必考部分第七章 立体几何
高考大题规范解答系列(四)——立体几何
考点一线面的位置关系与体积计算(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．例1
【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．
【名师点评】1．核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养．2．解题技巧：(1)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC⊥DO，AC⊥BO；第(2)问中BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2等．
(2)利用第(1)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO＝AO．
考点二线面的位置关系与空间角计算(理)例2
【分析】①在平面A1B1C内构造与OM平行的直线，并证明；②建立空间直角坐标系，分别求平面MOB1、平面CB1A1的法向量，求两法向量夹角正弦值即可．
(2)思维发散：①注意到O、M分别为BC、AA1的中点，考虑构造三角形中位线证明(1)．连BM并延长与B1A1的延长线相交于H，连CH，由M为AA1的中点，∴AM＝MA1，又AB∥A1B1，∴∠ABM＝∠MHA1，又∠AMB＝∠HMA1，∴△ABM≌△A1HM，∴BM＝MH，又O为BC中点，∴MO∥CH，又MO⊄平面CB1A1，CH⊂平面CB1A1，∴OM∥平面CB1A1．
解法二：由三棱台ABC－DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ．如图，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz．
考点二线面位置关系与空间距离的计算(文)例2
【名师点评】核心素养：本题主要考查线、面垂直的判定与性质及利用体积法求点到平面的距离，考查学生的逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力．
[解析](1)取A1B中点F，联结AF，EF，AE，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥A1C1，CC1⊥CB，又∵E是CC1的中点，A1C1＝BC，∴A1E＝BE，又∵AB＝AA1，∴A1B⊥EF，A1B⊥AF，∴A1B⊥平面AEF，∴A1B⊥AE；
考点三立体几何中的折叠问题(理)(2021·启东模拟)如图，已知在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC．例3
【分析】①利用面面平行的判定和性质即可证明；②建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个面的法向量，利用空间向量法求解．
【评分细则】①由线线平行得到线面平行，给2分．②同理再推出一个线面平行，给1分．③由线面平行推出面面平行，给1分．④由面面平行得到线面平行，给1分．⑤由线线垂直证出线面垂直，为建系作好准备，给2分．
⑥建立适当坐标系，写出相应点的坐标及向量坐标，给1分．⑦正确求出平面的法向量，给2分．⑧利用公式求出两个向量夹角的余弦值，并正确写出二面角的余弦值，给2分．
【名师点评】1．核心素养：本题考查线面平行的判定与性质定理，考查二面角的求解，考查的数学核心素养是空间想象力、推理论证能力及数学运算能力．2．解题技巧：(1)得分步骤：第(1)问中的DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，要写全．(2)得分关键：第(2)中，证明线面垂直从而得到线线垂直，才能建系．
(3)折叠问题的求解，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化，对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
〔变式训练3〕(2021·河北质检)如图1：在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2BC＝4，点E，F分别是线段AB和AC的中点．如图2：以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置．(1)证明：平面FPC⊥平面BPC；(2)若△PEB为等边三角形，求二面角C－PF－E的余弦值．
考点三立体几何中的折叠问题(文)例3
【分析】①线线垂直推出线面垂直，进而得到面面垂直；②利用锥体的体积公式求解．
【评分细则】①由线线垂直推出线面垂直，给3分．②由线面垂直得面面垂直，给2分．③根据已知，求出BP的长，给2分．④证明QE为三棱锥Q－APB的高，并求出它的值，给3分．⑤利用体积公式正确求解，给2分．
【名师点评】1．核心素养：本题考查面面垂直的证明及三棱锥的体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．2．解题技巧：(1)解决翻折问题的关键①一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化；②翻折后不在同一个平面上的性质可能会发生变化，翻折过程中长度、角度和平行、垂直关系是否发生改变是解决问题的关键．(2)计算几何体的体积时，关键是确定几何体的高，若是不方便求，要注意进行体积的转化．
〔变式训练3〕(2021·河北省衡水中学调研)等边三角形ABC的边长为6，O为三角形的重心，EF过点O且与BC平行，将△AEF沿直线EF折起，使得平面AEF⊥平面BCFE．(1)求证：BE⊥平面AOC；(2)求点O到平面ABC的距离．
[解析](1)因为O为三角形ABC的重心，所以AO⊥BC，因为EF∥BC，所以AO⊥EF，因为平面AEF⊥平面BCFE，平面AEF∩平面BCFE＝EF，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面BCFE，因为BE⊂平面BCFE，所以AO⊥BE，因为O为三角形ABC的重心，所以CO⊥BE，因为AO、CO⊂平面AOC，AO∩CO＝O，所以BE⊥平面AOC．
考点四立体几何中的探索性问题(理)(2021·陕西省模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC中点，F是PC上的点．例4
【评分细则】①证出△ABC是正三角形得1分．②证出AE⊥AD得1分．③由线面垂直性质证出PA⊥AE得1分，不写AE⊂平面ABCD不得分．④由线面垂直的判定证出AE⊥平面PAD得1分．⑤证出平面AEF⊥平面PAD得1分，条件不全不得分．⑥建出空间直角坐标系得1分．
〔变式训练4〕(2021·陕西省质检)如图所示，等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝∠ADC＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EDA＝90°，ED＝AD＝2AF＝2AB＝2．
考点四立体几何中的探索性问题(文)例4
【分析】①看到平面AMD⊥平面BMC，想到利用面面垂直的判定定理寻找条件证明；②看到MC∥平面PBD，想到利用线面平行的定理进行分析．
【评分细则】①由平面CMD⊥平面ABCD推出BC⊥DM，给3分．②由线线垂直得到DM⊥平面BMC，给2分．③由线面垂直得到，平面AMD⊥平面BMC，给1分．④点明P为中点时，MC∥平面PBD，给1分．⑤正确作出辅助线并证得MC∥OP，给3分．⑥由线线平行证得MC∥平面PBD，给2分．
【名师点评】1．核心素养：探索性的立体几何问题在高考中虽不多见，但作为高考命题的一种题型，要求学生掌握其解决思路及解决问题的途径，此类问题主要考查考生“直观想象”的核心素养．2．解题技巧：(1)得分步骤要写全：如第(1)问中，面面垂直性质定理的应用，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，不能丢．(2)得分关键：明确探索性试题的解题要领是先假设存在，然后采用相关定理或性质进行论证；第(2)问中，把假设当作已知条件进行推理论证，会起到事半功倍之效．
〔变式训练4〕如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
[解析](1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF．∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF∥AE．又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF．
(2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH．∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB．又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．
∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H为BE的中点，∴CH⊥BE．又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC．又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE．
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