2022年江苏省新高考数学复习新题速递10月第8期(新高考专版解析版）

2022年高考数学新题速递(新高考专版)第8期说明：此套试题共10题，包含4道单选题、2道多选题、4道填空题、2道解答题，题目来源于考试真题，旨在练习好题，不断思考，创新思维，沉淀基础，提升计算，练出平常心！难度：★★★☆☆用时：60分钟一、单项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．(2022江苏盐城市伍佑中学10月)已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】若、、三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使、、三点共线的充要条件．详解】解：若、、三点共线，则向量即存在实数，使得，，，可得，消去得即、、三点共线的充要条件为故选：B． 2．(2022江苏扬州市江都中学10月)有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑．小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则小明估算金奥中心的高度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】中求得，在中运用正弦定理求得，解求得的值．【详解】在中，∠AMB=15°，则，在中，，,,由正弦定理可知，即,∴, ,∴故选：B．3．(2022江苏苏州第十中学10月)以下大小关系不正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数确定的单调性并结合的单调性即可判断作答.【详解】令函数，则当x>e时，，于是得在上单调递减，而，则，，A正确；，B不正确；，C正确；，D正确；故选：B 4．(2022江苏苏州市陆慕高级中学中学10月)已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合得到，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果.【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；作出在上的图象，如图： 关于x的方程有5个不同的实根，令，则有两个不同的实根，所以，令，则，解得，故选：A.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共计10分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．5．(2022江苏盐城市伍佑中学10月)已知，，记，则（）A.的最小值为B.当最小时，C.的最小值为D.当最小时【答案】AB【解析】 【分析】根据条件可将的最小值，转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方，结合两直线的位置关系和导数的几何意义，即可求解.【详解】由和，则的最小值，可转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方，又由，可得，因为与直线平行的直线的斜率为，所以，解得，则切点坐标为，所以到直线上距离，即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为，所以的最小值为，又过且与直线垂直的直线为，即，联立方程组，解得， 即当最小时，.故选：AB【点睛】本题主要考查了函数与方程综合应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，合理转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．(2022江苏扬州市江都中学10月)关于函数，下列结论正确的是（）A.是偶函数B.在区间单调递减C.在有4个零点D.的最小值为【答案】AC【解析】分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；当，时，，由复合函数单调性可知，即可判断B；当时，，令，即可判断C；分三种情况，当，时，当，时，当，时，确定最小值，即可判断D． 【详解】解：对于A，，是偶函数，故A正确；对于B，当，时，，则，当，，所以函数在，上不具有单调性，故B错误；对于C，当时，，令，可得，，又是偶函数，所以在区间，上有4个零点，故C正确；对于D，，所以是函数的一个周期，当，时，，此时最小值为1，当，时，，此时最小值为-1，当，时，，此时最小值为，所以最小值为-1，故D错误. 故选：AC.三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共计10分．7．(2022江苏南京市10月)已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则______.【答案】3【解析】【分析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，求出的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角、双曲线渐近线方程、两点间的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．(2022江苏扬州市江都中学10月)已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则的最大值为______；实数满足，则取值范围为_______.【答案】①.②.【解析】【分析】由题意，，所以，进而得到，利用基本不等式求出的最大值，由已知条件可得，利用基本不等式结合，即可求取值范围.【详解】因为二次函数(，，均为正数)过点，，开口向上且值域为，，，，，，，即，当且仅当时等号成立.即，当且仅当时等号成立，的最大值为(当且仅当时最大)，，，，即，，，， ，当且仅当时，即时，等号成立.又时，，，故答案为：；【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题：本题共2小题，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．(2022江苏南京10月)如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明AD⊥平面CDD1C1，可得AD⊥D1E，又CD⊥D1E ，即可证明D1E⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理证明即可；（2）D1E＝a，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出关于a的方程求解即可．【详解】（1）证明：因为底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，所以AD⊥CD，AD⊥DD1，又CD∩DD1＝D，CD，DD1⊂平面CDD1C1，所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E⊂平面CDD1C1，所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD，故D1E⊥平面ABCD，又D1E⊂平面CC1D1D，则平面CC1D1D⊥平面ABCD；（2）解：取AB得中点F，连结EF，则四边形EFBC为正方形，所以EF⊥CD，故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设D1E＝a，则E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），所以，设平面BCC1B1的法向量为，则有，即，令z＝1，则，因为FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E⊂平面BED1，所以FC⊥平面BED1，故为平面BD1E的一个法向量，所以，因为平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，，解得a＝1，所以D1E＝1． 10．(2022江苏盐城市伍佑中学10月)设.（1）讨论在上的单调性；（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可.【详解】，令，则或.时，，单调递增， 时，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减.的单调递增区间是，递减区间是.（2），因为，所以是的一个零点.所以是偶函数，即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可.①当时，令，即或.时，单调递减，且，时，，单调递增， 且在有唯一零点②当时，由于，.而在单调递增，所以恒成立，故在无零点，所以在有一个零点，由于是偶函数，所以在有一个零点，而，综上在有且仅有三个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.