2022版新高考数学人教版一轮练习：（18） 高考大题规范解答系列（一）——函数与导数

[练案18]高考大题规范解答系列(一)——函数与导数1．(2021·新高考八省联考)已知函数f(x)＝ex－sinx－cosx，g(x)＝ex＋sinx＋cosx.(1)证明：当x>－时，f(x)≥0；(2)若g(x)≥2＋ax，求a.[解析]　(1)当x∈时，f(x)＝ex－sin≥ex>0；当x∈时，f′(x)＝ex－cos为增函数且f′(0)＝0，f(x)在减，在上增，因此f(x)≥f(0)＝0，恒有f(x)≥0；当x∈时，f′(x)＝ex－cos，∵ex≥e>，∴f′(x)>0，∴f(x)在上为增函数，∴f(x)≥f＝e－sin>0；综上所述：当x>－时，f(x)≥0成立．(2)由已知得ex＋sinx＋cosx－2－ax≥0，设h(x)＝ex＋sinx＋cosx－2－ax且h(0)＝0.∵h(x)≥h(0)，∴0是h(x)的一个最小值点，也是一个极小值点，∴h′(0)＝0，即e0＋cos0－sin0－a＝0，∴a＝2.2．(2020·黑龙江省高三上学期开学考试)设函数f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围．[解析]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值， 所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)>0，01，∴2ax＋1>0，ax－1>0，∴f′(x)0，∴x＝－舍去．当01时，f′(x)x1>1，令h(x)＝ex－ax＋a，则h(x)在(1，＋∞)上有两个零点，令h′(x)＝ex －a＝0，则x＝lna.当1≥lna，即00，∴2a－alna0时，令f′(x)＝0，得x＝±.当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)0.故f(x)在，单调递增，在单调递减．(2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，f(x)不可能有三个零点．当k>0时，x＝－为f(x)的极大值点，x＝为f(x)的极小值点．此时，－k－1