2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）实数2021的相反数是（　　）A．2021B．﹣2021C．D．﹣2．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（　　）A．±＝±4B．（3m2n3）2＝6m4n6C．3a2•a4＝3a8D．3xy﹣3x＝y4．（3分）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）A．5B．5.5C．6D．75．（3分）一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（　　）A．43°B．47°C．133°D．137°6．（3分）某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油，则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（　　）第31页（共31页） A．B．C．D．7．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（　　）A．7个B．8个C．9个D．10个8．（3分）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，第31页（共31页） ，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（　　）A．B．C．D．9．（3分）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（　　）A．3种B．4种C．5种D．6种10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为　　．12．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是　　．（只需写出一个条件即可）第31页（共31页） 13．（3分）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为　　cm．14．（3分）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是　　．15．（3分）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为　　．16．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝　　．17．（3分）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是　　．第31页（共31页） 三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（1）计算：（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|；（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．19．（5分）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．20．（10分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是　　；第31页（共31页） （2）请补全条形图；（3）扇形图中，m＝　　，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是　　°；（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．（1）求证：AC平分∠EAB；（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．22．（10分）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）甲的骑行速度为　　米/分，点M的坐标为　　；（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，　　分钟时两人距C地的距离相等．第31页（共31页） 23．（12分）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝　　°，写出图中两个等腰三角形：　　（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为　　；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝　　；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM2+DN2＝MN2．第31页（共31页） 24．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是　　；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．第31页（共31页） 第31页（共31页） 2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）实数2021的相反数是（　　）A．2021B．﹣2021C．D．﹣【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．故选：B．2．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（　　）A．±＝±4B．（3m2n3）2＝6m4n6C．3a2•a4＝3a8D．3xy﹣3x＝y【解答】解：A、±＝±4，正确，符合题意；B、（3m2n3）2＝9m4n6，错误，不符合题意；C、3a2•a4＝3a6，错误，不符合题意；D、不是同类项，不能计算，错误，不符合题意；故选：A．第31页（共31页） 4．（3分）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）A．5B．5.5C．6D．7【解答】解：∵5，5，6，7，x，7，8的平均数是6，∴（5+5+6+7+x+7+8）÷7＝6，解得：x＝4，将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，最中间的数是6，则这组数据的中位数是6，故选：C．5．（3分）一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（　　）A．43°B．47°C．133°D．137°【解答】解：如图，∵∠1＝47°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣47°＝43°，∵∠3+∠4＝180°，∴∠4＝180°﹣43°＝137°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠4＝137°，故选：D．6．（3分）某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油，则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（　　）第31页（共31页） A．B．C．D．【解答】解：某人驾车从A地上高速公路前往B地，油量在减小；中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不发生变化；再次出发油量继续减小，且油量减小的速度与前面相同；到B地后发现油箱中还剩油4升；只有C符合要求．故选：C．7．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（　　）第31页（共31页） A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：根据题意得：，则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2＝7（个）．故选：A．8．（3分）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵5个实数﹣1，，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），中，无理数有，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1）2个，∴P（无理数）＝，故选：B．9．（3分）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（　　）A．3种B．4种C．5种D．6种【解答】解：设购买口罩x包，酒精湿巾y包，依题意得：3x+2y＝30，∴x＝10﹣y．第31页（共31页） 又∵x，y均为正整数，∴或或或，∴小明共有4种购买方案．故选：B．10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，第31页（共31页） ∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，故②正确；③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，故③正确；④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，∴离对称轴越近，y值越小，∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，∴y2＜y1＜y3，故④不正确；⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），∴a﹣b≤m（am+b），故⑤不正确．所以正确的结论有①②③，共3个．故选：C．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为　7×10﹣7　．【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．故答案为：7×10﹣7．12．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是　∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE　．（只需写出一个条件即可）第31页（共31页） 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．13．（3分）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为　9　cm．【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×6＝12π（cm）；∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，设圆锥的母线长为Rcm，∴＝12π，解得R＝9．故答案为：9．14．（3分）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是　m＜﹣2且m≠﹣3　．【解答】解：去分母，得：3x＝﹣m+2（x﹣1），去括号，移项，合并同类项，得：x＝﹣m﹣2．∵关于x的分式方程+2的解为正数，∴﹣m﹣2＞0．又∵关于x的分式方程+2有可能产生增根x＝1，∴﹣m﹣2≠1．∴，解得：m＜﹣2且m≠﹣3．第31页（共31页） 故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．15．（3分）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为　或　．【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，当4是直角边时，斜边长＝＝5，则×3×4＝×5×h，解得：h＝，当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，则×3×＝×4×h，解得：h＝，综上所述：直角三角形斜边上的高为或，故答案为：或．16．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝　﹣20　．【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝6，S△BOC＝BC•OC，AB＝3BC，第31页（共31页） ∴S△BOC＝2，∴S△AOC＝2+6＝8，又∵|k1|＝8，|k2|＝4，k1＜0，k2＜0，∴k1＝﹣16，k2＝﹣4，∴k1+k2＝﹣16﹣4＝﹣20，故答案为：﹣20．17．（3分）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是　（0，42）　．【解答】解：∵点A1（1，1），∴OA1＝，∠A1OP1＝45°，∵A1B1⊥OA1，∴△A1OP1是等腰直角三角形，∴∠A1P1O＝∠B1P1P2＝45°，OP1＝2，∴P1（0，2），∵B1A2⊥A1B1，第31页（共31页） ∴△B1P1P2是等腰直角三角形，设P1P2＝2a，则：点B1（﹣a，2+a），把点B1（﹣a，2+a）代入y＝x2得：a2＝2+a，解得：a＝2或a＝﹣1（舍），∴P1P2＝4，∴P2（0，6），同理：△A2P3P2是等腰直角三角形，设P3P2＝2b，则：点A2（b，b+6），把点A2（b，b+6）代入y＝x2得：b2＝b+6，解得：b＝3或a＝﹣2（舍），∴P3P2＝6，∴P3（0，12），由P1（0，2），P2（0，6），P3（0，12）可推：点P6（0，42）．故答案为：（0，42）．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（1）计算：（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|；（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．【解答】解：（1）原式＝4+1+4×﹣（﹣1）＝4+1+2﹣+1＝6+；（2）原式＝﹣3xy（y2﹣4）＝﹣3xy（y+2）（y﹣2）．19．（5分）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．【解答】解：∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），∴x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，∴（x﹣7）（x+8）＝0，∴x＝7或x＝﹣8．20．（10分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D第31页（共31页） ：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是　300　；（2）请补全条形图；（3）扇形图中，m＝　35　，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是　18　°；（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？【解答】解：（1）由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，本次抽样调查的样本容量是：60÷20%＝300（人），故答案为：300；（2）喜爱C类电视节目的人数为：300﹣30﹣60﹣105﹣15＝90（人），补全统计图如下：（3）m%＝×100%＝35%，故m＝35，第31页（共31页） 节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝18°，故答案为：35，18；（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800×＝180（人）．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．（1）求证：AC平分∠EAB；（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AE⊥DE，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠CAB＝，∠EAC＝∠OAC，∴tan∠EAC＝，即＝，第31页（共31页） ∴＝，解得：EC＝4，在Rt△AEC中，AC＝＝＝8，∵tan∠CAB＝＝，∴BC＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝16，∴OB＝8．22．（10分）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）甲的骑行速度为　240　米/分，点M的坐标为　（6，1200）　；（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，　4或6或8　分钟时两人距C地的距离相等．第31页（共31页） 【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：（米/分），240×（11﹣1）÷2＝1200（米），因为甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，所以M的横坐标为6，则点M的坐标为（6，1200），故答案为：240，（6，1200）；（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），∴，解得，∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20＝60（米/分），如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，∴BC＝1200﹣1020＝180，分5种情况：①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，第31页（共31页） x＝，此种情况不符合题意；②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，∴1020﹣240x＝60x﹣180，x＝4，此种情况符合题意；③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，x＝6，此种情况不符合题意；④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），即x＝6时两人距C地的路程相等，⑤当x＞6时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，x＝8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．故答案为：4或6或8．23．（12分）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝　45　°，写出图中两个等腰三角形：　△AEF，△CEF，△ABC，△ADC　（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q第31页（共31页） ，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为　PQ＝BP+DQ　；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝　　；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM2+DN2＝MN2．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，第31页（共31页） ∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°，∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，第31页（共31页） ∴PQ＝BP+DQ．故答案为：PQ＝BP+DQ．（3）解：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB，∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴＝＝，故答案为：．（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，第31页（共31页） ∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2．24．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是　2　；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），第31页（共31页） 又∵对称轴为x＝2，∴B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，∴；（2）由（1）得：C（0，），D（2，），∴CD＝，故答案为2；（3）∵B（5，0），C（0，），∴直线BC的解析式为：，设E（x，），作EF∥y轴交BC于点F，则F（x，），∴EF＝﹣（）＝，∴，当x＝时，S△BCE有最大值为；第31页（共31页） （4）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，则，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，4）或Q（3，6），若BP为矩形得对角线，则，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，第31页（共31页） 即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，则，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），综上，点Q的坐标为（3，4）或（3，6）或（7，4）或（﹣3，﹣）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/38:08:14；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第31页（共31页）