABCDE＝5S△OAB，过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB＝＝108°，故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ•tan54°＝，第32页（共32页） 故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，从而得到：h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．（3）①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，∴S△OCB＝S△ACB．∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°，又OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，∴△OCB为等边三角形．∴∠COB＝60°，∴S扇形OCB＝＝．故阴影部分面积为．故答案为：．②如图3，连接DF，过点E作EG∥DF交AF的延长线于点G，则点G即为所求．连接DG，∵S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDEF+S△DEF，∵EG∥DF，∴S△DEF＝S△DGF，∴S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DGF＝S五边形ABCDG．第32页（共32页） 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，第32页（共32页） ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝，∴E（，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝OG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），第32页（共32页） ∴FG＝OE＝，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣＝，∴F（3，﹣），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P2（，﹣），综上所述，符合条件的P点坐标为：P1（4，5），P2（，﹣）；（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，第32页（共32页） 解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣t，t﹣3），∴|t﹣3|＝|t﹣（﹣t）|，解得：t＝﹣9或，∴M1（，﹣），Q1（，﹣）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵N（t，0），∴Q（﹣1，0），∴|t﹣3|＝|t﹣（﹣1）|，解得：t＝1，∴M3（1，﹣2），Q3（﹣1，0）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，∴Q（﹣，），∴|t﹣3|＝2|t﹣（﹣）|，解得：t＝﹣3或，∴M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（，﹣），Q5（﹣，﹣）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：M1（，﹣），Q1（，﹣）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；M3（1，﹣2），Q3第32页（共32页） （﹣1，0）；M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（，﹣），Q5（﹣，﹣）．第32页（共32页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/2812:28:34；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第32页（共32页）