2022年新高考数学基础训练专题26 数列求和(解析版)

专题26数列求和【基础训练】一、单选题1．记为数列的前项和，若，，且，则的值为（）A．5050B．2600C．2550D．2450【答案】B【分析】讨论为奇数或偶数时，对应的数列通项，根据奇偶数项分组求和，即可求的值.【详解】当为奇数时，，数列是首项为1，公差为2的等差数列；当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列.则.故选：B.2．已知数列为等差数列，且，，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先由，，列方程组求出首项和公差，从而可得通项公式，所以得，进而利用裂项相消法可得结果【详解】设数列的公差为，由题意得，，解得，，∴，∴，∴.故选：C. 【点睛】此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题3．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】数列的前项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选：B.4．设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【分析】采用裂项相消法求数列的和【详解】因为，所以 故选C.5．数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将通项裂项为，由裂项相消法可求得结果.【详解】，的前项和为.故选：B.6．已知数列的通项公式为，则其前项和为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】，然后可算出答案.【详解】因为所以其前项和为故选：A7．已知数列的前n项和为，则此数列奇数项的前m项和为（）A．B．C．D．【答案】B 【分析】由，结合等比数列的定义可判断从第二项开始成等比数列，结合等比数列的求和公式即可选出正确答案.【详解】当时，，因为当n=1时，不满足，所以数列从第二项开始成等比数列，又，则数列的奇数项构成的数列的前m项和.故选:B.【点睛】易错点睛:本题的易错点是利用时，忽略该公式的成立条件，从而误认为成等比数列.8．已知数列的前项和为，且满足，则（）A．543B．546C．1013D．1022【答案】A【分析】首先根据求得数列的通项公式，再根据求和方法得到，进而可得的通项公式，最后根据分组求和方法得到结果.【详解】∵，∴，两式相减得：，即，，又当时，有，可得：，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴，，∴， ∴.故选：A.9．对于函数，部分x与y的对应关系如下表：x…123456789…y…375961824…数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（）A．7576B．7575C．7569D．7564【答案】A【分析】由表格对应关系，依次求解，发现周期特点，再并项求和.【详解】，，，，，，数列满足，则.故选：A.【点睛】周期数列的求和一般可以从并项求和或分组求和的两种思路出发：并项是指先每个周期进行求和，再计算多个周期的和，注意剩余项的处理；分组是指先将相等的项组合在一起求和，然后再整体求和.10．设数列的前项和为，，，，则的值为（）A．9B．11C．13D．15【答案】B【分析】先确定必为奇数，所以，进而转化为等比数列求和，求出，令可解得.【详解】 ∵为奇数，由可知相邻两项和为偶数，∴必为奇数．，，，．．．，，全部相加得，所以．故选：B.11．古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列，四边形数组成数列，记，则数列的前10项和为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题中的信息分别求出，再求出，最后裂项求和即可.【详解】由题意可得，，，所以，设数列的前项和为，所以，所以.故选：D.12．已知数列满足()，且中任何一项都不为，设数列的前 项和为，若，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】D【分析】由得，从而，再由即可求出.【详解】因为，所以，所以，即，所以，，所以，所以.故选：D.13．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得，利用等比数列的求和公式可求得，利用分组求和法可求得，由已知条件可得出关于的不等式，即可得解.【详解】，则，故数列是公比为的等比数列， 则，所以，，由可得，，所以，即.故选：B.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.14．设数列{an}满足，若，且数列{bn}的前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知可求得，再利用裂项相消法可求得.【详解】由可得，，，则可得数列为常数列0，即，，，. 故选：D.15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（　　）A．10212B．9212C．11212D．12212【答案】A【分析】先设等差数列的公差，根据公式求和，判断是等比数列{bn}的前三项，再求得公比和，代入计算，最后利用错位相减法求即可.【详解】设等差数列{an}的公差为，则，解得.故，即，由题意知，是等比数列{bn}的前三项，即，公比，故.故，，，两式作差得，，所以.故选：A.16．某算法框图如图所示，则该程序运行后输出的值为（）A．B．C．D． 【答案】C【分析】列举出循环的每一步，结合裂项相消法可求得结果.【详解】第一次循环，，，不成立；第二次循环，，，不成立；以此类推，执行最后一次循环，，，成立，跳出循环体，输出.故选：C.【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）.17．已知数列的前项和为，前项积为，且，．若，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用与关系可求得，并推导得到，由此可确定为等比数列，由等比数列通项公式可求得，利用可得，进而得到，利用裂项相消法可求得结果. 【详解】，，即，，又，．，，整理得：，又，，数列是首项为，公比为的等比数列，，，，.故选：A.【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果.18．已知等比数列的前n项和为，记，若数列也为等比数列，则（）A．12B．32C．D．【答案】D【分析】设等比数列的公比为q，对q分和两种情况进行讨论即可.【详解】解：设等比数列的公比为q，①当时，，不可能为等比数列；②当时，，， ，若数列为等比数列，必有，解得，有．故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是（1）要分和两种情况进行讨论；（2）当时，利用等比数列前n项和公式及分组求和法求出，然后结合等比数列通项公式即可求解.19．已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得，判断为递增数列，可得所求范围．【详解】解：首项，前项和为，，可得，时，，又，两式相减可得，则，可得，上式对也成立，则，，，， 则前项和，，相减可得，化简可得，由，可得为递增数列，可得，而，可得，综上可得，故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（）A．1009B．1010C．2019D．2020【答案】B【分析】由可得,则.再结合,可化简,从而可以求出正整数的最大值.【详解】,∴,∴,即数列为单调增数列, ,即,,,,即,正整数的最大值为1010,故选:B.【点睛】本题考查了数列的递推关系,运用了裂项相消法,放缩法等方法,属于数列的综合应用题,对学生的计算及推理能力有一定要求.21．已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足．若，为函数的导函数，则A．B．C．D．【答案】A【分析】通过数列各项都为正数的等比数列，且，，可以求出，而即求数列的前项和，通过错位相减法求出即可． 【详解】解：设等比数列的公比为，，，，且；或（舍．．，．，，．令，①则，②①②得：，．即．故选：．【点睛】本题考查了数列求和，以及导数的运用，综合性较强，属于难题．22．已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是A．B．C．D．【答案】C【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定 的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求．数列前项和，则，两式错位相减并整理即得.23．将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由三角函数的恒等变换化简方程，并求值，判断以，重复循环出现，且，，，计算可得所求和．【详解】解：，即为，即，所以或，，即或，，而，所以，，，，所以，，，， 后面的值都是以，重复循环出现，且，，，所以，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用反三角函数求得的值，从而得出循环，得出，，，从而求得结果.二、多选题24．已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（）A．543B．542C．546D．544【答案】AB【分析】由可得，然后求出，然后可得、，然后可解出答案.【详解】因为，所以，即，故数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则，所以，则，令，解得，即，故选:AB 25．我们把()叫作“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设，，表示数列的前项和，则使不等式成立的正整数的值可以是（）A．7B．8C．9D．10【答案】CD【分析】由题可得，利用等比数列得前n项和公式可得，利用分组求和可得，化简不等式，即可求出结果.【详解】()，，，，，.当时，左边，不满足题意；当时，左边，满足题意，故最小正整数的值为9.故选：CD.三、填空题26．在数列中，，，，记是数列的前n项和，则___________.【答案】1720【分析】根据数列的递推公式，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，分别求得奇数项和偶数项的和，即可求解.【详解】由题意知，数列中，，当n是奇数时，可得，又由， 所以数列中的偶数是以3为首项，2为公差的等差数列，则，当是偶数时，可得，所以数列中的相邻的两个奇数项之和均等于2，所以，则.故答案为：1720.27．已知数列满足，，，则下列表达式的值为____________．【答案】【分析】依次求得，由此求得所求表达式的值.【详解】，，，，，，，，．故答案为：28．数列的前项和为，且，且，则___________. 【答案】【分析】由求得，又可得，根据，求出，又因为，代入数据求解即可．【详解】由，又，得故答案为：29．设正项数列，已知，记，则数列的前10项和为______．【答案】10【分析】根据，得到，两式相除得到数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，然后分别求得，得到求解.【详解】∵，∴当时，．两式相除可得，∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，∴，，∴，则， 则的前10项和为．故答案为：1030．已知数列的通项公式，前顶和为，则值是__________.【答案】0【分析】利用分组求和，再求极限.【详解】，故答案为：0四、解答题31．已知数列的前项和为，，数列满足，．（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式；（2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式.（1）解：由，得，所以 又由，得，满足，所以，而，所以，所以；（2）证明：因为，所以.32．已知等差数列的前项和为，，．（1）求及；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；（2）由（1）可得，然后利用分组求和与裂项相消法求【详解】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，整理得，解得，∴，．（2），∴ ．33．设等差数列的前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意列出式子求出首项和公差即可求出通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【详解】（1）设数列的公差为，由题可得，解得，所以.（2）由（1）知，故，①①，②①②得，所以.34．已知等差数列的前项和为，且，．（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）;（2）证明见解析.【分析】（1）由已知条件列出方程组即可得出答案；（2）结合（1）中的通项公式，利用裂项相消法求出数列和，然后利用放缩法即可得出答案.【详解】 （1）设公差为，由题，解得，．所以．（2）由（1），，则有．则．所以．35．已知正项等差数列的前项和为，满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；（2）由（1）可得，从而可求出【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则由，得相减得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2） .36．已知数列满足，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项的和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用定义法求为定值即可；（2）利用分组求和法求得，即可得证.【详解】（1）因为，，，所以，又，所以数列是首项为1，公比为的等比数列.（2）由（1）得，所以，所以.37．已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列.（1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据题意设等差数列的公差为可得且有，联立即可得解；（2），利用等比数列求和公式以及裂项相消法即可得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，根据有，由成等比数列可得，，由，所以，解得，，所以，；（2）由（1）可得，.38．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】(1)先求出，再求，再验证时是否也成立，即可.(2)将裂项，即可求和.【详解】 (1)解：由可得，,当时，,式子对也成立.故数列的通项公式为，(2)由（1）得，,所以.39．设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a3＝5，S7＝49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）．【分析】（1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1由题意可得，解得，所以{an}的通项公式为an＝2n﹣1．（2）由（1）得，从而．40．已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）求得数列的通项公式，进而利用裂项求和法求得，结合数列的单调性证得.【详解】（1）解：，令，解得时，两式相减，得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）证明单调递增，所以1即