2021年湖北省十堰市中考数学试卷

2021年湖北省十堰市中考数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.1．﹣的相反数是（　　）A．﹣2B．2C．D．﹣2．如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（　　）A．87°B．23°C．67°D．90°3．由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（　　）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（　　）A．a3•a3＝2a3B．（﹣2a）2＝4a2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣25．某校男子足球队的年龄分布如下表：年龄131415161718人数268321则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　）A．8，15B．8，14C．15，14D．15，156．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝50D．﹣＝507．如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（　　）A．（15+）mB．5mC．15mD．（5+）m8．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD第21页（共21页） ＝3，则BC＝（　　）A．2B．3C．3D．49．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（　　）A．2025B．2023C．2021D．201910．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上，则D点纵坐标为（　　）A．B．C．D．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为　　．12．已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝　　．13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　　．14．对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为　　．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是　　．第21页（共21页） 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是　　．三、解答题（本题有9个小题，共72分）17．（5分）计算：cos45°+（）﹣1﹣|﹣3|．18．（5分）化简：（﹣）÷．19．（9分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．等级成绩（x）人数A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018Dx＜707根据图表信息，回答下列问题：（1）表中a＝　　；扇形统计图中，C等级所占的百分比是　　；D等级对应的扇形圆心角为　　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有　　人；（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．21．（7分）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．第21页（共21页） 22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．23．（9分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x（天）13610…　日销量m（kg）142138132124…（1）填空：m与x的函数关系为　　；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．24．（10分）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M第21页（共21页） ，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．第21页（共21页） 2021年湖北省十堰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.1．﹣的相反数是（　　）A．﹣2B．2C．D．﹣【解答】解：﹣的相反数是．故选：C．2．如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（　　）A．87°B．23°C．67°D．90°【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝55°，∴∠C＝∠1＝55°，∵∠3＝∠2+∠C，∠2＝32°，∴∠3＝32°+55°＝87°，故选：A．3．由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（　　）A．B．C．D．【解答】解：从上面看，底层有3个正方形，上层右边有一个正方形．故选：A．4．下列计算正确的是（　　）A．a3•a3＝2a3B．（﹣2a）2＝4a2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2【解答】解：a3•a3＝a6，故选项A错误；（﹣2a）2＝4a2，故选项B正确；（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项C错误；（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选项D错误；故选：B．5．某校男子足球队的年龄分布如下表：年龄131415161718人数268321则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　）A．8，15B．8，14C．15，14D．15，15【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；第21页（共21页） 根据图表数据可知共有22名队员，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2＝15．故选：D．6．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝50D．﹣＝50【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据题意，得﹣＝1．故选：B．7．如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（　　）A．（15+）mB．5mC．15mD．（5+）m【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．故选：D．8．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（　　）A．2B．3C．3D．4【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵对应圆周角为∠ACB和∠ADB，第21页（共21页） ∴∠ACB＝∠ADB＝30°，而BD为直径，∴∠BAD＝90°，在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，∴cos30°＝＝＝，∴BD＝2，∴OB＝，又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴△OBE为直角三角形，∴cos∠OBE＝cos30°＝＝，∴BE＝，由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×＝3，故C正确，故选：C．9．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（　　）A．2025B．2023C．2021D．2019【解答】解：由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023．故选：B．10．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上，则D点纵坐标为（　　）A．B．C．D．【解答】解：设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，过B′作B′F⊥BD于点F，如图，第21页（共21页） ∵B与B′关于直线CD对称，∴CD垂直平分BB′．即E为BB′的中点，EB＝EB′．∵EG⊥BD，B′F⊥BD，∴EG∥B′F．∴EG＝B′F．∵直线OA经过点A（2，1），∴直线OA的解析式为：y＝x．∵CD⊥OA，BB′⊥CD，∴BB′∥OA．设直线BB′的解析式为y＝x+b，∵B（0，1），∴b＝1．∴直线BB′的解析式为y＝x+1．∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），∴反比例函数y＝．联立方程得：．解得：，．∴B′（）．∴B′F＝．∴EG＝．∵AB⊥BD，∴∠OAB＝∠ODC．∴tan∠OAB＝tan∠ODC＝．在Rt△DGE中，∵tan∠ODC＝，∴DG＝﹣1．同理：BG＝．第21页（共21页） ∴OD＝OB+BG+DG＝．∴D点纵坐标为．故选：A．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为　1.412×109　．【解答】解：1412000000＝1.412×109，故答案为：1.412×109．12．已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝　36　．【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2，∵xy＝2，x﹣3y＝3，∴原式＝2×2×32＝4×9＝36，故答案为：36．13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　20　．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．14．对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为　2或﹣1　．【解答】解：由题意得：x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．整理得：x2﹣x﹣2＝0．即（x﹣2）（x+1）＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1．故答案为：2或﹣1．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是　3π﹣6　．第21页（共21页） 【解答】解：连接BE，∵AB为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆﹣（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）＝π×22﹣（﹣）﹣（﹣）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是　≤m≤　．【解答】解：如图，取AB的中点M，连接QM，CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝CM＝AB＝5，∵点Q是PB的中点，点M是AB的中点，∴QM是△APB的中位线，第21页（共21页） ∴QM＝AP＝，在△CMQ中，CM﹣MQ＜CQ＜CM+MQ，∴＜m＜，∵点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，∴当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值，当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值，综上，m的取值范围为：≤m≤．故答案为：≤m≤．三、解答题（本题有9个小题，共72分）17．（5分）计算：cos45°+（）﹣1﹣|﹣3|．【解答】解：原式＝+3﹣3＝1．18．（5分）化简：（﹣）÷．【解答】解：（﹣）÷＝[]＝＝＝＝．19．（9分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．等级成绩（x）人数A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018Dx＜707根据图表信息，回答下列问题：（1）表中a＝　20　；扇形统计图中，C等级所占的百分比是　30%　；D等级对应的扇形圆心角为　42　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有　450　人；（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．第21页（共21页） 【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人），∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级所占的百分比是18÷60×100%＝30%，D等级对应的扇形圆心角为：360°×＝42°，估计成绩为A等级的学生共有：1800×＝450（人），故答案为：20，30%，42，450；（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为＝．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，解得m＞；（2）设x1，x2是方程的两根，根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜，所以m的范围为＜m＜，因为m为整数，所以m＝1或m＝2，当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；所以整数m的值为1．21．（7分）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．第21页（共21页） 【解答】解：（1）证明：如图，在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED（AAS），∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，∴AF＝FC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，∴∠AEB＝∠FAE＝60°，∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°，∴∠GAE＝30°，∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，∵∠B＝45°，∴∠GAB＝∠B＝45°，∴BG＝AG＝，∴AB＝BG＝．22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，第21页（共21页） ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BCD，∴OD∥CE，∴∠CEF＝∠ODE，∵CE⊥DF，∴∠CEF＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴tan∠A＝＝，则AD＝2BD，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6，∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，解得BD＝，由（1）知DF是⊙O的切线，∴∠BDF＝∠A，∵BE⊥DF，∴∠BEF＝90°，∴tan∠BDF＝＝，则DE＝2BE，在Rt△BDE中，BD＝，由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（）2，解得BE＝，则DE＝，由（1）知BE∥OD，∴＝，即＝，解得EF＝．23．（9分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x（天）13610…第21页（共21页） 　日销量m（kg）142138132124…（1）填空：m与x的函数关系为　m═﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）　；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m═kx+b（k≠0），将（1，142）和（3，138）代入m═kx+b，有：，解得k═﹣2，b═144，故m与x的函数关系为：m═﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：当1≤x≤20且x为整数时，W═（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）═﹣0.5x2+16x+1440═﹣0.5（x﹣16）2+1568，此时当x═16时，取得最大日销售利润为1568元，当20＜x≤40且x为整数时，W═（35﹣20）（﹣2x+144）═﹣30x+2160，此时当x═21时，取得最大日销售利润W═﹣30×21+2160═1530（元），综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：P═﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）═﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x═16+2n，∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，又∵n＜4，∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，答：n的取值范围是1.75＜n＜4．24．（10分）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．【解答】解：（1）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），第21页（共21页） ∴AP＝BQ．（2）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；∴BQ＝AP＝AC＝BC，∵AP＝AC，∠CAP＝90°，∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，∴∠CBD＝45°，∴∠QBD＝45°，∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△APC≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∵∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠BAE＝∠ABE＝30°，∵AB＝AC＝4，∴AE＝BE＝，∴∠BEF＝60°，设AP＝t，则BQ＝t，∴EQ＝﹣t，在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（﹣t），∴S△APQ＝AP•QF＝，即•t（﹣t）＝，解得t＝或t＝．即AP的长为或．②当点Q在直线l下方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，第21页（共21页） 由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△APC≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∵∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠BAE＝∠ABE＝30°，∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，∵AB＝AC＝4，∴AE＝BE＝，设AP＝m，则BQ＝m，∴EQ＝m﹣，在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（m﹣），∴S△APQ＝AP•QF＝，即•m•（m﹣）＝，解得m＝（m＝负值舍去）．综上可得，AP的长为：或或．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．第21页（共21页） 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5；（2）在y＝﹣x2﹣6x﹣5中，令x＝0，则y＝﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC＝5，如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，过点F作FE⊥x轴于点E，∴∠AEF＝∠CAF＝∠AOC＝90°，∴∠EAF+∠CAO＝∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠EAF＝∠ACO，∴△AEF∽△COA，∴＝＝＝tan∠ACM＝2，∴EF＝2OA＝2，AE＝2OC＝10，∴OE＝OA+AE＝1+10＝11，∴F（﹣11，﹣2），设直线CF解析式为y＝kx+c，∵C（0，﹣5），F（﹣11，﹣2），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝﹣x﹣5，结合抛物线：y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝﹣x﹣5，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，∴点M的横坐标为﹣；（3）∵y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4，∴顶点P（﹣3，4），第21页（共21页） 设N（﹣3，n），直线AN解析式为y＝k1x+c1，∵A（﹣1，0），N（﹣3，n），∴，解得：，∴直线AN解析式为y＝nxn，结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝nxn，解得：x1＝﹣1（舍），x2＝n﹣5，当x＝n﹣5时，y＝n×（n﹣5）n＝﹣n2+2n，∴M（n﹣5，﹣n2+2n），∵PD∥x轴，MD⊥PD，∴D（n﹣5，4），∴MD＝4﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣2n+4，如图2，过点M作MG⊥PN于点G，则MG＝﹣3﹣（n﹣5）＝2﹣n，NG＝n﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣n，∵∠MGN＝90°，∴MN2＝MG2+NG2＝（2﹣n）2+（n2﹣n）2＝（n2+4）（n﹣4）2，∵MD＝MN，∴MD2＝3MN2，∴（n2﹣2n+4）2＝3×（n2+4）（n﹣4）2，∴（n﹣4）4＝（n2+4）（n﹣4）2，∵点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，∴n＜0，∴n﹣4＜0，∴（n﹣4）2＞0，∴（n﹣4）2＝3（n2+4），解得：n1＝﹣2（舍），n2＝﹣﹣2，∴N（﹣3，﹣﹣2）．第21页（共21页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/10/212:40:51；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第21页（共21页）