2022年高考数学一轮复习验收综合模拟卷（九）（解析版）（新高考专版）

2022年高考数学一轮复习验收综合模拟卷(九）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以的虚部为．故选：A2．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由已知，所以．故选：A．3．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题得抛物线的准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，故抛物线方程为，故选：B．4．张衡（78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A， B，若线段AB的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）A．9B．9.42C．D．【答案】D【详解】由正方体的性质知：其外接球与内切球的球心重合，所以两球的球面上两点A，B的距离最小时，球心与A，B共线，且在球心的同侧，若正方体棱长为a，内切球半径，外接球半径，∴，即，则，∴外接球的表面积，而，有，∴.故选：D.5．设随机变量服从正态分布，若函数有零点的概率是，则（）A．8B．25C．10D．16【答案】B【详解】因函数有零点，则，即，于是得，又，根据正态分布的对称性知，所以.故选：B6．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当很大时，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知，用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（）A．0.03B．0.12C．0.17D．0.21【答案】B【详解】 而，与实际的的误差绝对值近似为：，故选：B7．已知，若对于任意的实数m，不等式恒成立，则cos∠BAC＝（）A．B．C．－D．【答案】C【详解】因为，，且关于的不等式恒成立，所以，所以，整理得对于任意实数恒成立，所以，所以，，故选：C.8．已知函数在上有零点，函数．当时，函数的最大值与最小值的差为2，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：，当时，，故函数在上递减，又因函数在上有零点，所以，解得.当时，，当时，，则函数的最大值，最小值， 则，符合题意，所以；当时，，则函数的最大值，最小值，则，符合题意，所以；当时，，则函数的最大值，最小值，则，解得则，（舍去）；当时，，则函数的最大值，最小值，则，解得，（舍去），所以函数．当时，函数的最大值与最小值的差为2，或，综上所述，.故选：C.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（）A．a的值为-2B．乙组样本数据的方差为36C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同【答案】ABD【详解】由题意可知：，故，故A正确；乙组样本数据方差为，故B正确；设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为，则甲组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；故选：ABD. 10．已知函数为偶函数，，则常数θ的可能值为（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】依题意，恒成立，所以,即成立.所以对任意x成立,显然，所以，，所以,当时，；当，则，故选：BD.11．如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是（）A．四棱锥的体积为B．存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值C．当点为的中点时，在直线上存在点，使得D．存在唯一一点，使得平面，且【答案】ABC【详解】长方体中，，，，对于A，，，平面，平面，故平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设点到平面的距离为，过点在平面内作，如图1所示，平面，平面，则，，平面，且，故，同理可得， 所以，A对；对于B选项，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，故四边形为平行四边形，则四边形的周长为，将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面内，如图2所示，则的最小值为展开面中的长度，此时点为与的交点，，所以四边形的周长的最小值为，B对；对于，，即，所以，，解得，C对；对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则、、、，设，则，，，因为平面，则，解得，即，D错.故选：ABC.12．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（）A．数列是公比为的等比数列B．C．数列是公比为的等比数列D．数列的前n项和【答案】BD【详解】如图： 由图知，对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；对于BC：因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；对于D：因为，故D正确，故选：BD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）13．在复平面内，复数，则的最小值为___________.【答案】【详解】由题意知：在以原点为圆心，1为半径的圆上，即上，而对应的点为，∴的最小值为表示的点到圆心的距离减去所在圆的半径，即为.故答案为：.14．请你写出一组，使得成立：___________.【答案】.【详解】由题意，要使得成立，例如：，此时满足，满足. 故答案：.（答案不唯一）15．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】因为，所以，由不等式恒成立，得，解得，或，故实数的取值范围为或.故答案为：或.16．已知函数.（1）当,，则的最大值为__________；（2）若对任意、，都有，则的取值范围为__________.【答案】【详解】（1）当时，，因为，当时，取最大值，即；（2）函数，设，则.问题等价于对任意的、，都有，即.①当时，即当时，函数在上单调递增，则，解得，此时，；②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故， ，则有，可得，解得，此时，；③当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故，，则有，可得，解得，此时，；④当时，即当时，函数在上单调递减，则，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：（1）；（2）.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17．已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式.（2）若，，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）由……①得……②①-②得，由得， 是以2为首项,公比为2的等比数列，.（2）18．在中，．（1）求角，，的大小；（2）若边上的中线的长为，求的面积．【答案】（1），；（2）【详解】解：（1）由，可知，从而有．又，，（舍去），或．，．（2）设，则，在中，，，，的面积．19．某医院为筛查某病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，为了优化检验方法，现在做了以下两种检验方式：实验一：逐份检验，则需要检验次.实验二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中（ 且）份血液样本，记釆用逐份检验方式，需要检验的这份样本的总次数为，釆用混合检验方式，需要检验的这份样本的总次数为.（1）若每份样本检验结果是阳性的概率为，以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率，从全市人民中随机抽取3名市民，（血液不混合）记抽取到的这3名市民血液成阳性的市民个数为，求的分布列及数学期望（2）若每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值.（，，）【答案】（1）分布列见详解；；（2）【详解】（1）由题意可知血液程阳性的概率为，可得，，，，，的分布列如下：.（2）由题意知，得，即，， ，，设，则，令，则，时，，即在上单调递减，又，，，又，，，的最大值为20．如图，在四棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）点G为的中点时，二面角的大小为30°，证明见解析.【详解】（1）因为，，所以，△ADP为直角三角形，所以AD⊥PD.又，,面ABCD，面ABCD，所以⊥面ABCD，所以.（2）由题意可知：ABCD为一个等腰梯形.过D作DE⊥AB于E，则.以D为原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.则：显然即为平面ABC的一个法向量. 假设在棱上存在点G，使得二面角的大小为30°.不妨设，则,.设为面GAB的有一个法向量，则，即，不妨设x=1，则有：.因为二面角的大小为30°，所以，即，即，解得：.即点G为的中点时，二面角的大小为30°.21．已知C为圆(x＋1)2＋y2＝12的圆心，P是圆C上的动点，点M(1，0)，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；（2）过点(1，0)的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆， 所以a＝，c＝1，b＝＝，所以椭圆C的标准方程为.（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为(1，0)，①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，则A，B，E(1,1)，F(1，－1)，所以|AB|＝，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝＝＝.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d＝，所以|EF|2＝4＝，所以|AB|·|EF|2＝·＝＝·＝.因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈.综上，|AB|·|EF|2∈.22．已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【详解】（1），（）.当时，，单调递增；当时，，单调递减，故单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由得，即，令，，令，，在单调递增，又，，所以有唯一的零点，且当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以，又，则，所以，所以，即的取值范围是.