2022年高考数学一轮复习讲练测4.6 正弦定理和余弦定理（新高考浙江）（讲）原卷版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.6正弦定理和余弦定理（讲）【考试要求】掌握正弦定理、余弦定理及其应用【高考预测】（1）正弦定理或余弦定理独立命题；（2）正弦定理与余弦定理综合命题；（3）与三角函数的变换、三角函数的性质结合命题；（4）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、平面解析几何、立体几何等结合考查.【知识与素养】知识点1．正弦定理正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB【典例1】（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则7/7 A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解知识点2．余弦定理余弦定理：，，.变形公式cosA＝，cosB＝，osC＝【典例2】（2021·浙江高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：7/7 【重点难点突破】考点1正弦定理【典例3】（2019·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【易错提醒】由正弦定理可求sinB的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值．忽视角的范围，易于出错.【变式探究】（2021·宁波中学高三其他模拟）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，已知的面积等于10，，则___________，a的值为___________.考点2余弦定理【典例4】（2020·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.7/7 （1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.【总结提升】已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解.已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.【变式探究】（2019·北京高考真题（文））在△ABC中，a=3，，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．考点3正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2021·天津高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【总结提升】7/7 应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．【变式探究】（2019·全国高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．考点4应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例6】（2020·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．7/7 2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．【变式探究】（2021·全国高三其他模拟（文））在△中，若满足，则该三角形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点5与三角形面积有关的问题【典例7】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【规律方法】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．【变式探究】7/7 （2019·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．考点6与三角形周长有关的问题【典例8】（2020·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【规律方法】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.【变式探究】（2019·北京高考模拟（理））在中，角所对的边分别是已知．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长．【学科素养提升】数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】（2021·全国高三专题练习（理））中，内角所对的边分别是，且，则角=__________；设点是的中点，若，则线段的取值范围是__________.7/7