2022版新高考数学人教版一轮练习：（65） 古典概型

[练案65]第五讲　古典概型A组基础巩固一、单选题1．(2021·甘肃月考)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　C　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　要使log2xy＝1，则要求2x＝y，∴符合题意的基本事件数为3，而基本事件总数为36，∴概率为＝.2．(2021·陕西汉中质检)中国将于今年9月3日至5日举行国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是(　C　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　P＝＝.故选C．3．(2021·安徽皖江名校联考)疫情期间，某市教育局为了解学生线上学习情况，准备从10所学校(其中6所中学4所小学)随机选出3所进行调研，其中A中学与B小学同时被选中的概率为(　C　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　基本事件共C＝120，其中A中学与B小学被选中包含C＝8个基本事件，故所求概率为P＝＝，故选C．4．(2021·河北石家庄质检)北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“ 雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为(　C　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　P＝＝.故选C．5.(2021·湖南郴州质检)《易经》是中国传统文化中的精髓．图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“——”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为(　C　)A．　　B．C．　　D．[解析]　P＝＝，故选C．6．(2020·山东省潍坊市期中)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为(　B　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Bc，Ca)，(Ab，Ba， Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac，Ba，Cb)，只有1个，∴田忌获胜的概率为P＝，故选：B.7．(2021·百所名校联考)中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为(　B　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　从“八音”中任取不同的“两音”共有C＝28种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有C－C＝22种取法；∴所求概率P＝＝.故选：B.8．(2021·模拟)已知平面上有3个点A，B，C，在A处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A点的概率为(　D　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　由图可知所求概率P＝＝，故选D.9．(2020·江西新余期末)今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为(　A　) A．　　B．　　C．　　D．[解析]　记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A,5名专家分到3个不同的乡镇，共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人．那么P(A)＝＝＝，所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P()＝1－P(A)＝.故选A.10．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是(　B　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　由题意可知第6次移动后回到原点⇔6次移动中向左移了3次，故所求概率P＝＝.故选B.二、多选题11．以下对各事件发生的概率判断正确的是(　BCD　)A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是[解析]　玩一局甲不输的概率为，A错；不超过14的素数为2,3,5,7,11,13共6个，故从中任取两个数，其和等于14的概率为＝，B正确；对于C，点数之和为6的情况只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种情况，所求概率P＝＝ ，C正确；对于D，所求概率P＝＝，D正确．故选BCD.12．(2021·江苏、兴化中学期中)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则(　BC　)A．事件A发生的概率为B．事件A∪B发生的概率为C．事件A∩B发生的概率为D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为[解析]　P(A)＝，A错；P(A∪B)＝，B正确；P(A∩B)＝＝，C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，D错，故选BC．三、填空题13．(2021·广东调研)某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人，他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为　　.[解析]　由捆绑法可得所求概率P＝＝.14．(2021·湖北龙泉中学、、联考)5人并排站成一行，甲、乙两人之间恰好有一人的概率是　　.(用数字作答)[解析]　5人排一行共有A种排法，甲、乙两人之间恰有一人有CAA种排法，故所求概率P＝＝.15．(2021·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e>的概率是.[解析]　由e＝>，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴ 所求事件的概率P＝＝.四、解答题16．(2021·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．[解析]　(1)由题意，所有可能的结果为33，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝＝，因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.17．(2021·华南师大附中综合测试)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数，单位：分)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下不完整的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数；(2)从被抽取的数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．[解析]　(1)因为各组的频率之和等于1，故第四小组的频率为f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.补全的频率分布直方图如图： 中位数是xc＝70＋10×＝73.33.因而估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数是73.33分．(2)分数在[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数分别是0.03×10×60＝18,0.025×10×60＝15,0.005×10×60＝3.所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，他们在同一分数段的概率P＝＝.B组能力提升1．(2021·湖北武汉部分学校质检)我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为(　B　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　从5个里面选3个共有10种情况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系的有5种情况，所以概率为，故选B.2．(2021·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市， 简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(　B　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C·C·A＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝＝.故选B.3．(2021·四川成都月考)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率(　D　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　每个人的选法有C＝6种，两人选的不同结果有36种，选法相同的有6种，故所求概率P＝＝.故选D.4．(2021·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为(　A　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　所求事件的概率P＝＝，选A.5．(2020·安徽芜湖期末)某校高三年级有男生410人，学号为001,002，…，410；女生290人，学号为411,412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是(　D　)A．　　B．　　 C．　　D．[解析]　由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人．记“抽取的3人中既有男生又有女生”为事件A，则P(A)＝1－＝(或P(A)＝＝)．故选D.6．(2021·河北名优校联考)为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在，现在从课余使用手机总时间在的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为(　C　)A．　　B．　　C．　　D．[解析]　∵这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在，课余使用手机总时间在的学生共有500×0.08×2＝8(名)，∴从课余使用手机总时间在的学生中随机抽取3人，基本事件总数n＝C＝56，至少抽到2名女生包含的基本事件个数m＝C＋CC＝16，则至少抽到1名女生的概率为p＝＝＝.故选C．