2022年江苏省新高考数学复习新题速递10月第14期(新高考专版解析版）

2022年高考数学新题速递(新高考专版)第14期说明：此套试题共10题，包含4道单选题、2道多选题、4道填空题、2道解答题，题目来源于考试真题，旨在练习好题，不断思考，创新思维，沉淀基础，提升计算，练出平常心！难度：★★★☆☆用时：60分钟一、单项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．(2022江苏无锡市第六高级中学10月)已知函数，，若，，则a，b，c的大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出的导数，利用导数研究函数的单调性，结合对数运算性质可比较，，的大小，从而根据单调性即可得出a，b，c的大小关系．【详解】因为，所以在上单调递增，因为，，，所以，所以，故．故选：B．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．2．(2022江苏苏州市10月)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝2＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设，Sn表示数列的前n项和，若32Sn＝63an，则n＝()A．5B．6C．7D．8【答案】B 【解析】Fn＝2＋1(n＝0，1，2，…)，所以an＝所以是等比数列，首项为1，公比为2，所以，所以解得n＝6，故选：B3．(2022南通市如皋市教学质量调研(一))开普勒，德国天文学家、数学家，他发现了八大行星与海王星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比，已知天王星离太阳的平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为，则天王星的公转时间约为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为和，距离太阳的平均距离为和，根据，，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为，距离太阳的平均距离为，土星公转时间为，距离太阳的平均距离为，由题意知：，，所以，所以，故选：B.4．(2022江苏无锡市南菁高级中学10月)若过点可以作曲线的两条切线，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设切点为，其中，利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，分析得出，可知直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性，可得出，即可得解.【详解】设切点为，其中，因为，则，故切线斜率为，所以，曲线在点处的切线方程为，即，将点的坐标代入切线方程可得， 设，则直线与曲线有两个交点.①若，则，即函数在上单调递增，不合乎题意；②若，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，.由题意可知，即.故选：B.二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共计10分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．5．(2022南通市如皋市教学质量调研(一))已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（）A.是奇函数B.是周期函数C.D.在上是增函数【答案】AB【解析】【分析】利用赋值法以及特殊函数即可得出答案.【详解】解：对A，由，令，得，，，为奇函数，故A正确；对B，令，得，，，，是周期函数，故B正确；对C，当时，符合题意，但是，故C错误；对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.故选：AB.【点睛】关键点睛：对于抽象函数，常用赋值法求解函数相关性质.6．(2022江苏无锡市10月)关于函数，. 下列说法正确的是（）A.在处的切线方程为B.有两个零点C.有两个极值点D.存在唯一极小值点，且【答案】ABD【解析】【分析】求得导函数，得到出的导数值，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程，从而判定A；利用导数研究函数的单调性，极值情况，进而判定零点情况，从而判定BCD.【详解】，，，，切线方程为,即,故A正确；，当时，，当时，，,∴，∴时，，∴单调递增，，，在内，存在唯一的零点,且，且在内，，单调递减；，，单调递增，∴为极值点，且为极小值点.由，∴，∵，∴，∴，∴有唯一的极值点，且为极小值点，且，故C错误，D正确； 又∵，结合函数的单调性可知，∴有两个零点，故B正确；故选：ABD.三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共计10分．7．(2022南通市如皋市教学质量调研(一))已知圆，设圆上的点在轴的上方，点A的坐标为，直线与圆的另一交点为，且为的中点，则直线的斜率为_____.【答案】【解析】【分析】设，由题意可求得Q点坐标，根据P，Q在圆C上，代入可求得的值，进而可得值，代入公式，即可得答案.【详解】设，因为为的中点，所以，即Q点坐标为，因为P、Q在圆C上，代入可得，联立解得，代入解得，所以直线的斜率.故答案为：8．(2022江苏无锡市第六高级中学10月)若函数是定义域为的奇函数，，且在上单调递增，则满足的的取值范围是__，满足的的取值范围是__．【答案】①.②.【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】解：若函数是定义域为的奇函数，可得，由在上单调递增，可得在 上单调递增，所以等价于或或，解得或或，即满足的的取值范围是．等价为或，解得或，即满足的的取值范围是．故答案为：；．四、解答题：本题共2小题，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．(2022无锡市南菁高级中学10月)设函数．（1）若是函数的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b），并确定的单调区间；（2）在（1）的条件下，设，函数．若存在，使得成立，求a的取值范围．【答案】（1）；，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）．【解析】【分析】（1）由求出a关于b的关系式，令解得或，讨论参数范围即可求出单调区间；（2）分别求得函数，在上的值域，若存在，使得成立，只需与之间的最小距离小于1即可求得结果．【详解】（1）∵是函数的一个极值点∴，即，解得 则令，即，解得或∵是函数的一个极值点∴，①当，即，在和上单调递增，在上单调递减②当，即，在和上单调递增，在上单调递减综上：，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增∴函数在上的最小值为∵，∴函数在上的值域为，即∵在上为增函数且∴若存在，使得成立，只需与之间的最小距离小于1，即，解得综上：当时，存在，使得成立．10．(2022江苏无锡市第六高级中学10月)已知函数，其中为正实数.（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，求证：【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析 【解析】【详解】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：(1)因为，所以，则,所以的值为1．(2)，函数的定义域为，若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为,,单调减区间为．(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．因为要证,只需证．构造函数，则，在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理，可知在上唯一实根,且．则在上递减,上递增,所以最小值为． 因为,当时,,则,所以恒成立．所以,所以，得证．