专题5.4 三角恒等变换 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版

专题5.4三角恒等变换练基础1．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在平面直角坐标系中，已知点，，那么（）A．2B．C．D．4【答案】A【解析】利用利用两点间的距离公式求得.【详解】.故选：A2．（2018·全国高考真题（文））（2018年全国卷Ⅲ文）若sinα=13，则cos2α=（）A．89B．79C．-79D．-89【答案】B【解析】cos2α=1-2sin2α=1-29=79故答案为B.3．（2021·高三月考（文））已知，则的所有取值之和为（）A．－5B．－6C．－3D．2【答案】D 【解析】利用诱导公式和二倍角公式化简已知式，得到或，即得的可能取值，求和即可.【详解】依题意得，，即，即，故或，所以或，可得或，所以的所有取值之和为2．故选：D.4．（2021·北京高三其他模拟）已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦的二倍角公式，先求出的值，结合角的范围可得答案.【详解】由，可得又，则故选：A5．（2022·河南高三月考（理））若，且，则（）A．-7B．C．D．-7或【答案】A【解析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可； 【详解】解：因为，所以，所以，得，则或，又，所以.故选：A6．（2021·江苏淮安市·高三三模）设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性，可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小.【详解】因为，所以有，即，所以；因为，而，所以有，所以，即； 因为，而所以；显然，，而，所以，即所以故选：D7．（2020·河北高三其他模拟（文））已知函数()的最小正周期为，关于函数的性质，则下列命题不正确的是（）A．B．函数在上的值域为C．函数在上单调递增D．函数图象的对称轴方程为()【答案】D【解析】首先把函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果.【详解】解：函数，由于函数的最小正周期为，即，所以，故A正确；故.对于B：由于，所以函数的最小值为，函数的最大值为3， 故函数的值域为，故B正确；对于C：当时，，故函数在该区间上单调递增，故C正确；对于D：当，时，整理得()为函数的对称轴，故D错误.故选：D.8.（2020·全国高考真题（文））若，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.9．（2021·贵溪市实验中学高二期末）的值是___________.【答案】【解析】由进行转化，可得答案.【详解】解：由故答案为：.10．（2021·山东高三其他模拟）若，则＝__________________．【答案】﹣【解析】先用诱导公式化简，再根据二倍角及变形，再求值即可. 【详解】解：因为tan（π﹣α）＝﹣tanα＝4，所以tanα＝﹣4，则cos（2α＋）＝sin2α＝2sinαcosα＝＝＝﹣．故答案为：﹣．练提升TIDHNEG1．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）（）A．2B．－2C．1D．－1【答案】D【解析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】2．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮 尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】分别用和表示出的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果．【详解】设为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，，取的中点，连接、，则是底面内切圆半径，如图所示：设侧棱长为，底面边长为，由题意知，，则，解得；由底面为正八边形，其内切圆半径是底面中心到各边的距离，中，，所以，由，解得，所以，所以，解得，即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为． 故选:A．3.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，，，因为，所以，所以，所以，两边平方得，所以，故选：C4．（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____.【答案】.【解析】由， 得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在上恰有10个零点，则m的取值范围是________________．【答案】【解析】先用降幂公式和辅助角公式化简，再转化为图象与轴交点个数问题.【详解】∵，∴， ∵在上恰有10个零点，∴在上恰有10个解，∴，解得，故答案为：．6．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知函数.若存在，对任意，都有成立.给出下列两个命题：（1）对任意，不等式都成立.（2）存在，使得在上单调递减.则其中真命题的序号是__________.（写出所有真命题的序号）【答案】（1）（2）【解析】由辅助角公式可得，由题意可得是的最小值点，关于对称，由三角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论．【详解】解：函数，其中为锐角，且，由题意，是的最小值点，所以关于对称，因为的最小正周期，所以为最大值，所以任意，，故（1）正确；因为函数在上单调递减，取，则，所以即在内单调递减，故（2 ）正确；故答案为：（1）（2）7．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角，，若，，则___________.【答案】【解析】根据的范围确定的范围，然后求出和，将变形为，结合两角和的余弦公式即可求解.【详解】∵，，∴，，又，，∴∴，，∴ .故答案为：.8．（2021·江西新余市·高一期末（理））已知单位圆上第三象限内的一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为___________.【答案】【解析】首先设，根据题意得到，从而得到，，再根据求解即可.【详解】由题意设，从而点沿圆周逆时针旋转到点，即点坐标为，所以，，∵，∴，则，所以.所以点的横坐标为.故答案为： 9.（2020·浙江吴兴�高三其他）已知，，，则_______；__.【答案】3【解析】因为，，所以，所以，因为所以，所以，故答案为：3；.10．（2021·聊城市·山东聊城一中高三其他模拟）在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，__________，求在上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择见解析；单调递减区间为，． 【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，若选①，利用正弦函数的对称性可得，，得，，又，可得，可求；若选②，由题意可得，可得，，又，可得，可求；若选③，可求，可得，可得，利用正弦函数的单调性，结合，即可求解在，上的单调递减区间．【详解】解：．①若是函数图象的一条对称轴，则，，即，，得，，又，∴当时，，．②若是函数的一个零点，则，即，，得，． 又，∴当时，，所以，．③若在上单调递增，且的最大值为．则，故，所以．由，，得，，令，得，令，得，又，所以在上的单调递减区间为，．练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和B．和2C．和D．和2【答案】C【解析】利用辅助角公式化简，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．2．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为 【答案】D【解析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））tan255°=（）A．－2－B．－2+C．2－D．2+【答案】D【解析】=4．（2019·全国高考真题（文理））已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，．，又，，又， ，故选B．5.（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.6．（2020·全国高考真题（文））已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.