专题35抛物线一、单选题1．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据抛物线的标准方程可得出其准线方程.【详解】对于抛物线，，则，因此，该抛物线的准线方程为.故选：D.2．抛物线上点到其准线l的距离为1，则a的值为（）A．B．C．2D．4【答案】B【分析】首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可；【详解】解：抛物线即，可得准线方程，抛物线上点到其准线l的距离为1，可得：，解得.故选：B.3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（）A．1B．C．2D．3【答案】C【分析】利用抛物线的定义转化为到准线的距离，即可求得.【详解】
抛物线的焦点坐标为,准线方程为,,∴，故选：C.4．已知抛物线：的焦点，准线为，点，线段的中点在上，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】求得点的坐标，代入抛物线方程，由此求得，进而求得点到直线的距离.【详解】焦点为，线段的中点为，将点代入得，解得，点到直线的距离为.故选：C5．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题首先可写出抛物线的焦点以及双曲线的右焦点，然后根据抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合即可得出结果.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，，故选：A.6．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（）A．1B．2C．D．
【答案】B【分析】根据抛物线的定义，得到点到焦点的距离等于到准线的距离，得到，即可求解.【详解】由题意，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，解得故选：B.7．若抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，得到，求得，将点)在抛物线方程，即可求解.【详解】由题意，抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，可得，解得，所以，又由点)在抛物线上，代入得，解得.故选：A.8．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由抛物线的定义可求的值，进而可求焦点坐标.【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为，
由抛物线的定义知，即，所以，所以，抛物线的焦点坐标为，故选：A.9．已知是抛物线上一点，为坐标原点，若线段的垂直平分线经过抛物线的焦点，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可求.【详解】解：由题可得，因为线段的垂直平分线经过抛物线的焦点，所以.故选：B．10．若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出的值，再将已知方程化为抛物线的标准方程，即可得准线方程.【详解】由题意知，，可得，∴抛物线的方程为，即，故其准线方程为.故选：A.11．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.
【详解】抛物线的方程可化为x2y故其准线方程为y故选：D12．已知双曲线与抛物线共焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根据双曲线与抛物线共焦点，可确定双曲线的半焦距，再根据双曲线的性质及三角形的面积可得或，进而可得离心率.【详解】抛物线的交点坐标为，又双曲线与抛物线共焦点，双曲线的半焦距，三角形的面积为，且，，即，有，或，双曲线的离心率为或，
故选：C.13．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据抛物线的焦点坐标，结合双曲线的渐近线方程和等边三角形的性质进行求解即可.【详解】因为抛物线的焦点坐标为：，所以有，双曲线的渐近线方程为：，因为点在双曲线的渐近线上，是等边三角形，所以有，而，解得：，故选：A14．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（ ）A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．【详解】解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为设线段的中点为，则到准线的距离为：，过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理，可得，再由抛物线的定义知：，，．
故选：D.15．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点.若，且的面积为，则点到准线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意，得到，根据，得到，求得，，又由且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，结合，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，可得，又由且，所以，所以，解得，代入抛物线方程，可得，又由且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，所以的面积为，解得，即点到准线的距离是.故选：D.
16．已知抛物线C：x2=8y的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点．若的重心坐标为，则|AF|+|BF|+|DF|=（）A．12B．15C．18D．21【答案】B【分析】根据抛物线方程求出焦准距的值，根据的重心坐标公式，得到三点的纵坐标之和，最后利用抛物线的焦半径公式，求出的值.【详解】设点，由抛物线知，.由于的重心坐标为，所以，则，由抛物线的定义可知．故选：.17．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（）
A．B．C．D．【答案】B【分析】如图建系，设出抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出p值，进而可得答案.【详解】解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，与重合：设抛物线的方程为，由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，解得，所以抛物线的方程为：，焦点的坐标为，即，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为.故选：B.18．已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）
A．B．2C．D．【答案】D【分析】由，求得，代入抛物线方程求得，然后把点的坐标代入双曲线方程，即可解得离心率.【详解】根据对称性，设A在第一象限，B在第四象限，由，知，代入到抛物线方程中，即，解得，则将代入双曲线方程得，化简得，解得离心率为或（舍）故选：D19．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用抛物线的定义即可求解.【详解】若抛物线的准线方程：，由抛物线的定义得：，解得：.故选：B.【点睛】抛物线的焦半径公式：.20．已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）A．或B．或
C．或D．或【答案】A【分析】设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.【详解】设为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程为或．故选：A．21．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，
取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.22．抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【分析】若点在抛物线外部，由已知可得此种情况不存在；若点在抛物线内部，设线段的中点为，得，再由抛物线定义得可得答案.【详解】若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，因为线段的中垂线是，所以，由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，所以点不在抛物线外部；若点在抛物线内部，如下图，
设线段的中点为，，，因为线段的中垂线是，所以，再由抛物线定义得，解得或，所以时，，时，，故选：A.23．已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】联立方程组，结合根与系数的关系求得，根据，得到，代入抛物线，求得，即可得到抛物线的方程.【详解】设，联立方程组，整理得，则，可得，由点为的中点，所以设，因为，可得，又由点在抛物线上，可得，
即，解得或（舍去），所以抛物线的标准方程为.故选：B.24．抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】先由抛物线过圆的圆心，求出p,把A代入，求出m，利用两点间距离公式即可求解.【详解】将化为圆的标准方程，得，则圆心为(2，-4)，代入抛物线，得.所以，所以抛物线的方程为.因为点在抛物线上，则，焦点，由两点间距离公式可得点到焦点的距离为.故选：B.25．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（）A．2B．C．D．【答案】B【分析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.【详解】
设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，所以则，当最小时，则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，，整理可得，，可得，将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，所以，，所以的最大值为：，故选：B．【点睛】
关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．26．已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知得，设，，，求得，，进而得到，从而求得，利用，求点坐标，代入抛物线方程即可求解.【详解】由题意可知过所作圆的两条切线关于直线对称，所以，设，，，则，同理可得，，则，得，得，所以，故，将代入抛物线方程，得，得，故抛物线方程为．故选：A【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线的对称性，及抛物线的性质，有关抛物线的重要结论：过抛物线上任意一点（不与原点重合）作两条倾斜角互补的直线，分别交抛物线于点，，连接，则．二、填空题27．设正四面体的棱长是，、分别是棱、的中点，是平面内的动点.当直线、所成的角恒为时，点的轨迹是抛物线，此时的最小值是______.
【答案】【分析】设点在底面的射影点为，连接，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，由已知条件可得出关于、所满足的等式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】设点在底面的射影点为，连接，则，，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设点，则，，，整理可得，由题意可知，方程表示的曲线为抛物线，
所以，故，即有，可得，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.28．抛物线的焦点为，准线为，是上在第一象限内的一点，点在上，已知，，则直线与轴交点的坐标为___________.【答案】【分析】先画出图形，设，由及可得，，再设在上射影为，由抛物线定义，及，可得，进而再求出，，再由中点坐标公式求出点P的坐标即可.【详解】设，则，，由可得，设在上射影为，由抛物线定义，，因为，所以，故垂直平分，直线经过线段中点，
因为轴，所以中点在轴上，因为，，所以点的坐标为.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.29．已知、分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为，、为平面内两点，且当取得最小值时，点与点重合；当取得最大值时，点与点重合，则的面积为______.【答案】【分析】利用抛物线和圆的几何性质找出点、，并求出点、的坐标，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】抛物线的焦点为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：
抛物线的准线为，过点作抛物线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，则，当时，取最小值，此时取最小值，直线的方程为，联立，解得，即点，点到圆上任意一点的距离，当且仅当为射线与圆的交点，且为线段上的点，所以，，当且仅当为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，即点，
直线的斜率为，直线的方程为，即，，点到直线的距离为，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.30．在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过的中点到，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，，底面圆的面积为为底面圆的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为___________【答案】【分析】通过建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线方程，得到点坐标代入即可．【详解】过作平行，建立以为轴，以为轴的平面直角坐标系，为了直观说明，将图转换为常规形式，如图．
由图，设抛物线方程为，因为底面圆O的面积为，所以，在中，，又因为为中点，故，∴，代入得：．∴．所以该抛物线的焦点到准线的距离为．故答案为：.【点睛】易错点睛：解题时，应注意抛物线定义中焦点和准线的表示．31．设，则的最小值为______________．【答案】【分析】设点、，则表示再加上点的横坐标，利用抛物线的定义可得出（其中为抛物线的焦点），利用导数求出的最小值，即可得解.【详解】.设点、，则表示再加上点的横坐标，
其中点为抛物线上的一点，该抛物线的焦点为，准线为.作出函数与抛物线的图象如下图所示：过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设交轴于点，则，当且仅当、、三点共线时，等号成立，下面利用导数求出的最小值，，构造函数，其中，，且函数单调递增，当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.，，因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解的最值时，充分利用了导数来求解.三、解答题
32．已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合.（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点F作直线l交抛物线Γ于A，C两点，过A，C作l的垂线分别与y轴交于B，D，求四边形ABCD面积的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）先求得椭圆的焦点坐标，再根据抛物线的焦点为椭圆的一个焦点求解；（2）设直线AC：y=kx+1，与抛物线方程联立，设，根据直线的位置关系，得到直线AB的方程，令x=0得到点B的坐标，同理得到点D的坐标，然后由结合韦达定理求解.（1）解：椭圆的焦点坐标为：，因为抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，所以，故抛物线Γ的方程为；（2）解：设直线AC：y=kx+1，代入抛物线方程得:，设，则，直线，，同样可得，，，，由抛物线对称性，只需考虑的情形，
则，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，四边形ABCD面积最小，最小值为：.33．已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．（1）求的标准方程；（2）设点在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点（异于点）．证明：直线恒过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题可知,代入抛物线，,求出p的值,即可得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，，，利用化简可得或，代入直线方程即可得证.【详解】（1）由，，可得，代入：．解得或（舍），从而：．（2）由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，由，得，从而，且，．
又，，∵∴，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与点重合，不符合：若，则，过定点．综上，直线过异于点的定点．34．已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与直线交于点、（为原点）.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，试问：的外接圆是否恒经过轴上的定点（异于点）？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，.【分析】（1）根据抛物线的焦准距可求得的值，即可得出抛物线的方程；（2）设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，求出点、的坐标，根据圆的几何性质可求得的外接圆圆心的坐标，根据结合两点间的距离公式求出的值，即可得出结论.【详解】（1）由题意可知，抛物线的焦点到其准线的距离为，因此，抛物线的方程为；（2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，直线的方程为，联立可得，即点，同理可得点，设的外接圆圆心为，由于轴，则，假设的外接圆恒过轴上一点，则，故点的坐标为，由于，从而，整理可得，解得，
因此，的外接圆是否恒经过轴上的定点.35．已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．（1）求的方程；（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【分析】（1）根据题意得，，进而解方程即可得答案；（2）（ⅰ）设中点为，则，，进而分和两种情况求解直线方程，以证明直线过定点；（ⅱ）直线与抛物线联立方程消去，根据韦达定理与弦长公式求得当且仅当时等号成立，进而得直线，再讨论，位于直线两侧时得，进而根据点到直线的距离求解点到直线的距离以求解四边形的面积.【详解】解：（1）由抛物线的性质得，所以根据抛物线的定义得：，解得，所以的标准方程为．（2）设，且．（ⅰ）证明：设中点为，则，，当时，；当时，，则，，
令，得，故直线过定点综上，恒过定点．（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，由，得，，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，此时直线的方程为．对于直线，，所以点在同侧，不合题意，对于直线，满足，位于直线两侧，所以直线，点到直线的距离，点到直线的距离，所以．36．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，且也是抛物线的焦点，若椭圆的离心率为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线分别交椭圆于，，分别交抛物线于，，的面积记为，的面积记为．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）若，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）3，（ⅱ）或．【分析】（Ⅰ）借助待定系数法利用离心率及点在椭圆上的已知条件即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）（ⅰ）利用点到直线的距离及弦长公式计算三角形的面积，再利用换元法构造函数求最值即可；（ⅱ）借助等量关系求出数值，即可求得直线的方程．【详解】（Ⅰ）由题意得，∴，，∴椭圆方程为．又点在椭圆上，代入解得，∴所求椭圆的方程是．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程是，点到直线：的距离．（ⅰ）由消去整理可得，易知，设点，，则，，则．
．令，则．令，在恒成立，∴函数在上单调递增，，，∴当且仅当时取最大值为3．（ⅱ）由（Ⅰ）可得抛物线，由消去并整理得，．设点，，则，，则，∴，故，解得，∴所求直线的方程是或．37．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用已知条件，列出方程组，求解，即可求出的标准方程．（2）设，，，，且．设中点为，当时，，；当时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与联立方程消去，整理得，利用韦达定理，弦长公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的标准方程为．（2）设，，，，且．设中点为，则，，当时，，；当时，，则，即，与联立方程消去，整理得，由，得，，，，当且仅当，即，即时，取“”，所以的最大值为10，此时的方程为．38．如图，抛物线的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（1）求抛物线E的方程；（2）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为判断是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值【分析】（1）由的坐标求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求出的值，从而得到抛物线的方程．（2）由（1）可知，，，，设，，，，设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得，，联立直线与准线方程，求出点的坐标，利用斜率公式表达出，，，把，代入的表达式，化简整理，即可得到为定值．【详解】解：（1），，四边形是边长为1的正方形，，，代入抛物线方程得：，抛物线的方程为：．（2）是定值，理由如下：由（1）可知，，，，设直线的方程为，联立方程，消去得：，设，，，，，，
联立方程，得，，，，，把，代入得：，，为定值．39．已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，可得，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，再由直线与双曲线的右支交与两点，可得，则，代入上式化简可求得结果【详解】解：（1）由题意得，，解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，设，，联立，整理可得，所以所以直线与双曲线右支有两个交点，所以所以，设，所以【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出，再结合，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题40．已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，抛物线在点、处的切线互相垂直.（1）求抛物线的方程；（2）若以为直径的圆与直线相切，求.【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，求得，利用已知条件结合导数的几何意义可求得正数的值，即可得出抛物线的方程；（2）求出以及线段的中点的坐标，由已知条件可得出点到直线的距离等于，可得出关于的方程，即可解得的值.【详解】（1）设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，抛物线对应的函数解析式为，求导可得，因为抛物线在点、处的切线互相垂直，则，解得，因此，抛物线的方程为；（2），所以，，，所以，，设线段的中点为，则，，即点，因为以为直径的圆与直线相切，则，即.①若，则，即，解得或，合乎题意；②若，则，即，判别式，方程无实解.综上所述，或.41．已知抛物线的准线方程为过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.（1）求实数的值；（2）求直线的方程.
【答案】（1）2；（2）【分析】（1）由准线方程求得p，写出抛物线方程；（2）设直线l的方程为，，联立抛物线方程，求得韦达定理，，代入韦达定理求得m，写出直线方程即可.【详解】（1）由准线方程为知，，故.（2）由（1）知，抛物线方程为，设直线l的方程为，，联立抛物线方程，化简得则，由线段的中点为知，，代入韦达定理知，，解得，故直线的方程为.42．已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；（2）设，及直线的方程，与抛物线的方程联立，由判别式､韦达定理得出，，结合已知条件求出的值，即可求得直线的方程.
【详解】（1）由题设知，双曲线的右顶点为，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.（2）设，，显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，消去得，由得，即，∴，.又∵，，∴，∴，即，解得或，∴直线的方程为或.43．设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(4，m)(m>0)是抛物线C上一点，且|PF|=5.（1）求抛物线C的方程；（2）若A，B为抛物线C上异于P的两点，且PA⊥PB.记点A，B到直线y=-4的距离分别为a，b，求证：ab为定值.【答案】（1）y2=4x；（2）证明见解析.【分析】（1）点P在抛物线C上可得，从而得到抛物线C的方程；（2）由P是抛物线C上一点得m，设直线PA的方程与抛物线方程联立得，由AM⊥AN得，再由韦达定理可得答案.【详解】
（1）P(4，m)(m>0)是抛物线C上一点，且，∴，解得p=2，即抛物线C的方程为y2=4x.（2）由P(4，m)是抛物线C上一点，代入抛物线方程得m=4，设直线PA的方程为x-4=t(y-4)(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由，消去x得y2-4ty+16(t-1)=0，即(y-4)(y-4t+4)=0，∴y1=4t-4.从而∵AM⊥AN，∴用代t，得，，∴，即ab为定值.44．已知直线l：与抛物线C：交于A、B两点，O为坐标原点，．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若过点A的另一条直线l1与抛物线C交于另一点M，与y轴交于点N，且满足|AN|＝|AM|，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用，求得参数即可；（2）设直线BM的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m，最后利用弦长公式计算，利用二次函数判断最小值即可.【详解】解：（1）依题意，设，由，消去y，得，，
，，即，即，所以，解得，抛物线C的标准方程为；（2）由题意知，直线BM的斜率存在，故可设直线BM的方程为，，由，消去y，得，，由（1）知，，故，由题意知三点共线，且|AN|＝|AM|，即A为线段的中点，设，则，即，即，，，故时，最小为.【点睛】思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或，解决相关问题.45．已知抛物线E：y2＝2px（0＜p＜10）的焦点为F，点M（t，8）在抛物线E上，且|FM|＝10.（1）求抛物线E的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B，C，D，P、Q分别为弦AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值.
【答案】（1）；（2）16.【分析】（1）根据已知条件列出方程组，解方程组即可得出结果；（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出相关点的坐标，进而表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）因为抛物线的准线为，由抛物线的定义可得，又因为点M（t，8）在抛物线E上，所以，即，由于0＜p＜10，解之可得，所以抛物线的方程为；（2）因为，由题意可知AB、CD的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，，联立得，设，则设，则，则，所以，同理可得，故，，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以，故△FPQ面积的最小值为16.46．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作C的切线，交点为P.
（i）证明：；（ii）若直线FP交C于M，N两点(M在线段FP上)，求四边形面积的最小值.【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）最小值为8.【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点到其准线的距离为，解得，即可得出答案．（2）（ⅰ）设，，，，，，直线方程为，联立抛物线的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得，，利用导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线的方程，同理可得，抛物线在点处的切线方程，联立上述两切线方程，解得，，计算，即可得出答案．（ⅱ）由抛物线的定义可得，，再结合基本不等式得最小值．【详解】解：（1）抛物线C的焦点为，准线方程为，所以焦点F到其准线的距离为，因为，解得.所以抛物线C的方程为.（2）（i）证明：由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为，代入抛物线方程，整理得.设，，，则，.函数的导数为，故抛物线在点A处的切线方程为，化简得，同理，抛物线在点B处的切线方程为，联立上述两切线方程，解得，，因为，，所以，
所以.（ii）显然，由（i）知，所以，因为，所以直线MN的斜率为，将替换上式中的k，可得，所以，因为，当且仅当，即时，取等号.所以，所以，当时，四边形AMBN面积的最小值为8.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是抛物线定义的使用，二是掌握求切线的方法，三是在求面积最值时基本不等式的运用.47．已知抛物线C的方程为，它的焦点F到点M的距离为.（1）求抛物线C的方程；（2）A､B､D是抛物线C上不同三点，且△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求的最小.【答案】（1）；（2）16.【分析】（1）根据距离公式，直接带入求值即可得解；（2）根据抛物线方程设，由，由△ABD为直角顶点的等腰直角三角形，所以
，由可得，带入整理即可得解.【详解】（1）由焦点F，距离公式可得，解得或者（舍），所以抛物线方程为，（2）设，，由△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，如图，分别作垂直和平行于轴的直线相交于，过分别作垂直和平行于轴的直线相交于则，所以，所以，所以（*），由，可得，整理可得，由互不相等，所以，即，带入（*）式可得：，当时，△ABD的面积最小，此时.
【点睛】本题考查了抛物线方程，考查了抛物线上的点的相关性质，考查计算这一核心能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）首先利用设点，根据条件得到各个量之间的关系；（2）计算能力和计算技巧是本题的关键能力.
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