2022年高考数学新题速递(新高考专版)第4期说明：此套试题共10题，包含4道单选题、2道多选题、4道填空题、2道解答题，题目来源于考试真题，旨在练习好题，不断思考，创新思维，沉淀基础，提升计算，练出平常心！难度：★★★☆☆用时：60分钟一、单项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．(2022淮安市六校第一次联考10月)2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M．设漾濞县地震所释放的能量为E1，玛多县地震所释放的能量为E2，则约等于()A．10B．15C．30D．32【答案】D【考点】新情景问题下的指对数的运算【解析】由题意可知，lgE2＝4.8＋1.5×7.4，lgE1＝4.8＋1.5×6.4，所以lgE2－lgE1＝lg＝1.5，所以＝101.5≈32，故答案选D．2．(202210月)在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.【详解】为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级,结合选项只有A选项能够较好的达到目的，故选：A．
3．(2022苏州八校联盟第一次适应性检测10月)已知f(x)＝，若f(x)≥a|x|，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．D．【答案】C【考点】分段函数的不等式应用【解析】由题意可知，函数f(x)的图像如图所示，分别求出函数f(x)在原点处的切线方程，如图所示，若使得f(x)≥a|x|恒成立，当a≤0时，显然成立，因为＜1，故当a＞0时，不等式恒成立，则只需a≤即可，故答案选C．4．(2022泰州市10月)已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】
【分析】求出函数在两段上函数值集合的交集，令，由此构造函数并求其最大值即可.【详解】当时，，当时，，则，令，则，，设，，，即在上单调递增，，所以的最大值为.故选：A二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共计10分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．5．(2022江苏省第一次大联考10月)已知函数f(x)＝ax(a＞1)，g(x)＝f(x)－f(－x)，若x1≠x2，则A．f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)B．f(x1)＋f(x2)＝f(x1x2)C．x1g(x1)＋x2g(x2)＞x1g(x2)＋x2g(x1)D．g()≤【答案】AC【考点】函数的单调性应用【解析】由题意可知，对于选项A，f(x1)f(x2)＝a×a＝a＝f(x1＋x2)，故选项A正确；对于选项B，f(x1)＋f(x2)＝a＋a，f(x1x2)＝a≠f(x1)＋f(x2)，故选项B错误；对于选项C，因为函数f(x)＝ax(a＞1)为单调递增函数，所以g(x)＝f(x)－f(－x)亦为单调递增函数，所以(x1－x2)(g(x1)－g(x2))＞0，展开得x1g(x1)－x1g(x2)－x2g(x1)＋x2g(x2)＞0，即x1g(x1)＋x2g(x2)＞x1g(x2)＋x2g(x1)，故选项C正确；对于选项D，可取值x1＝－2，x2＝0，代入验证可知错误，故选项D错误；综上，答案选AC．
6．(2022南京市二十九中10月)已知函数，其导函数为，设，则（）A.的图象关于原点对称B.在R上单调递增C.是的一个周期D.在上的最小值为【答案】AC【解析】【分析】对A：求出定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B：利用的导数可判断；对C：计算，看是否等于即可；对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值.【详解】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，且，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；由，得，则．恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；由，得函数的定义域是
，故C项正确；设，当时，，此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减，，故D项错误.故选：AC．三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共计10分．7．(2022苏州八校联盟第一次适应性检测10月)已知函数f(x)＝x3＋mx，若f(ex)≥f(x－1)对x∈R恒成立，则实数m的取值范围为．【答案】[－1，＋¥)【考点】不等式的恒成立问题【解析】由题意可知，令h(x)＝ex－(x－1)，易可知h(x)≥2恒成立，且f′(x)＝3x2＋m，则当m≥0时，f′(x)≥0，即f(x)在R上单调递增，则f(ex)≥f(x－1)对x∈R恒成立，满足题意；当m＜0时，因为函数f(x)为奇函数，所以可得2≤2，解得m≥－1，则－1≤m＜0，综上，实数m的取值范围为[－1，＋¥)．8．(2022淮安市六校第一次联考10月)已知函数f(x)＝，①若a＝1，则不等式f(x)≤1的解集为；②若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则实数a的取值范围为．【答案】(－∞，0]；(－¥，2)∪(4，＋¥)【考点】双空题：分段函数解不等式、零点问题【解析】由题意，①当a＝1时，f(x)＝，若x≤1，即2x≤1，解得x≤0；若x＞
1，即x2≤1，解得－1≤x≤1，故f(x)≤1的解集为(－∞，0]；②g(x)＝f(x)－b的零点问题可转化为y＝f(x)和y＝b图象的交点可题，即2x＝x2时，x＝2或x＝4，当a＝2时，f(x)＝，此时g(x)＝f(x)－b只有一个零点；当a＜2时，g(x)有2个零点；当a＝4时，f(x)＝，此时g(x)＝f(x)－b只有一个零点；当a＞4时，有2个零点；当2＜a＜4时，g(x)最多只有1个零点，故可得a的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．四、解答题：本题共2小题，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．(2022泰州市10月)年月日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下万农村贫困人口全部脱贫，个贫困县全部摘帽，万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植、两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份编号年份单价（元/公斤）经济作物的收购价格始终为元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出
关于的回归直线方程，并估计年经济作物的单价；（2）用上述频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由．附：，．【答案】（1），元/公斤；（2）应该种植经济作物；理由见解析．【解析】【分析】（1）利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测；（2）先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物的亩产量进行求解.【详解】（1），，．则关于的回归直线方程为．当时，，即估计年经济作物的单价为元/公斤．（2）利用频率和为得：
，所以．经济作物的亩产量的平均值为：，故经济作物亩产值为元，经济作物亩产值为元．，应该种植经济作物．10．(2022南通市如皋中学10月)己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线方程化为并求导，根据切线斜率求参数p，即可写出抛物线方程.（2）由题意设直线、为、，令、、、，联立抛物线方程并结合韦达定理求，，，，进而求AB、EF中点、N坐标，进而可得直线方程，即可确定是否过定点.
【详解】（1）由可化为，则.当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，∴，即，∴抛物线C的标准方程为.（2）由（1）知：点T坐标为(0,2)，由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，由，联立消去y并整理得，，设，，则，，∴，又M为AB中点，则，∵，N为EF中点，则直线为，联立抛物线可得，∴，，则∴，∴直线MN为，整理得，
∴直线MN恒过定点(0,4).
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