2022年新高考数学一轮复习5.4三角恒等变换（讲）解析版

专题5.4三角恒等变换新课程考试要求1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）、数据分析等.高考预测（1）和（差）角公式：结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题（2）二倍角公式与同角公式综合考查，重点解决三角函数求值问题；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.【知识清单】知识点1．两角和与差的三角函数公式（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝；T(α－β)：tan(α－β)＝.（2）变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.（3）辅助角公式一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ).知识点2．二倍角公式（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：16/16 S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝.（2）变形公式：cos2α＝，sin2α＝1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2【考点分类剖析】考点一两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例1】（2021·全国高三其他模拟）已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据三角函数的定义确定出终边经过点的的三角函数值，然后根据位置关系判断出的终边经过，结合两角和的正、余公式求解出的坐标.【详解】由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，所以，又因为，16/16 所以，故选：D.【典例2】（2020·山东聊城�高一期末）角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由角的终边经过点，得，因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，所以，故选：.【典例3】【多选题】（2020·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为，由，，因为，所以，，16/16 由题意可得，，得，，因为，所以或.故选：BC.【规律方法】1.三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.2.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．3.给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．【变式探究】1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是()16/16 A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，有：，，，，＝.故答案为：C.2.（2020·湖南娄星�高一期末）已知为锐角，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵cos（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故选B．16/16 3.（2019·河南高考模拟（文））平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．【答案】【解析】由题意知：，，由，得，，故答案为：.【总结提升】(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．高频考点二两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知，为锐角，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】16/16 由已知求出，再利用差的正切公式可求.【详解】因为，为锐角，所以.所以，，又，则.故选：C.【典例5】（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知为锐角，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正切的二倍角公式求得，再由可求.【详解】因为，所以.故选：A.16/16 【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【变式探究】1.（2018年全国卷II文）已知tan(α−5π4)=15，则tanα=__________．【答案】32.【解析】tan(α−5π4)=tanα−tan5π41+tanα⋅tan5π4=tanα−11+tanα=15，解方程得tanα=32.2.（2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.【答案】【解析】根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，所以.16/16 故答案为：.【总结提升】1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．考点三二倍（半）角公式的应用【典例6】（2021·全国高考真题（文））若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【典例7】（2020·浙江高一期末）已知，若，则__；__.【答案】7【解析】因为，若，16/16 故可得sin，cos.则tan；.故答案为：7；.【典例8】(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．【答案】【解析】，，当时，，故函数的最小值为．【总结提升】1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2.已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可【变式探究】1.（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知，，且．（1）求角的大小；16/16 （2），给出的一个合适的数值使得函数的值域为．【答案】（1）；（2）的值可取．【解析】（1）根据，结合，可得或，再根据求解；（2）由，根据值域为，结合正弦函数的性质求解．【详解】（1）因为，所以，又，所以，可得或，可得或，又，所以．（2），，，当时，，16/16 当时，，所以由题意可得，可得，所以即可，的值可取．2.（2020·河南高一月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题意得：原式（Ⅱ），=．【特别提醒】1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α16/16 的值可采用诱导公式．考点四简单的三角恒等变换---化简与证明 【典例9】（2021·高三其他模拟）已知，，，，则______．【答案】【解析】注意综合已知条件，进一步缩小的范围，以及的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确求出，,的值，由，利用两角差的正弦公式计算.【详解】，∴，，∴，又∵，∴，∴，，,又∵，∴，又∵，∴，∴,故答案为：.【典例10】求证：.【答案】见解析【解析】左边＝＋16/16 ＝右边．故原式得证．【总结提升】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．【变式探究】1．（2021·全国高三其他模拟（理））若，，则（）16/16 A．B．C．D．【答案】C【解析】根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.【详解】由知，，或，则，由知，，或，则，，则故选：C2.（2018届河南省高三第十五次调研）已知α∈[π4,π3],β∈[π2,π]，满足sin(α+β)−sinα=2sinαcosβ，则sin2αsin(β−α)的最大值为______.【答案】2.【解析】由sin(α+β)−sinα=2sinαcosβ，得sinαcosβ+sinαsinβ−2sinαcosβ=sinα化为sinβ−α=sinα∴sin2αsinβ−α=2sinαcosαsinα=2cosα，∵α∈π4,π3,∴12≤cosα≤22，16/16 ∴1≤2cosα≤2，∴sin2αsin(β−α)的最大值为2，故答案为2.【总结提升】将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤(1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．(2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式．16/16