专题32圆与方程一、单选题1．已知圆，过点的直线l（不与x轴重合）与圆C相切，则直线l的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求出圆心和半径，然后设圆与x轴相切于点A，l与圆相切于点B，点，则可得，从而可求出直线l的倾斜角，再求出斜率，进而可求出直线l的方程【详解】圆C可化为，∴圆心C坐标是，半径是．设圆与x轴相切于点A，l与圆相切于点B，点，则，故，即直线l的斜率为，即l的方程为，即．故选：D2．已知直线，曲线，则下列说法正确的是（）A．“”是曲线表示圆的充要条件B．当时，直线与曲线表示的圆相交所得的弦长为1C．“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件D．当时，曲线与圆有两个公共点【答案】C【分析】对于A，先找充要条件再判断；对于B，先求圆心到直线的距离到计算弦长即可判断；对于C，先找充要条件再判断；对于D，先求圆心距再判断.【详解】对于A，曲线，曲线要表示圆，则或，
所以“”是曲线表示圆的充分不必要条件，故A错误；对于B，时，直线，曲线，圆心到直线的距离，所以弦长，故B错误；对于C，若直线与圆相切，圆心到直线的距离，所以“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；对于D，当时，曲线，其圆心坐标，，曲线与圆两圆圆心距离为，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：在判断充分条件、必要条件时，一般先找到充要条件再进行判断；涉及到圆相切、弦长、两圆的关系时，这些都和距离有关.3．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则（）A．2B．C．D．4【答案】B【分析】由弦长为2，确定是等边三角形，得圆心到直线的距离，求得参数后得直线的倾斜角，由计算可得．【详解】直线过定点在圆上．圆半径为，所以是等边三角形，圆心到直线的距离为，所以，，
直线的斜率为，倾斜角为，所以．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法利用弦长求得圆心到直线的距离，这是解题的关键，从而得直线中的参数值．求得直线的倾斜角后，根据线段长之间的关系计算．4．已知双曲线绕原点顺时针转动，就会得到双曲线，类比可知，以双曲线的对称中心为圆心，焦距为直径的圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】，然后可得到其对称中心，根据题意类比可得其焦距，然后可得答案.【详解】由，可知此双曲线是由双曲线平移得来的，对称中心为，双曲线绕原点顺时针转动，就会得到双曲线，所以焦距为，所以所求圆的标准方程为．故选：A5．已知大圆与小圆相交于，两点，且两圆都与两坐标轴相切，则（）A．4B．C．D．6【答案】B【分析】设出圆心坐标，根据在圆上求得圆的方程，由此求得圆心距.【详解】由题知，大圆与小圆都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为，
其方程为，将点或代入，解得或，所以，，可得，，所以.故选：B.6．已知直线过点，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意可知点在单位圆上，所以直线与该圆有交点，由点到直线的距离可得答案.【详解】由可得点在单位圆上，所以直线和圆有公共点.所以圆心到直线的距离，即得到.故选：D7．如图，大圆与小圆内切于点，，且，分别与圆相切于点，.若，，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】C
【分析】过点作于点，根据圆的垂径定理、圆的对称性，结合扇形的面积、圆的面积公式进行求解即可.【详解】如图，过点作于点，由垂径定理得为的中点.连接.因为切于点，所以.因为，所以四边形为矩形，所以.连接，，因为，，所以在中，，，所以由勾股定理得，因为，所以为等边三角形，所以，设扇形的面积为，所以直线上方阴影部分的面积：，所以题图中阴影部分的面积是.故选：C【点睛】关键点睛：利用圆的对称性、圆的垂径定理进行求解是解题的关键.8．若直线与圆相切，则实数的值为（）
A．B．C．D．【答案】C【分析】由圆的一般方程得到标准方程，从而求出圆心坐标和半径，由直线和圆的位置关系可得，从而可求出则实数的值.【详解】解：圆的方程为，则圆心坐标为，半径为1，所以圆心到直线的距离，解得，故选:C.9．已知双曲线的离心率为，它的渐近线与圆相切，则的值为（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【分析】先根据离心率得到，求出渐近线后可求，从而可求的值.【详解】因为双曲线的离心率为，故，而，所以，故渐近线方程为且，因为圆与渐近线相切，故，故，故选：C.10．已知直线与圆交于，两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】
由圆心到直线的距离为和点到直线的距离公式可得.【详解】由，即，半径为2，若，则圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，解得，因为，故，故选：B.11．已知圆与圆(是正实数)相交于两点，为坐标原点.当的面积最大时，则的最小值是（）A．B．8C．7D．【答案】B【分析】由相交两圆的方程，求出直线AB方程，最大时为直角，由点直线距离求出m，n的关系，利用函数单调性即可得解.【详解】因圆与圆相交，则直线AB方程为：，又|OA|=|OB|=1，则，当且仅当取“=”，即为等腰直角三角形，点O到直线AB的距离为，则，
，而是正实数，则，即，当且仅当时取“=”，令函数，则，f(x)在上递减，，所以的最小值是8.故选：B【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.12．已知双曲线的斜率为正的渐近线为，若曲线上存在不同点到的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据已知条件求得的取值范围，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】由题意知，曲线即，曲线表示以点为圆心，以为半径的圆的上半部分（包含端点）.点到直线的距离，
曲线的一个端点到直线的距离.因为曲线上存在不同点到的距离为，所以，整理得，故，则，所以，双曲线的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.13．已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】先求得圆心到直线：的距离d，再根据点到的最小距离为，再由求解.【详解】圆心到直线：的距离为：，因为点到的最小距离为，所以，即，又因为，所以，故选：C14．直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（）A．B．
C．D．【答案】A【分析】将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】整理圆的方程可得：，圆心，倾斜角为，其斜率，方程为：，即.故选：A.15．点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由直线方程可构造方程组求得定点，由圆的方程确定圆心坐标和半径，则.【详解】整理直线方程得：，由得：，，由圆的方程知圆心，半径，.故选：D.【点睛】结论点睛：若圆心与圆外一点间距离为，圆的半径为，则圆外一点到圆上的点的距离最大值为，最小值为.
16．已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，可求得、、的值，可得出圆心的坐标，求出所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】设圆的一般方程为，由题意可得，解得，所以，圆的方程为，圆心为，直线的斜率为，因此，圆在点处的切线方程为，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．17．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点
为圆上一动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设点，分和两种情况讨论，结合三角恒等变换以及正、余弦函数的有界性可求得的最大值.【详解】设点，则.①当时，即当，，因为，所以，，当时，取得最大值；②当时，即当时，，因为，则，当时，取得最大值.综上所述，的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：解决与圆或椭圆有关的最大值和最小值以及取值范围的问题，常常设圆或椭圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值以及取值范围的问题，注意三角恒等式（其中，其中，且角的终边过点）.18．“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解.【详解】命题p：点在圆外等价于，命题q：直线与圆相交等价于，从而有，所以p是q的必要不充分条件.故选：B19．若圆被直线截得的弦长为6，则（）A．26B．31C．39D．43【答案】C【分析】将圆化作标准形式，由圆心到弦的距离，求得半径与弦长及距离的关系，从而求得半径，求得参数m.【详解】将圆化为，所以圆心到直线的距离，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以，解得故选：C20．已知圆在，两点处的切线均与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题设可知直线过圆心且与直线垂直，求出直线斜率即可得解.【详解】由题知，圆在，两点处的切线均与直线平行，
可知直线过圆心且与直线垂直，设直线的斜率为，则，解得，故直线的方程为．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切，解题的关键是通过题设知直线过圆心且与直线垂直，从而求出直线的斜率，考查学生的逻辑思维能力，属于一般题.21．已知圆，若圆上的点到直线与直线的距离之和的最小值为1，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先数形结合分析可知，当半径为1的圆与直线上运动时，圆与直线或有交点时，满足条件，根据临界值求实数的取值范围.【详解】直线与直线之间的距离为，如图，作出直线和直线，圆，圆心是，半径为1，所以圆的圆心在直线上移动，当圆与直线或有交点时，存在圆上的点到两条直线的距离之和的最小值为1，
数形结合可知当圆心在线段上运动时（，），圆上的点到直线与直线的距离之和的最小值为1，故实数的取值范围是.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题的关键是数形结合分析直线与圆相切时是本题的临界值.22．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】求得，，然后以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，可得出中边上的高的最大值，由此可求得面积的最大值.【详解】由正弦定理可得，设的外接圆半径为，则，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则、，设点，由，可得，化简可得，所以，的边上的高的最大值为，因此，.故选：A.【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；（2）定义法：根据圆的定义写出方程；（3）几何法：利用圆的性质列方程；（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．23．已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【答案】A【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值．【详解】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为，又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即
，所以直线CD恒过定点，又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，所以，所以的最小值为，故选：A．【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.24．若圆上的两个动点满足点在圆上运动，则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】根据弦长为定值，设的中点为，则：，所以点在以原点为圆心，再由，进而求的最小值即可.【详解】解析由可知圆心为坐标原点，半径为，因为，所以圆心到直线的距离
，设的中点为，则：，所以点在以原点为圆心，以为半径的圆上，所以点的轨迹方程为因为为的中点，所以，因为点在圆上运动，圆的半径，所以.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是解得的中点为的轨迹为圆，从而可以借助于圆处理最值.25．已知点为直线：上一点，点为圆：上一点，则的最小值为（）A．B．C．1D．【答案】A【分析】根据直线与圆的相离关系，利用圆上动点到直线的距离最小，则有、在过圆心与直线l的垂线段上，结合点线距离公式及圆的半径即可求的最小值.【详解】如下图示，由题意知，圆心且，则圆心到直线的距离为，、是直线l和圆C上的动点，.
∵由图知，，而，∴要使最小，当和重合时，∴.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线距离，求圆上一点到直线上一点的最小距离.26．已知直线：与圆心，半径为5的圆相交于点，，若点为圆上一个动点，则的面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先算出圆心到直线的距离和弦长，根据圆上的点到直线的距离的最大值为（为圆的半径）即可求解.【详解】圆心到直线的距离所以弦长故的面积的最大值为故选：D
27．过的直线与圆相切，则直线的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】对直线的斜率分两个情况讨论得解.【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，所以，解之得.所以.所以直线的方程为或.故选：C【点睛】易错点睛：利用直线的斜率解题时，不要漏掉了斜率不存在的情况，本题容易漏掉直线.28．“”是“圆与圆”相切的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆相切时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径为；则两圆圆心距；当时，，两圆相外切，充分性成立；当两圆相外切时，，此时；当两圆相内切时，，此时；可知若两圆相切，则或，必要性不成立，
“”是“圆与圆”相切的充分不必要条件.故选：A.29．圆：的内接等边三角形的顶点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】作出图形，然后等边三角形边长为，根据以及三角形面积公式计算可得结果.【详解】如图假设等边三角形边长为，则，所以所以故选：A30．圆：上的点到直线：的最大距离为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，加上半径，即可求出圆上的点到直线的最大距离.【详解】
由题意，圆心到直线的距离，所以，圆上的点到直线的最大距离是，故选：B.二、填空题31．已知圆，则直线和圆的位置关系为___________.【答案】相交【分析】根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论.【详解】解：由圆得，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线和圆的位置关系为相交，故答案为：相交.32．如图，矩形中，，，以为直径的半圆上有一点，若，则的最大值为___________.【答案】【分析】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M的方程，设
，由，得出，再设（为参数），代入中，根据三角函数的值域，可求得最大值.【详解】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，所以，，，，，圆M的方程为，设，又，所以，解得，又点P是圆M上的点，所以（为参数），所以，其中，所以，当时，取得最大值，故答案为：.33．由直线上的一点向圆C：（为参数）引切线，则切线长最小值为__________.【答案】3【分析】由题意可知切线长最短时，直线上的点为过圆心作直线的垂线的垂足，即求出圆心到直线的距离即可求出结果.
【详解】设直线上任一点,切点为，则,因为为半径，所以最小，即求最小，最小值为圆心到直线的距离，而圆心到直线的距离，圆半径为3，则切线长最小值.故答案为：3.34．设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于____．【答案】1【分析】设圆的圆心为，由题意可知，当与直线垂直时，取得最大值，然后利用点到直线的距离公式求出的最小值，因为为，可得，进而可求出圆的半径【详解】设圆的圆心为，因为点P是直线上的动点，所以当点到点的距离最小时，取得最大值，此时与直线垂直，因为为，所以，点到直线的距离为，在中，，故答案为：135．已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是___________.【答案】【分析】
首先根据题意画出图形，根据题意得到符合条件的点在以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点之间，再联立方程组求解即可.【详解】如图圆，在直线上，若圆存在点，使得，当在直线上运动，极端情况，与圆相切，.在中，，所以.所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点.符合条件的点在线段之间.所以或.故的取值范围为.故答案为：三、解答题36．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆交于，两点，为圆上不同于，的动点，若满足面积为的点
恰有两个，求的取值范围．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用加减消元法，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；（2）根据圆的弦长公式，结合圆的性质进行求解即可.【详解】（1）由（为参数）得，故直线的普通方程为；由及公式得，即圆的直角坐标方程为．（2）圆化为标准方程是，圆心为，半径．因为圆心到直线：的距离，，因为满足面积为的点恰有两个，所以，解得的取值范围为．37．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.【答案】（1）：；：；（2）相交，.【分析】(1)消去曲线的参数方程中的参数可得其普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式即可得曲线的直角坐标方程；(2)确定曲线，的形状，利用几何法求解即得.
【详解】(1)由消去参数得：，所以曲线的普通方程为，由得：，将代入得：，即，所以曲线的直角坐标方程为；(2)由(1)知曲线是以为圆心，为半径的圆，曲线是以为圆心，为半径的圆，于是得，即圆与圆相交，设公共弦长为，因两圆半径相等，从而得公共弦垂直平分线段，于是得，解得，所以公共弦长为.38．已知点在抛物线：上，过点作圆：的两条切线，切点为，，延长，交抛物线于，.（1）当直线抛物线焦点时，求抛物线的方程与圆的方程；（2）证明：对于任意，直线恒过定点.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）由点在抛物线上，求出，利用，，，四点共圆知是以为直径的圆和圆的公共弦，求出圆方程，通过两圆方程相减可得的方程，利用过拋物线焦点，可求出；（2）设出点，坐标及直线，的方程，利用圆心到切线距离等于半径，建立，的关系，再联立切线与抛物线方程，可建立，与，的关系，代入直线的方程，即可证明直线过定点.【详解】（1）因为点在抛物线：上，所以，解得，
所以抛物线的方程为.以为直径的圆的方程为.依题意，直线是圆和圆的公共弦，则直线的方程为.又直线经过抛物线焦点，所以，所以圆的方程为.（2）证明：设，，则的方程为.①设直线的方程为，即.依题意得即.设直线的方程为，同理可得，则，.联立消去并整理得.因为点，在直线上，所以，同理可得，于是，，代入①中得，
即，所以直线过定点.39．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）直线上的M到极点O的距离是，求点M的极坐标；（2）设直线与相交于两点，求四边形的面积【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程中，可求出，即可求出点的极坐标；（2）先求出圆及直线的直角坐标方程，进而求出点和原点O到直线的距离，及弦长，即可求出四边形的面积.【详解】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程，可得，因为，所以，所以点M的极坐标为；（2）把圆的方程化为普通方程得：，圆心，半径为2，把直线的方程化为直角坐标方程得：，如图，设圆心到直线的距离为，则，
设原点到直线的距离为，则，，所以，所以四边形的面积：.40．已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.设的外接圆为.（1）若，求的标准方程；（2）求面积最小时的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由三角形三个顶点坐标求其外接圆，应利用“三角形三边中垂线交点是其外接圆的圆心”来求解；（2）思路基本与第（1）问相同，在计算圆面积时利用基本不等式进行分析并求取最值时的值.【详解】解：（1）∵，∴，又∵，，∴中点，中点，∴线段的中垂线：，线段的中垂线：，∴得即圆心，而，∴的标准方程：.（2）∵，，∴中点，∴线段的中垂线：，由（1）知线段的中垂线：，
∴即即圆心，∴半径，∴，而，当且仅当时，等号成立，∵，，且，∴当或时，有最小值，此时最小.41．在直角坐标系中，直线的参数方程是是参数)．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）当时，请判断直线与曲线的位置关系；（2）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且||，求直线的倾斜角．【答案】（1）直线与曲线相切；（2）或．【分析】（1）将已知极坐标方程两边同乘以ρ，进行等价转化，然后利用极直互化公式化为直角坐标方程，并配方得到标准形式，得到曲线的属性；将直线的参数方程消参得到普通方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，与半径比较大小，根据直线与圆的位置关系中的条件得到直线l与曲线C的关系;（2）写出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，化简得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理判别式，结合直线标准参数方程中的参数的几何意义，得到关于倾斜角的三角函数的方程，求解即得倾斜角的值.【详解】（1）由，得，又，曲线的直角坐标方程为，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆．
由直线的参数方程为得直线的直角坐标方程为．由圆心到直线的距离，可知直线与曲线相切；（2）由题意可得直线是经过点，倾斜角为的直线，将代入，整理得设对应的参数分别为，则，所以异号．则||，所以．又，所以直线的倾斜角为或．【点睛】本题考查极直互化，参普互化问题，考查直线的参数方程的几何意义及其应用，属中档题，关键是第一步极直互化时要先两边同乘以ρ，进行等价转化，以便为化为直角坐标方程创造条件，重点是直线的标准参数方程中的参数的几何意义的掌握，难点是结合使用韦达定理进行判定与计算.42．已知点P在抛物线上，过点P作圆的两条切线，与抛物线C分别交于A､B(A､B异于点P)两点，切线PA､PB与圆M分别相切于点E､F.（1）若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标；（2）若点P的坐标为(1，2)，设线段AB中点的纵坐标为，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）设出点的坐标，根据题目所给条件列方程组，解方程组求得点坐标.（2）设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于半径列等量关系式，求得两条切线斜率的关系式，联立切线的方程和抛物线的方程，求得两点的纵坐标，进而求得的表达式，由的取值范围求得的取值范围.
【详解】（1）设点P的坐标为(x，y)，则，解得或，即点P的坐标为或；（2）由题意知切线PA､PB的斜率均存在且不为零，设切线方程为，由，得，记切线PA､PB的斜率分别为､，则，由于切线PA､PB的方程分别为､，联立，消去，得，设､，则，故.同理，于是，因为，所以，，，，.所以.即t的取值范围是.【点睛】直线和圆相切，可利用圆心到直线的距离等于半径来列方程.43．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且满足．（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段为直径的圆经过点，试问是否存在过点的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）因为，所以为等腰直角三角形，所以，由此可求得离心率；（2）由（1）可得可得，P的坐标为，由题意,利用向量的数量积的坐标运算可得，又因为P在椭圆上，联立方程可得,设圆心为，则，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线的方程为：．利用直线与圆相切的条件即可得出．【详解】（1）因为,所以为等腰直角三角形,所以，由∴；（2）由已知得,，设椭圆的标准方程为，P的坐标为，因为,所以，由题意得,所以，又因为P在椭圆上，所以,由以上两式可得，因为P不是椭圆的顶点，所以，故，设圆心为，则，圆的半径，假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，由相切可知,所以，即，解得，故存在满足条件的直线．【点睛】
本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，关键是计算要准确.存在性问题一般是先设出来，然后利用条件求解，若有解，即为存在，否则即为不存在.44．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当为参数，时，曲线与只有一个公共点，求；（2）当为参数，时，曲线与相交于，且，求的值．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，参数方程消去参数，分别化为普通方程；根据两个圆的位置关系，内切与外切，求解即可．（2）当为参数时，曲线为过点的直线，通过弦长，说明直线过圆的圆心，由此求解斜率，然后求解的值．【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为：，当为参数时，曲线的直角坐标方程为，又曲线与只有一个公共点，故曲线与的位置关系是外切或内切，（ⅰ）当与外切时，，解得：；（ⅱ）当与内切时，，解得：，故或．（2）当为参数时，曲线为过点的直线，又曲线是直径为的圆，且，所以直线过圆的圆心，则直线的斜率，因为，所以．45．已知点在抛物线：上，过点作圆：的两条切线，与抛物线分别交于，两点，切线，与圆分别相切于点，.（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且时，求直线的方程；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【分析】（1）设点的坐标为，由点在抛物线上，及距离相等方程组，解之可得坐标．（2）求出切线长，得以点为圆心，为半径的圆的方程，此方程与已知圆方程相减即得公共弦所在直线方程．（3）设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径得关于的方程，记切线，的斜率分别为，，利用韦达定理得，由切线方程与抛物线方程联立方程组求得交点坐标，求得中点纵坐标，结合韦达定理的结论把纵坐标表示为的函数式，从而可得所求范围．【详解】解：（1）设点的坐标为，则解得或即点的坐标或.（2）当点的坐标为，且时，，在直角三角形中，，所以，以点为圆心，为半径的圆的方程为，①圆：，②①-②：，③因为在圆上，在圆上，所以点坐标满足③式，同理点坐标满足③式，所以③：即为直线方程.（3）由题意知切线，的斜率均存在且不为零，设切线方程为，
由，得，记切线，的斜率分别为，，则由于切线，的方程分别为，，联立消去，得，设，，则，故，同理，，于是，即的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，直线与圆的位置关系等问题．直线与圆相切，一般都是用圆心到切线的距离等于半径求解．直线与抛物线相交问题，由直线方程与抛物线方程联立方程组可解得交点坐标（本题中由于一个交点已知，因此可结合韦达定理求得另一交点坐标）．解题关键是设切线方程，由圆心到直线的距离等于半径，列式化简应用韦达定理．46．在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；（2）已知直线与圆交于､两点，与曲线交于､两点，其中､在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.【答案】（1）动点的轨迹是椭圆，轨迹方程为；（2）存在，.【分析】（1）根据椭圆定义得方程；（2）分析可知，再代入消元，用韦达定理及弦长公式得到的函数关系式，再求最值.
【详解】（1）由题意知，，又，所以，动点的轨迹是椭圆.由椭圆的定义可知，，，又因为所以，故的轨迹方程.（2）由题设可知，、一个椭圆外，一个在椭圆内；、一个在内，一个在外，在直线上的四点满足：由消去得：，恒成立.设，，由韦达定理，得，.所以，到距离，，当且仅当，即时等号成立.验证可知满足题意.，47．如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点．
（1）当直线与圆相切，且时，求的值；（2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于．【答案】（1）或；（2）证明见解析.【分析】（1）焦点F坐标为，设，利用圆的切线长公式、抛物线的定义建立方程求解即得；（2）设，设直线、的斜率,由与抛物线相切求得，，知是方程的两根，得到，求得切点坐标，，得到直线方程并化简整理为，利用已知面积得到，与联立得，然后利用零点存在定理判定解的个数即可.【详解】（1）焦点F坐标为，设，则，由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线的距离，所以，由，得，所以或，所以或，此时与准线垂直，所以或；（2）设，则，
设直线方程为，代入，得，整理得①，同理，直线方程为，有②，由①②知，是方程的两根，所以，由切线意义知，在中，，则所以，同理直线方程为即即到直线的距离所以，与联立得所以或，设，显然，又在上递增，所以在上有唯一零点所以存在两个，使得面积等于.【点睛】本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，面积问题，零点个数问题，难度较大，其中利用圆的切线长和抛物线的定义建立方程求解是第一问中的关键；第二问中关键点由同构方程，，知是方程的两根，从而得到;利用零点存在定理判定三次函数在给定区间上的零点个数问题.48．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（参数），以为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程即曲线的直角坐标方程；（2）若，当曲线与曲线有两个公共点时，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）消去参数可求曲线的普通方程，将化简代入可得；（2）可得曲线为半圆，画出图象，数形结合即可求解.【详解】（1）由，得，两式平方相加得：；由，得，，即；（2）若，则，故，此时曲线的方程为（，），其图像为半圆弧，如下图所示：当曲线：经过点和时，；当曲线：与曲线相切时，
有，是，由图可知，故当曲线与曲线有两个公共点时，的取值范围为，综上，的取值范围为.【点睛】关键点睛：解题的关键是判断出曲线为半圆，结合图形求解.49．如图，已知圆O∶，过点E(1，0)的直线l与圆相交于A，B两点.（1）当|AB|=时，求直线l的方程；（2）已知D在圆O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）分别考虑斜率存在与不存在时，利用弦心距表示出即可，（2）当直线与轴垂直时，，，四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，由此利用配方法能求出四边形面积的最大值．【详解】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，所以圆心到直线的距离，因为，所以，解得，所以直线的方程为．
（2）当直线与轴垂直时，，，四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，则直线方程为，即，点到直线的距离为，点到直线的距离，，则四边形面积，令（当时，四边形不存在），，四边形面积的最大值为．【点睛】本题考查直线方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．
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