专题7.6 数学归纳法 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版

专题7.6数学归纳法新课程考试要求1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.考向预测1.数学归纳法原理；2．数学归纳法的简单应用.3．利用数学归纳法证明数列相关问题.【知识清单】知识点一．数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【考点分类剖析】考点一利用数学归纳法证明不等式【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】 （1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.【详解】（1）由，是，的等差中项，可得，即，即，解得或，又因为，所以，又由，所以，因为数列的前项和为，当时，，当时，，当时，满足上式，所以，所以.（2）先用数学归纳法证明当，，①当时，，左式>右式，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，当时，，因为在上单调递增， 由，得，即，可得，不等式也成立.由①②得证当，，所以.【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列满足.(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；(2)求证:.【答案】(1);猜想;(2)证明见解析【解析】(1)猜想(2)所以(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当时，左边，右边， 左边右边，不等式成立；(2)假设时，不等式成立，即，那么当时，只要证明成立，只要证明即证只要证明即证，即证只要证明，显然成立，所以时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的不等式均成立.【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数，，对于任意的，都有.（1）求的取值范围（2）若，证明：()（3）在（2）的条件下，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据函数的表达式，再结合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整数，所以；（2）先用导数进行研究，可到函数在区间上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明 ()；（3）由，解得，变形得，又，所以，，则在上递增，再通过放缩得，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.【详解】（1）由题得，恒成立，故：（2）当时，函数在(1，)上是单调递增函数.下面用数学归纳法证明：①当时，由得成立.②假设当时，结论成立.即：那么当时这表明当时不等式也成立，综合①②可知：当，时成立（3）且 令，则在上递增由（2）知：又左边【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（2021·浙江高三专题练习）已知数列满足：，证明：当时，（I）；（II）； （III）.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】（I）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造函数，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由及，递推可得.【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：．当时，．假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此，所以，因此．（Ⅱ）由得，．记函数，，函数在上单调递增，所以，因此，故．（Ⅲ）因为，所以，由，得， 所以，故．综上，．2.（2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以.所以，.（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得，.， .法2：由（Ⅰ）可得，.我们用数学归纳法证明.（1）当时，，不等式成立；（2）假设（）时不等式成立，即.那么，当时，，即当时不等式也成立.根据（1）和（2），不等式，对任意成立.3.（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．（1）求通项公式；（2）求证：（）；【答案】（1）；（2）见解析【解析】 （1）记为的公差，则对任意，，即为等比数列，公比.由，，成等比数列，得，即，解得，即.所以，即；（2）由（1），即证：.下面用数学归纳法证明上述不等式.①当时，不等式显然成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.因，故.于是，即当时，不等式仍成立.综合①②，得.所以考点二归纳、猜想、证明【典例4】（2021·全国高三专题练习）设数列满足，．（1）计算、，猜想的通项公式并加以证明； （2）求数列的前项和．【答案】（1），，猜想，证明见解析；（2）.【解析】（1）计算得出，，猜想，然后利用数学归纳法可证明出猜想成立；（2）计算得出，然后利用错位相减法可求得.【详解】（1）已知数列满足，，则，，猜想，下面利用数学归纳法加以证明：当、、时，猜想成立；假设当时，猜想成立，即，则当时，，这说明当时，猜想也成立，由上可知，对任意的，；（2），则，可得，上式下式可得，因此，.【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数，设为的导数，．（1）求，；（2）猜想的表达式，并证明你的结论． 【答案】,；，证明见解析【解析】对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【详解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，成立，②假设时，猜想成立即当时， 当时，猜想成立由①②对成立【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．【变式探究】1.（2019·浙江高二期末）数列的前项和为，且满足．(Ⅰ)求，，，的值；(Ⅱ)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）当时，∵，∴，又，∴，同理，；（Ⅱ）猜想下面用数学归纳法证明这个结论.①当时，结论成立. ②假设时结论成立，即，当时，，∴，∴即当时结论成立.由①②知对任意的正整数n都成立.2.给出下列不等式：1>12，1+12+13>1，1+12+13+14+15+16+17>32，1+12+13+⋯⋯+115>2，1+12+13+⋯⋯+131>52，……（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）1+12+13+14+⋯⋯+12n-1>n2n∈N+；（2）详见解析.【解析】（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1，……猜想不等式左边最后一个数分母2n-1，对应各式右端为n2，所以，不等式的一般结论为：1+12+13+14+⋯⋯+12n-1>n2n∈N+.（2）证明：①当n=1,2时显然成立；②假设n=k时结论成立，即：1+12+13+14+⋯⋯+12k-1>k2成立1+12+13+14+⋯⋯+12k-1+12k+⋯⋯+12k+1-2+12k+1-1当n=k+1时，>k2+12k+12k+1+⋯⋯+12k+1-2+12k+1-1 >k2+2k⋅12k+1-1=k2+12-12k>k2+12=k+12即当n=k+1时结论也成立.由①②可知对任意n∈N+，结论都成立.考点三利用数学归纳法证明等式【典例6】已知a，b，c，使等式1⋅22+2⋅32+⋯+nn+12=nn+112an2+bn+c对n∈N+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）a=3,b=11,c=10；（2）见解析【解析】(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]， 由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．【典例7】证明：＋＋…＋＝．(n∈N*)【答案】见解析【解析】【思路分析】第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n＝k(k∈N*)时命题成立，即＋＋…＋＝成立，并以此作为条件来推证等式＋＋…＋＋＝成立．【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【变式探究】1.数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．【答案】见解析 【解析】[错解]　(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2(2k－1)．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．[辨析]　错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．[正解]　(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．2.（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数y=f(n)，满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)]，且f(1)=2．（1）求证：f(3)-f(2)=910；（2）是否存在实数a，b，使f(n)=1a(-32)n-b+1，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）a=-45,b=15【解析】（1）因为f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)]，整理得f(n+1)=4-f(n)f(n)+2，由f(1)=2，代入得f(2)=4-22+2=12，f(3)=4-1212+2=75，所以f(3)-f(2)=75-12=910．（2）由f(1)=2，f(2)=12，可得a=-45,b=15．以下用数学归纳法证明存在实数，a=-45,b=15，使f(n)=1-45(-32)n-15+1成立．①当n=1时，显然成立．②当n=k时，假设存在a=-45,b=15，使得f(k)=1-45(-32)k-15+1成立， 那么，当n=k+1时，f(k+1)=4-f(k)f(k)+2=4-1(-45)(-32)k-15+11(-45)(-32)k-15+1+2=125(-32)k+85125(-32)k-25=1+165(-32)k-15=1-45(-32)k+1-15+1，即当n=k+1时，存在a=-45,b=15，使得f(k+1)=1-45(-32)k+1-15+1成立．由①，②可知，存在实数，a=-45,b=15，使f(n)=1a(-32)n-b+1对任意正整数n恒成立．【易错提醒】在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．